|
มาร่วมเฉลยข้อสอบ สอวน.ค่าย1-2
10 ไฟล์และเอกสาร
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?p=169999#post169999
ค่าย2มีนาปี2557 http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=20651 ค่าย1ตุลาปี2556 http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=20064 ค่าย3เมษาปี2556 http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=18972 ค่าย2มีนาปี2556 http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=18902 ค่าย1ตุลาปี2555 http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=17530 http://www.mathcenter.net/forum/atta...1&d=1334993495 http://www.mathcenter.net/forum/atta...1&d=1334993495 http://www.mathcenter.net/forum/atta...1&d=1334993495 http://www.mathcenter.net/forum/atta...1&d=1334993495 http://www.mathcenter.net/forum/atta...1&d=1334993495 1. ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง $p \not\equiv 3 (mod 4)$ จงแสดงว่ามีจำนวนเต็ม $a,b$ ที่ทำให้ $a^2+b^2\equiv 0 (mod p)$ โดยที่ $p \nmid aและ b$ พร้อมยกตัวอย่างให้เห็นจริง 2. ให้ $a,b\in N$ ซึ่ง $(a,b)=1$ จงหาคำตอบของสมภาค $$(a+b)x \equiv a^2+b^2 (mod ab)$$ 3. สำหรับจำนวนเต็มบวกคี่ $n>2$ จงแสดงว่าไม่มีจำนวนเต็มบวก $x$ ที่สอดคล้องกับ $$x^n+(x+1)^n=(x+2)^n$$ 4. ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาเศษที่เกิดจากการหาร $$\sum_{i = 0}^{99} (n+i)^6+2^{2^{2558}}+1 ด้วย 100$$ 5. จงหาจำนวนเต็มบวก $m,n$ ซึ่ง $m>n$ และ $m+n$ มีค่าน้อยสุด ที่ทำให้ $$1234^m\equiv 1234^n (mod 1000)$$ 1. ให้ $z_1,z_2$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง $z_1^2-4z_2=12+16i$ และกำหนดให้ $a,b$ เป็นรากของสมการ $x^2+z_1x+z_2+m=0$ สำหรับบางจำนวนเชิงซ้อน $m$ และ $|a-b|=2\sqrt7$ แล้วจงหาค่าสูงสุดของ $|m|$ 2.จงพิสูจน์ว่า 2.1 สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z,w$ ใดๆ $|z+w|^2+|z-w|^2=2|z|^2+2|w|^2$ 2.2 สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z_1,z_2,...,z_n$ ใดๆ และ จำนวนเต็มบวก $n$ ที่มากกว่า $1$ ถ้า $|z_1\pm z_2\pm z_3\pm...\pm z_n|\leqslant |w_1\pm w_2\pm w_3\pm ...\pm w_n|$ แล้ว $|z_1|^2+|z_2|^2+...+|z_n|^2\leqslant |w_1|^2+|w_2|^2+...+|w_n|^2$ 3.จงหาค่า $p$ ที่ทำให้ สมการ $5x^3-5(p-1)x^2+(71p-1)x-(66p-1)=0$ มีรากเป็นจำนวนเต็มบวกสามราก 4.จงหาจำนวนตรรกยะบวก $x,y,z$ ทั้งหมดที่ทำให้ $x+y+z,xyz,\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ เป็นจำนวนเต็ม 1. 1.1 จงหาฟังก์ชันทางเดียว (Strictly monotone) $f:R\rightarrow R$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน $f(x+f(y))=f(x)+y$ สำหรับทุก $x,y \in R$ 1.2 จงแสดงว่าสำหรับจำนวนเต็มบวก $n>1$ ไม่มีฟังก์ชันทางเดียว $f:R\rightarrow R$ ซึ่งสอดคล้อง $f(x+f(y))=f(x)+y^n$ สำหรับทุก $x,y \in R$ 2.