โจทย์อสมการ
 

ช่วงนี้บ้าอสมการอยู่ครับ

ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงซึ่ง a + b + c = 0 จงพิสูจน์ว่า

a³ + b³ + c³ + ab + bc + ca ฃ a² + b² + c²

ของชอบเหมือนกันครับ. ข้างบนยังไม่ได้ลองคิด เดี๋ยวเร็วไปไม่หนุก ช่วยต่อให้อีกข้อหนึ่งสำหรับคนที่อาจจะคิดข้อข้างบนออกแล้ว หรือ อยากทำข้อข้างล่าง

สำหรับจำนวนจริงบวก a, b, c, m, n จงพิสูจน์ว่า
a/(mb + nc) + b/(mc + na) + c/(ma + nb) ณ 3/(m + n)
อืม. ถ้าจำไม่ผิดก็แบบนี้ล่ะครับ.

ทดสอบก่อน ถ้า m = n = 1 จะได้ว่า a/(b + c) + b/(c + a) + c/(a + b) ณ 3/2 ใช่ ๆ อันนี้ของตาย โจทย์น่าจะถูกแล้ว

อูย...เห็นแล้วต้องทิ้งการบ้านมาทำโจทย์ข้อนี้ก่อนเลย แต่ทำได้ครึ่งเดียวเองอ่ะ เผอิญใช้ Chebychev's inequality น่ะครับ อีกครึ่งนึงขอติดไว้ก่อนนะครับ

พิสูจน์กรณี m ณ n
โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติว่า a ฃ b ฃ c
ดังนั้นจะได้ว่า 1 / (mb + nc) ฃ 1 / (mc + na) ฃ 1 / (ma + nb)
โดยอสมการของ Chebychev เราจะได้ว่า

a / (mb + nc) + b / (mc + na) + c / (ma + nb)
ณ (1 / 3) (a + b + c) { 1 / (mb + nc) + 1 / (mc + na) + 1 / (ma + nb) }
= (1/3) (1 / m + n) { (mb + nc) + (mc + na) + (ma + nb) } { 1 / (mb + nc) + 1 / (mc + na) + 1 / (ma + nb) }
ณ 3 / ( m + n )

บรรทัดสุดท้ายใช้ A.M.-H.M. ครับ

ข้อแรกโจทย์มีปัญหานะครับ. เช่น (a, b, c) = (4, -2, -2) จะได้ว่า L.H.S = 36 แต่ R.H.S = 24 จึงไม่จริง


สำหรับข้อที่สอง : Hint ใช้ อสมการโคชีก่อนครับ.

อ่า...ข้อแรกผมไปมั่วอีท่าไหนล่ะเนี่ยถึงได้ออกมาแบบนั้น เดี๋ยวกลับไปเช็คดูใหม่ครับ

ผมเฉลยที่ตั้งคาไว้ล่ะกัน.

โดยอสมการโคชี : [ a(mb + nc) + b(mc + na) + c(ma + nb) ] [ a/(mb + nc) + b/(mc + na) + c/(ma + nb) ] ณ (a + b + c)²

แต่ [ a(mb + nc) + b(mc + na) + c(ma + nb) ] = (m + n)(ab + bc + ca)

\ L.H.S. ณ (a + b + c)² / (m + n)(ab + bc + ca) ... (*)

แต่ (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) ณ (ab + bc + ca) + 2(ab + bc + ca) = 3(ab + bc + ca)

เมื่อแทนลงใน (*) ก็จะได้ตามที่ต้องการ

Note. ปัญหาข้อนี้เอาไปหลอกเด็กเล่น ๆ ได้ เช่น a/(19b + 29c) + b/(19c + 29a) + c/(19a + 29b) ณ 1/16

ยอดเยี่ยมจริงๆครับ ขออนุญาตเก็บไว้ในไฟล์อสมการผมหน่อยนะครับ เป็นอสมการที่สวยมากอันนึง ผมเห็นข้อสอบแข่งขันแนวนี้มาหลายข้อแล้วเพิ่งมาเจอแบบทั่วไปก็คราวนี้แหละครับ

ขอแก้ตัวจากข้อแรกที่คำนวณผิดครับ เอาข้อใหม่มาฝากแล้วครับ

ให้ a,b,c ฮ [1,2] และ

A = ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ a,b,c
G = ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของ a,b,c
H = ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของ a,b,c

จงพิสูจน์ว่า H ฃ G ฃ A ฃ H² ฃ G² ฃ A²

เก็บตามใจชอบเลยครับ. ตอนนี้ไปติดเชื้อโรคที่ดีมาจากใครบางคน คือ พอแก้ปัญหานั้นเสร็จ จะหัดมองให้มันทั่วไปกว่าเดิมไปอย่างน้อย 1 ขั้นเสมอ.