จงหาฟังก์ชัน $f: (1,\infty )\rightarrow R$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน $f(x)-f(y)=(y-x)f(xy)$ สำหรับทุก $x,y>1$ โดนที่กำหนดให้ $f(2)=2555$ 3. จงหาฟังก์ชัน $f:R\rightarrow R$ ทั้งหมดซึ่งเซต $\{\frac{f(x)}{x} | x \in R,x\not= 0\}$ เป็นเซตจำกัดและสอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน $f(x-1-f(x))=f(x)-x-1$ 4.ให้ f(x,y) เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องเงื่อนไขต่อไปนี้ สำหรับทุกจำนวนเต็ม $x$ และ $y$ $(i) f(0,y)=y+1$ $(ii) f(x+1,0)=f(x,1)$ $(iii) f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))$ จงหาค่า $f(3,2012)$ และ $f(3,y)$ เมื่อ y เป็นจำนวนเต็มบวก 5. ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันค่าจริง นิยามโดยสำหรับทุกจำนวนจริง $x$ มีบางจำนวนจริงบวก $a$ ที่ทำให้ $$f(x+a)=\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-[f(x)]^2}$$ 5.1จงแสดงว่า $\frac{1}{2}\leqslant f(x)\leqslant 1$ 5.2 จงแสดงว่ามีบางจำนวนจริงบวก $b$ ที่ทำให้ $f(x+b)=f(x)$ ทุก $x\in R$ 1. ให้ $x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}$ ซึ่ง $x_1+x_2+\cdots+x_n=0$ และ $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1$ จงแสดงว่ามีผลคูณของ 2 จำนวนต่างกันใน $x_1,x_2,...,x_n$ ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $-\dfrac{1}{n}$ 2. กำหนด $f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$ เป็นพหุนามเหนือจำนวนจริงและ $a_0,a_n \not= 0$ สำหรับ $x \in \mathbb{R}$ ได้ว่า $f(x) \cdot f(2x^2) = f(2x^3+x)$ พิสูจน์ว่า $f$ ไม่มีรากจริง 3. ให้ $a_0,a_1,a_2,...$ เป็นลำดับเพิ่มของจำนวนเต็มบวก (ผมว่าโจทย์ผิด น่าจะเป็นจำนวนเต็มไม่ติดลบมากกว่า) ซึ่งสำหรับทุกจำนวนเต็มไม่ติดลบจะสามารถเขียนได้ในรูปของ $a_i+2a_j+4a_k$ สำหรับบาง $i,j,k$ ที่ไม่จำเป็นต้องต่างกัน จงหาค่าของ $a_{14}$ 1. จงหาจำนวนจริง $a$ ที่ทำให้อสมการ $$16x^2+16y^2+\frac{1}{32} \ge x+y-axy$$ เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ ซึ่ง $|x|=|y|$ 2. (shortlist tmo 6) สำหรับจำนวนจริงบวก $x_1,x_2,...,x_n$ ซึ่ง $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}=n$ จงแสดงว่า $$x_1x_2^2x_3^3 \cdots x_n^n \ge \Big[ \frac{3}{2} \cdot \frac{n+1}{2n+1} \Big] ^{\frac{n(n+1)}{2}}$$ 3. (shortlist tmo 6) สำหรับจำนวนจริงบวก $a,b,c$ ซึ่ง $abc=1$ จงแสดงว่า $$\sum_{cyc} \frac{a^2}{\sqrt{1+a^3} \cdot \sqrt{1+b^3}} \ge \frac{4}{3}$$ 4. กำหนด $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ สอดคล้องอสมการ $$\frac{f(x)+f(y)}{2} \ge f \Big( \frac{x+y}{2} \Big) + |x-y|$$ ทุกจำนวนจริง $x,y$ แล้ว จงแสดงว่า $$\frac{f(x)+f(y)}{2} \ge f \Big( \frac{x+y}{2} \Big) + 2^n|x-y|$$ ทุกจำนวนนับ $n$ พร้อมทั้งหา $f$ ทั้งหมด 5. กำหนด $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}_0$ สอดคล้องเงื่อนไขต่อไปนี้ (i) $f(m+n)-f(m)-f(n)$ มีค่าเป็น 0 หรือ 1 ทุกจำนวนนับ $m,n$ (ii) $f(2)=0$ และ $f(3)>0$ (iii) $f(9999)=3333$ จงหาค่าของ $f(2010)$ 6. จงหา $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการ $$f(x-f(y))=f(f(y))+2f(y)+f(x)-2$$ ทุกจำนวนจริง $x,y$ 1. จงเติมคำตอบต่อไปนี้ 1.1) $ord_52=?$ 1.2) $ord_{13}2=?$ 1.3) $ord_{10}3=?$ 1.4) $ord_{11}3=?$ 1.5) $ord_{17}2=?$ 1.6) $ord_{25}9=?$ 1.7) สำหรับจำนวนเฉพาะ $p$ แล้ว $ord_p(p-1)=?$ 1.8) ให้ $a \in \mathbb{Z}_n^*$ ซึ่ง $ord_na=h$ ถ้า $k$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $k|h$ แล้ว $ord_na^k=?$ 1.9) จงเขียนเซต $\{ a \in \mathbb{Z}_n^*\, :\, ord_{25}a=10 \}$ แบบแจกแจงสมาชิก 1.10) ให้ $a,b \in \mathbb{Z}$ ที่ $(a,100)=(b,100)=1$ และ $ord_{100}a=4$ และ $ord_{100}b=10$ แล้ว $ord_{100}ab=?$ 2. จงแสดงว่าทุก $a \in \mathbb{Z}_{63}^*$ แล้ว $ord_{63}a < \phi (63)$ 3. ให้ $a,b \in \mathbb{Z}_n^*$ จงแสดงวิธีเขียน $ord_na \cdot _n b$ ในรูปของ $ord_na$ และ $ord_nb$ 4. สำหรับจำนวนเฉพาะคี่ $p$ ให้ $n=p^3$ จงแสดงว่ามี $a \in \mathbb{Z}_n^*$ หรือไม่ซึ่ง $ord_na= \phi (n)$ 1. ถุงใบหนึ่งมีลูกแก้ว 4 สี สีละ 100 ลูก ถ้าหยิบลูกแก้วจากถุงนาทีละลูก จะต้องใช้เวลาอย่างน้อยเท่าใดจึงจะมั่นใจว่าลูกที่หยิบออกมาแล้วมีกลุ่มที่เป็นสีเดียวกัน 1 โหล 2. สมชายมีหนังสือเลข 7 เล่มต่างกัน สมศรีมีหนังสือดาราศาสตร์ 5 เล่มต่างกัน ทั้งสองจะแลกกันอ่านหนังสือเล่มต่อเล่ม จะมีวิธีแลกหนังสือได้กี่วิธี ถ้าหลังจากแลกแล้วยังมีจำนวนหนังสือของแต่ละคนเท่าเดิม 3. นักเรียนทีมหนึ่งมี 3 คน มีโจทย์ปัญหา 5 ข้อ แต่ละข้อถูกทำโดยเพียงคนเดียว และทุกคนต้องทำอย่างน้อย 1 ข้อ นักเรียนทีมนี้จะสามารถแบ่งโจทย์กันทำได้กี่วิธี 4. เกมหอคอยฮานอยมี 3 เสากับแผ่นไม้ 10 แผ่นขนาดรัศมีต่างกัน จะเรียงได้กี่วิธี 5. ให้ $n=2^{17} \cdot 3^8$ จงหาจำนวนของจำนวนเต็มบวก $k$ ซึ่ง $k|n^2$ ในขณะที่ $k \nmid n$ 6. หาจำนวนลำดับเทอร์นารีที่มีความยาว 6 และผลบวกทุกพจน์เป็นจำนวนคู่ 7. หาจำนวนผลเฉลยสมการ $$x_1+x_2+x_3+x_4=32$$ เมื่อ $x_1,x_2,x_3 >0$ และ $0< x_4 \le 25$ 8. ในเซต $\{ 1,2,3,...,200 \}$ มีกี่จำนวนที่ปราศจากกำลังสอง และห้ามใช้วิธีการแจกแจงกรณี 9. หาจำนวนวิธีเลือกช่องในตาราง $8 \times 8$ อย่างน้อย 1 ช่องโดยไม่มีช่องใดที่เลือกอยู่ในแถวและหลักเดียวกัน และไม่มีช่องใดอยู่ทางซ้ายและใต้ของบางช่องที่ถูกเลือก 10. สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ จงพิสูจน์โดยให้เหตุผลเชิงคอมบินาคอริคส์ว่า $$\frac{1}{2} \binom{2n+2}{n+1} = \binom{2n}{n} + \binom{2n}{n-1}$$ part1 - calculate 1. สามเหลี่ยมมุมฉากหนึ่งมีเส้นรอบรูป 60 นิ้ว และเส้นที่ลากจากมุมฉากมาตั้งฉากที่ด้านตรงข้ามยาว 12 จงหาค่าผลต่างความยาวด้านประกอบ 2. สามเหลี่ยม ABC มีจุด X บน AB ที่ทำให้ $AX:XB=3:5$ ลาก XY//BC ตัด AC ที่ Y ต่อ BY และลาก XZ//BY ตัด AC ที่ Z แล้ว จงหาอัตราส่วน [BYZX]:[ABC] 3. สี่เหลี่ยม ABCD แนบในครึ่งวงกลม มี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ต่อ AD และ BC ไปตัดกันที่ E ต่อ AC,BD ตัดกันที่ F และต่อ EF ตัด AB ที่ G และตัดเส้นรอบวงที่ H ถ้า GF=4 และ EF=5 แล้วจงหาความยาว GH 4. สามเหลี่ยม ABC มีมุม BAC เป็นสองเท่าของมุม ABC วงกลม O แนบนอกตรงข้ามมุม A ต่อ AO ตัด BC ที่ P ถ้า AP=3 และ AB=5 แล้วจงหาความยาวด้าน AO 5. สี่เหลี่ยม ABCD แนบในวงกลมที่มีจุด O เป็นจุดศูนย์กลาง แส้นทะแยงมุม AC ตัดตั้งฉาก BD ที่ E ถ้า AC=14, BD=16, OE=7 แล้วจงหาค่าของ $AE^2+BE^2+CE^2+DE^2$ 6. วงกลม O มี XOY เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง คอร์ด AB แบ่งครึ่งและตั้งฉาก XO วาดวงกลมที่มี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางและตัด OY ที่ P ต่อ AP, BP ออกไปตัดเส้นรอบวงกลม O ที่ C, D ตามลำดับ ถ้า BC=8 แล้วจงหาความยาว AB 7. วงกลมสองวงตัดกันที่ X,Y ต่างกัน เส้นสัมผัสร่าวมด้านจุด X สัมผัสวงกลมทั้งสองที่ A, B ตามลำดับ ต่อ AX ตัดวงกลมอีกวงที่จุด D ต่อ DY ตัดวงกลมอีกวงที่จุด E และต่อ EX ถ้ามุม AXB=130$^{\circ}$ แล้วจงหาขนาดมุม AXE 8. จุด I, O เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน, ล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC ต่อ AI, BI, CI, BO ถ้ามุม AIC=125$^{\circ}$ และ IBO=10$^{\circ}$ แล้วจงหาขนาดมุม BIC 9. สามเหลี่ยม ABC มีด้าน AB=18, BC=24, CA=30 ตามลำดับ แล้ว จงหาอัตราส่วน [ABC]:[IOG] (I=incenter, O=circumcenter, G=centroid) 10. สามเหลี่ยม ABC มีจุด P, Q, R บนด้าน BC, CA, AB ที่ทำให้ BP:PC=CQ:QA=AR:RB=1:3 ต่อ AP, BQ, CR ตัดกันที่ X, Y, Z ตามลำดับ จงหาอัตราส่วน [XYZ]:[ABC] part2 - prove 1. สามเหลี่ยม ABC มี I เป้น incenter ต่อ AI ตัด BC ที่ X แล้วพิสูจน์ว่า (AB+AC):BC=AI:IX 2. สามเหลี่ยม ABC มีวงกลมแนบในสัมผัสด้าน BC, CA, AB ที่ X, Y, Z ตามลำดับ ถ้า XY=XZ แล้วพิสูจน์ว่า AC$\cdot$XY$^2$ = 2AZ$\cdot$CX$^2$ 3. สี่เหลี่ยมใดๆที่มีวงกลมแนบในและนอก ลากเส้นจากจุดสัมผัสวงกลมแนบในซึ่งอยู่ตรงข้ามกันแต่ละคู่ พิสูจน์ว่าสองเส้นนั้นตัดตั้งฉากกัน 4. สามเหลี่ยม ABC มุมแหลม มีวงกลมล้อมรอบรัศมี R และ AD, BE, CF เป็นเส้นตั้งฉากจากมุม A, B, C ตามลำดับ พิสูจน์ว่าเส้นรอบรูปสามเหลี่ยมพีเดล