เอามาฝากอีกข้อนึงครับ
ให้ x,y,z เป็นจำนวนจริงบวกโดยที่ xyz=1 จงพิสูจน์ว่า

1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) ฃ 3/2

ขอลองเล่นข้อล่างก่อนแล้วกันครับ.
จะพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนจริงบวก x, y, z, m, n โดยที่ xzy = 1 แล้ว
1/(mx + ny) + 1(my + nz) + 1/(mz + nx) ฃ 3/(m + n)
สมมติให้ x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c จะได้ว่า
L.H.S. = 1/c(mb + nc) + 1/a(mc + nb) + 1/b(ma + nc)

โดยอสมการโคชี : [ c(mb + nc) + a(mc + nb) + b(ma + nc) ] (L.H.S.) ณ (1 + 1 + 1)² = 9
แต่ c(mb + nc) + a(mc + nb) + b(ma + nc) = (m + n)(ab + bc + ca)
ดังนั้น L.H.S ณ 9/(m + n)(ab + bc + ca)

แต่โดยอสมการ A.M. - G.M. : ab + bc + ca ณ 3(abc)^2/3 = 3(1) = 3
ดังนั้น L.H.S : ฃ 9/3(m + n) = 3/(m + n)

แต่งเพิ่มให้อีกข้อหนึ่ง : :rolleyes:

จงพิสูจน์ว่าสำหรับทุกจำนวนจริงบวก a, b, c ที่ abc = 1
a³b³/(a⁷ + b⁷ + a³b³) + b³c³/(b⁷ + c⁷ + b³c³) + c³a³/(c⁷ + a⁷ + c³a³) ฃ 1

สุดยอดจริงๆครับ เกทับของผมไปอีกชั้นนึงเลย ข้อใหม่เห็นแล้วอยากคิดมากๆเลย แต่รอไว้สอบกลางภาคเสร็จก่อนนะครับ ช่วงนี้ติดสอบอยู่ครับ

ผมลองแทนค่าเข้าไป(เนื่องจากทำไม่ได้สักกะที เพราะความรู้มีน้อย :D )
โดยให้ x=1/6 y=1/6 z=36
จะได้ว่า 1/(1/6+1/6)+1/(1/6+36)+1/(1/6+36) = 3+6/217+6/217
ณ 3/2

อ่า...ขอบคุณน้อง Gools มากๆเลยครับที่หาตัวอย่างค้านมาแสดงให้ดู ตอนนี้พี่ก็เลยได้ข้อสรุปแล้วว่าอสมการ

1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) ฃ 3/2 นั้นไม่จริง และ

1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x) ณ 3/2 ก็ไม่จริงเช่นกัน เพราะ ถ้าให้ x=3, y=1, z=1/3 เราจะได้แค่ 13/10 เท่านั้น

สรุปว่าอสมการทั้งสองอันนี้ไม่จริงบนเงื่อนไข xyz = 1 ครับ

ตอนนี้ที่สงสัยที่สุดคือทำไมไม่จริงครับ

โอ้. What 's happen.?

สองบรรทัดสุดท้ายในพิสูจน์ของพี่ gon ยังสรุปไม่ได้อ่ะครับ เพราะว่าเครื่องหมายมันกลับข้างกันอยู่

เอ่อ...ถามหน่อยครับ

ใครมีพิสูจน์อสมการนี้แบบสวยๆโดยไม่ต้องแยกกรณีบ้างครับ

|a + b| + |b + c| + |c + a| ฃ |a| + |b| + |c| + |a + b + c| เมื่อ a,b,c เป็นจำนวนจริง

ทำไม่ได้อ่ะครับ
ยังมีอีก 3 ข้อที่ผมทำไม่ได้สักที
จงพิสูจน์ว่า
1. (n+1)^(n-1)/2 < n!
2. n[(n+1)^1/n-1] < 1+1/2+1/3+...+1/n < n-(n-1)n^-1/(n-1)
3. ให้ a₁, a₂, a₃,..., a_n > 0 และ S=a₁+a₂+a₃+...+a_n จงแสดงว่า (1+a)(1+a)...(1+a) ฃ 1+S+S²/2!+S³/3!...+Sⁿ/n!