DEF เท่ากับ $R(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)$ 5. ABCD เป็นสี่เหลี่ยมที่มี AC, BD เป็นเส้นทะแยงมุม ถ้า AC$\cdot$BD=AB$\cdot$CD+AD$\cdot$BC แล้วพิสูจน์ว่า ABCD concyclic (บทกลับ Ptolemy's theorem) 6. ให้ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม AM, BN เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่ A, B ตามลำดับ ให้ X เป็นจุดใดๆบนเส้นรอบวง ลากเส้นสัมผัสวงกลมที่ X ต่อออกไปตัด AM, BN ที่ C, D ตามลำดับ พิสูจน์ AB$^2$=4CX$\cdot$XD 7. ให้ ABC เป้นสามเหลี่ยมแนบในวงกลม O ถ้าคอร์ด AD ตั้งฉากกับ BC และคอร์ด BE ตั้งฉากกับ AC ต่อ CD, CE, DE แล้วพิสูจน์ว่า CDE เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 1. $a,b,c>0$ และ $abc=1$ พิสูจน์ $$\sum_{cyc} \frac{a^2(b+c)}{b \sqrt{b} + 2c \sqrt{c}} \ge 2$$ 2. กำหนด $f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ สอดคล้องเงื่อนไขต่อไปนี้ (i) $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน $(0, \infty )$ (ii) $f(x)>-\frac{1}{x}$ สำหรับ $x>0$ ใดๆ (iii) $f(x) \cdot f \Big( f(x)+\dfrac{1}{x} \Big) = 1$ สำหรับ $x>0$ ใดๆ จงหาค่าของ $f(1)$ พร้อมยกตัวอย่างฟังก์ชันที่สอดคล้องเงื่อนไขดังกล่าว 1. ถุงหนึ่งมีลูกปิงปองสีแดง, เขียว, ขาว, ดำอย่างละ 10 ลูก แต่ละสีมีหมายเลข 1-10 ติดอยู่ จงหาจำนวนวิธีสุ่มหยิบลูกปิงปองแล้วลูกหนึ่งเป็นสีแดง และอีกลูกหนึ่งไม่ติดหมายเลข 9 2. ให้ $S=\{ a,b,c,d,e \}$ และ $X,Y,Z \subseteq S$ จงหาจำนวนสมาชิกของเซต $T=\{ (X,Y,Z)\, :\, X \cap Y \cap Z = \phi$ และ $X \cup Y \cup Z=S \}$ 3. จำนวนเต็มบวกสามหลักซึ่งหารด้วย 2,3,4,5 ได้ลงตัวมีกี่จำนวน 4. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวกน้อยกว่า 10 และ $S = \{ (a,b,c)\, :\, 20|a \cdot b \cdot c\}$ จงหาจำนวนสมาชิกในเซต S 5. จงหาจำนวนวิธีจัดเรียง 555554444333221 โดยที่ "3 ไม่ติดกับ 3 หรือ 2" และ "2 ไม่ติดกับ 3 หรือ 2" เช่นกัน 6. ให้ $a,b,m,n$ เป็นจำนวนเต็มซึ่ง $(m,n)=1$ จงแสดงว่าต้องมีจำนวนเต็ม x ซึ่ง $x \equiv a \pmod{m}$ และ $x \equiv b \pmod{n}$                                                        ปล.รบกวน โพสเลขข้อ ชื่อวิชา ปีที่ ค่ายที่ เป็นไฟล์ภาพ http://www.mediafire.com/?pdy2v7895gfkqoc ใครมีข้อสอบค่าย เมษา ขอหน่อยนะครับ |
"ค่าย 1 ปี 2549"
อ้างอิง:
$a^3b+b^3a\ge 2a^2b^2\leftrightarrow ab(a-b)^2\ge 0$ อ้างอิง:
สมการเกิดเมื่อ $a=b=c=1/3$ อ้างอิง:
อ้างอิง:
จึงเหลือพิสูจน์ว่า $(a+b+c)(ab+bc+ca)-1\ge 2+2(a+b+c)\leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca-2)\ge 3$ เเละ $a+b+c\ge 3abc=3$ $ab+bc+ca\ge 3\sqrt{a^2b^2c^2}=3\leftrightarrow ab+bc+ca-2\ge 1$ อ้างอิง:
ซึ่ง $a^2+b^2+c^2+d^2\ge \frac{1}{4}(a+b+c+d)^2$ ทำให้อสมการเป็นจริงเมื่อ $a=b=c=d$ |
ค่าย 2 2549 อสมการ
อ้างอิง:
Use Weight AM.-GM. $$x_1+\frac{x_2^2}{2}+\frac{x_3^3}{3}+...+\frac{x_n^n}{n}\ge \Big(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\Big)\sqrt[1+1/2+1/3+...+1/n]{x_1x_2...x_n}\ge 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$$ อ้างอิง:
จึงเหลือเเค่พิสูจน์ว่า $$\frac{1}{a(3+a)}+\frac{1}{b(3+b)}+\frac{1}{c(3+c)}\le \frac{a+b+c}{4}$$ ให้ $f(x)=4/x(3+x)$ เป็นฟังก์ชัน(concaveด้วย) ดังนั้น $$\sum_{cyc} f(x)=\sum_{cyc} \frac{1}{a(3+a)}\le 3f\Big(\frac{x+y+z}{3}\Big)=\frac{27}{a+b+c+(9+a+b+c)}\le \frac{a+b+c}{4}$$ อ้างอิง:
|
ข้อ 4 ลองมอง
$\dfrac{4}{a+c+b+c} \leq \dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{b+c}$ |
#4ยังไงเหรอครับ
อ้างอิง:
เเต่ $$\frac{a^3+b^3}{a^3+b^3+1}\ge \frac{a+b}{a+b+c}\leftrightarrow (a^3+b^3)(a+b+c)\ge (a+b)(a^3+b^3+1)\leftrightarrow (a\sqrt{c}-b\sqrt{c})^2\ge 0$$ |
Homogeneuos assume that abc=1 คืออะไรหรอครับ
|
ก็อสมการมัน Homogeneuos อ่ะครับ(เห็นฝรั่งเค้าเรียกอย่างนี้ครับ 555) เราเลยสมมุติให้ $abc=1,a+b+c=3,a^2+b^2+c^2=3$ เเล้วเเต่จะเลือกเลยครับ
โดยมีเงื่อนไขว่า เวลาเเทน $a$ ให้เป็น $k$ เท่าเเล้วอสมการไม่เปลี่ยนเเปลงครับ อ้างอิง:
$$r\equiv 2^{100}+100!\equiv 0\pmod {16}$$ $$t\equiv 2^{100}+100!\equiv 1\pmod {41}$$ เพิ่งเรียน CRT มาจาก น้อง Black-Dragon ครับ 555 ได้ว่า $r=2416$ ( not sure:D ) |
#5
$\dfrac{4ab}{a+c+b+c} \leq \dfrac{ab}{c+a}+\dfrac{ab}{b+c}$ $\displaystyle \sum_{cyc} \dfrac{4ab}{a+b+2c} \leq a+b+c$ |
Combi 2554 ช่วยเช็คทีครับ ผมไม่ค่อยมั่นใจ
1.$31^2$ 2.$5\times 10!$ 3.$\binom {36}{3}-\binom {22}{3}$ Combi 2549 ค่าย 1 1.ก.$2^n-1$ ข.$$\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{1}\binom{n}{2}...\binom{n-k}{1}$$ ค.$$\binom{n}{1}\sum_{k=2}^n\binom{n}{k}+\binom{n}{2}\sum_{k=3}^n\binom{n}{k}+...+\binom{n}{n-1}\binom{n}{n}$$ 2.$3!\binom{6}{2}$ 3.$\binom{19}{3}$ ปล.#8 สวยดีครับ :haha: |
คอมบิข้อ1 ปี 2544 จาก
$(10^{40},20^{30})=5^{30}2^{40}$ ได้ 31x41 ตัวอะครับ ข้อ 2 วางเลข 1 ก่อนได้ 1 วิธี วาง 0 ได้ 11x10x9x8x7 แต่ มันเหมือนกันเลยต้องหารด้วย 5! ได้$\binom{11}{5} $ |
ข้อ 3 เรขาคณิตค่าย 2
ใครได้ว่ามันแบ่งครึ่งบ้างครับ ผมได้มันแบ่งครึ่งหมดเลย |
เพิ่ม ค่าย1,2554
ค่าย2,2554 ค่าย1,2553 แล้วนะครับ |
อ้างอิง:
เขาแจกกลับหรอครับ |
สอบเสร็จก็เอาออกมาได้หมดเลยครับ ส่วนของปีเก่าๆต้องซื้อเอาครับ
(ผมเข้าปีนี้ปีแรกเอง) |
ขี้เกียจเรียงข้อเเล้วครับ 555
อ้างอิง:
$(p,q)=1$ by FLT then $2^{q-1}\equiv 1\pmod p\rightarrow 2^pq\equiv 2^p\equiv 2\pmod p$ then contradiction :) อ้างอิง:
จาก $f(x^p)\equiv f(x)^p\pmod p$ ให้ $f(n)=n+i$ ดังนั้น $$\sum_{i=0}^{100} (n+i)^{101}\equiv \sum_{i=0}^{100}( n^{101}+i)\equiv 0\pmod 101$$ เเละ $2^{2^{2553}}\equiv 1\pmod {101}$ กับ $2(p-3)!\equiv -1\pmod {p}\rightarrow 2(98)!\equiv -1\pmod p$ อ้างอิง:
ลบกันจะได้ว่า $n_1(-k_1)+n_2(k_2)=a_1-a_2$ ดังนั้น $d|{n_1(-k_1)+n_2(k_2)=a_1-a_2}$ assume $(n_i,n_j)|(a_i-a_j)$ โดยทฤษฎีที่ว่า $ax\equiv b\pmod m$ มีคำตอบ เมื่อ $(a,m)|b$ อ้างอิง:
เห็นได้ชัดว่า $3|d$ เเละ $(n!+1,(n+1)!+1)=1$ $\therefore (3^{n!+2}-3,3^{n!+2}-3)=(3^{1}-1)3=6$ อ้างอิง:
ปล.ขนาดค่ายเเรกก็เก่งขนาดนี้เเล้วครับ ผมเข้ามาครั้งที่ 2 เเล้วยังไม่เก่งเลย :great: |
ข้อสอบค่าย 3 ผมมีบางส่วนนะครับ
1. ให้ $x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}$ ซึ่ง $x_1+x_2+\cdots+x_n=0$ และ $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1$ จงแสดงว่ามีผลคูณของ 2 จำนวนต่างกันใน $x_1,x_2,...,x_n$ ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $-\dfrac{1}{n}$ 2. กำหนด $f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$ เป็นพหุนามเหนือจำนวนจริงและ $a_0,a_n \not= 0$ สำหรับ $x \in \mathbb{R}$ ได้ว่า $f(x) \cdot f(2x^2) = f(2x^3+x)$ พิสูจน์ว่า $f$ ไม่มีรากจริง 3. ให้ $a_0,a_1,a_2,...$ เป็นลำดับเพิ่มของจำนวนเต็มบวก (ผมว่าโจทย์ผิด น่าจะเป็นจำนวนเต็มไม่ติดลบมากกว่า) ซึ่งสำหรับทุกจำนวนเต็มไม่ติดลบจะสามารถเขียนได้ในรูปของ $a_i+2a_j+4a_k$ สำหรับบาง $i,j,k$ ที่ไม่จำเป็นต้องต่างกัน จงหาค่าของ $a_{14}$ 1. จงหาจำนวนจริง $a$ ที่ทำให้อสมการ $$16x^2+16y^2+\frac{1}{32} \ge x+y-axy$$ เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ ซึ่ง $|x|=|y|$ 2. (shortlist tmo 6) สำหรับจำนวนจริงบวก $x_1,x_2,...,x_n$ ซึ่ง $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}=n$ จงแสดงว่า $$x_1x_2^2x_3^3 \cdots x_n^n \ge \Big[ \frac{3}{2} \cdot \frac{n+1}{2n+1} \Big] ^{\frac{n(n+1)}{2}}$$ 3. (shortlist tmo 6) สำหรับจำนวนจริงบวก $a,b,c$ ซึ่ง $abc=1$ จงแสดงว่า $$\sum_{cyc} \frac{a^2}{\sqrt{1+a^3} \cdot \sqrt{1+b^3}} \ge \frac{4}{3}$$ 4. กำหนด $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ สอดคล้องอสมการ $$\frac{f(x)+f(y)}{2} \ge f \Big( \frac{x+y}{2} \Big) + |x-y|$$ ทุกจำนวนจริง $x,y$ แล้ว จงแสดงว่า $$\frac{f(x)+f(y)}{2} \ge f \Big( \frac{x+y}{2} \Big) + 2^n|x-y|$$ ทุกจำนวนนับ $n$ พร้อมทั้งหา $f$ ทั้งหมด 5. กำหนด $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}_0$ สอดคล้องเงื่อนไขต่อไปนี้ (i) $f(m+n)-f(m)-f(n)$ มีค่าเป็น 0 หรือ 1 ทุกจำนวนนับ $m,n$ (ii) $f(2)=0$ และ $f(3)>0$ (iii) $f(9999)=3333$ จงหาค่าของ $f(2010)$ 6. จงหา $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการ $$f(x-f(y))=f(f(y))+2f(y)+f(x)-2$$ ทุกจำนวนจริง $x,y$ 1. จงเติมคำตอบต่อไปนี้ 1.1) $ord_52=?