สามข้อนี้เป็นแบบฝึกหัดในเรื่อง AM-GM-HM Inequalities ครับ

Hint สามข้อที่น้อง Gools ถามมาครับ

1) ใช้ A.M. - G.M. กับ 1 / 1 ท 2 , 1 / 2 ท 3 , ... , 1 / n(n+1) , 1 / (n + 1) ท 1

2) 1 + 1 / 2 + ... + 1 / n + n = (1 + 1) + (1 + 1 / 2) + (1 + 1 / 3) + ... + (1 + 1 / n)
n - (1 + 1 / 2 + ... + 1 / n) = (1 - 1) + (1 - 1 / 2) + ... + (1 - 1 / n)

3) ข้อนี้เป็นโจทย์ APMO'1989 สามารถไปดูเฉลยได้ที่นี่ครับ http://www.kalva.demon.co.uk/apmo/asoln/asol891.html
แต่อันนี้เขาใช้ induction ส่วนข้างล่างเป็นวิธีคิดของพี่ซึ่งใช้ A.M. - G.M. ครับ
ให้ A = ( a ₁ + ... + a_n) / n
โดยใช้ A.M. - G.M. จะได้ว่า LHS ฃ (1 + A)ⁿ
จากนั้นก็กระจาย (1 + A)ⁿ โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม
แล้วพิสูจน์ว่า C(n,k) A^k ฃ S^k / k! ทุกค่า k = 1 , ... , n

ขอบคุณมากๆๆๆๆๆๆๆเลยครับ
ก็คงจะถามต่อไปเรื่อยๆ
ผมไม่เข้าใจคำถามที่กำหนดให้ x_i>0 สำหรับ i=1,2,3...,n
และให้ y₁, y₂...,y_n เป็นวิธีเรียงสับเปลี่ยนชุดหนึ่งของ x₁, x₂,...,x_n อ่ะครับ

วิธีเรียงสับเปลี่ยนที่ถามมาก็คือผลจากการสลับตัวแปรชุดเดิมให้กลายเป็นชุดใหม่ครับ เช่น สมมุติมี x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3 เราอาจสร้างตัวแปรชุดใหม่ให้เป็น y₁ = 3, y₂ = 2, y₃=1 ซึ่งจะเห็นว่าตัวแปรชุดใหม่ก็คือตัวแปรชุดเก่านำมาสลับที่กัน

ข้อนี้ไม่ยากครับถ้าเราเข้าใจความหมายของวิธีเรียงสับเปลี่ยน ลองสังเกตดูครับว่าวิธีเรียงสับเปลี่ยนสองชุดจะมีคุณสมบัติทางพีชคณิตอะไรที่เหมือนกันบ้าง

เพิ่มเติมข้อสามที่น้อง Gools ถามมาครับ
ถ้าให้ G คือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตเราจะได้ chain ของอสมการเป็นดังนี้

(1 + G)ⁿ ฃ (1 + a₁)...(1 + a_n) ฃ (1 + A)ⁿ ฃ 1 + S/1! + ... + Sⁿ /n!

ขอบคุณ noonuii สำหรับข้อผิดพลาดที่ทักท้วงนะครับ. สรุปมั่วนี่เอง :p 555

ปัญหาของ noonuii, solve ดังนี้ครับ.

วิธีที่ 1 : โดยไม่เสียนัยสำคัญสมมติให้ |a| ฃ |b| ฃ |c|
กรณีที่ 1 : |c| = 0 จะได้ว่า |a| = |b| = |c| ซึ่งชัดเจนว่าจริง
กรณีที่ 2 : |c| น 0
ดังนั้น |a/c| ฃ 1 และ |b/c| ฃ 1
\ | 1 + a/c | = 1 + a/c และ | 1 + b/c | = 1 + b/c
นั่นคือ | 1 + a/c | + | 1 + b/c | = 1 + (1 + a/c + b/c) ฃ 1 + | 1 + a/c + b/c | ... (1)
แต่ |a/c + b/c| ฃ |a/c| + |b/c| ... (2)

จับ (1) + (2) จากนั้นนำ |c| คูณตลอด ก็จะได้ตามที่ต้องการ

วิธีที่ 2 : ใช้อสมการ Popoviciu ซึ่งกล่าวว่า
สำหรับฟังก์ชัน f : I ฎ R ใด ๆ โดยที่ f เป็น convex function แล้ว f(x) + f(y) + f(z) + 3f[(x+y+z)/3)] ณ 2{ f[(x+y)/2] +f[(y+z)/2] + f[(z+x)/2] }

เมื่อประยุกต์กับ f(x) = |x| ซึ่งเป็น convex function ก็จะได้ว่า
|x| + |y| + |z| + 3| (x+y+z)/3 | ณ 2[ |(x+y)/2| + |(y+z)/2| + |(z+x)/2| ]

ก็ได้เช่นกัน

เพิ่มเติมให้อีกข้อ ใครมีเวลาว่างลองคิดดูนะครับ.แก้ตัวข้อมั่วด้วย
จงพิสูจน์ว่า สำหรับทุกจำนวนจริงบวก a, b, c, m, n และ p เป็นจำนวนจริงใด ๆ โดยที่ abc = 1

1/a^3p(mb^p + nc^p) + 1/b^3p(mc^p + na^p) + 1/c^3p(ma^p + nb^p) ณ 3/(m + n)

ขอบคุณพี่ gon สำหรับวิธีคิดครับ สั้นกระชับดีครับ
ส่วนข้อล่าสุดคิดออกแล้วครับ จะพิสูจน์อสมการนี้แทนครับ

ถ้า x,y,z,m,n เป็นจำนวนจริงบวกแล้ว เราจะได้ว่า

x²/(my+nz) + y²/(mz+nx) + z²/(mx+ny) ณ (x+y+z)/(m+n)

พิสูจน์ โดยอสมการโคชีจะได้ว่า
x + y + z = (x / ึmy + nz)(ึmy + nz) + (y / ึmz + nx)(ึmz + nx) + (z / ึmx + ny)(ึmy + nz)
ฃ ึLHSึ(m + n)(x + y + z)
จัดรูปก็จะได้อสมการตามต้องการ

คราวนี้ก็ประยุกต์อสมการข้างบนโดยให้
x = (ab)^p , y = (bc)^p, z = (ca)^p
และใช้ AM-GM กับเงื่อนไข abc = 1 พิสูจน์ว่า x + y + z ณ 3
ก็จะได้คำตอบครับ

ใครมีคอลเล็คชั่นอสมการ โดยที่ไม่ใช่แบบฝึกหัดของ สสวท. ( ที่ว่ายากมากแล้ว ) ใช้ความรู้เรื่อง AM-GM-HM inequalities บ้างครับ
มีเฉลยด้วยยิ่งดีเลยครับ

มีครับ ลองเอาไปทำดูก่อนครับ เดี๋ยวค่อยมาเฉลย

1. a/(b + d) + b/(c + a) + c/(d + b) + d/(a + c) ณ 2 เมื่อ a,b,c,d > 0

2. ให้ n เป็นจำนวนนับ และ a > 1 จงพิสูจน์ว่า aⁿ-1ณ n(a^(n+1)/2 - a^(n-1)/2)

3. ถ้า x,y,z เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่ง xyz = 1 จงหาค่าสูงสุดของ x²yz

4. จงหาค่าต่ำสุดของ m + 4 / m² สำหรับ m > 0

5. ให้ n เป็นจำนวนนับ และ x > 0 จงพิสูจน์ว่า 1 + x + x² + ... + x²ⁿ⁺¹ ณ (2n+1)xⁿ

ข้อ 3 ไม่น่าจะหาค่าสูงสุดได้นะครับ เพราะ xyz = 1 ดังนั้น x²yz = xxyz = xท1 = x

ข้อ 4 ใฃ้ AM-GM inq
m/2+m/2+4/m²ณ3
จะเป็นสมการเมื่อ m=2

APMO 2004
Let a,b,c be non-negative integer
Proof that (a²+2)(b²+2)(c²+2)ณ9(ab+bc+ca)

โอโทษทีครับ ข้อสามเงื่อนไขต้องเป็น x+y+z=1 ครับ