$ 1.2) $ord_{13}2=?$ 1.3) $ord_{10}3=?$ 1.4) $ord_{11}3=?$ 1.5) $ord_{17}2=?$ 1.6) $ord_{25}9=?$ 1.7) สำหรับจำนวนเฉพาะ $p$ แล้ว $ord_p(p-1)=?$ 1.8) ให้ $a \in \mathbb{Z}_n^*$ ซึ่ง $ord_na=h$ ถ้า $k$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $k|h$ แล้ว $ord_na^k=?$ 1.9) จงเขียนเซต $\{ a \in \mathbb{Z}_n^*\, :\, ord_{25}a=10 \}$ แบบแจกแจงสมาชิก 1.10) ให้ $a,b \in \mathbb{Z}$ ที่ $(a,100)=(b,100)=1$ และ $ord_{100}a=4$ และ $ord_{100}b=10$ แล้ว $ord_{100}ab=?$ 2. จงแสดงว่าทุก $a \in \mathbb{Z}_{63}^*$ แล้ว $ord_{63}a < \phi (63)$ 3. ให้ $a,b \in \mathbb{Z}_n^*$ จงแสดงวิธีเขียน $ord_na \cdot _n b$ ในรูปของ $ord_na$ และ $ord_nb$ 4. สำหรับจำนวนเฉพาะคี่ $p$ ให้ $n=p^3$ จงแสดงว่ามี $a \in \mathbb{Z}_n^*$ หรือไม่ซึ่ง $ord_na= \phi (n)$ 1. ถุงใบหนึ่งมีลูกแก้ว 4 สี สีละ 100 ลูก ถ้าหยิบลูกแก้วจากถุงนาทีละลูก จะต้องใช้เวลาอย่างน้อยเท่าใดจึงจะมั่นใจว่าลูกที่หยิบออกมาแล้วมีกลุ่มที่เป็นสีเดียวกัน 1 โหล 2. สมชายมีหนังสือเลข 7 เล่มต่างกัน สมศรีมีหนังสือดาราศาสตร์ 5 เล่มต่างกัน ทั้งสองจะแลกกันอ่านหนังสือเล่มต่อเล่ม จะมีวิธีแลกหนังสือได้กี่วิธี ถ้าหลังจากแลกแล้วยังมีจำนวนหนังสือของแต่ละคนเท่าเดิม 3. นักเรียนทีมหนึ่งมี 3 คน มีโจทย์ปัญหา 5 ข้อ แต่ละข้อถูกทำโดยเพียงคนเดียว และทุกคนต้องทำอย่างน้อย 1 ข้อ นักเรียนทีมนี้จะสามารถแบ่งโจทย์กันทำได้กี่วิธี 4. เกมหอคอยฮานอยมี 3 เสากับแผ่นไม้ 10 แผ่นขนาดรัศมีต่างกัน จะเรียงได้กี่วิธี 5. ให้ $n=2^{17} \cdot 3^8$ จงหาจำนวนของจำนวนเต็มบวก $k$ ซึ่ง $k|n^2$ ในขณะที่ $k \nmid n$ 6. หาจำนวนลำดับเทอร์นารีที่มีความยาว 6 และผลบวกทุกพจน์เป็นจำนวนคู่ 7. หาจำนวนผลเฉลยสมการ $$x_1+x_2+x_3+x_4=32$$ เมื่อ $x_1,x_2,x_3 >0$ และ $0< x_4 \le 25$ 8. ในเซต $\{ 1,2,3,...,200 \}$ มีกี่จำนวนที่ปราศจากกำลังสอง และห้ามใช้วิธีการแจกแจงกรณี 9. หาจำนวนวิธีเลือกช่องในตาราง $8 \times 8$ อย่างน้อย 1 ช่องโดยไม่มีช่องใดที่เลือกอยู่ในแถวและหลักเดียวกัน และไม่มีช่องใดอยู่ทางซ้ายและใต้ของบางช่องที่ถูกเลือก 10. สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ จงพิสูจน์โดยให้เหตุผลเชิงคอมบินาคอริคส์ว่า $$\frac{1}{2} \binom{2n+2}{n+1} = \binom{2n}{n} + \binom{2n}{n-1}$$ part1 - calculate 1. สามเหลี่ยมมุมฉากหนึ่งมีเส้นรอบรูป 60 นิ้ว และเส้นที่ลากจากมุมฉากมาตั้งฉากที่ด้านตรงข้ามยาว 12 จงหาค่าผลต่างความยาวด้านประกอบ 2. สามเหลี่ยม ABC มีจุด X บน AB ที่ทำให้ $AX:XB=3:5$ ลาก XY//BC ตัด AC ที่ Y ต่อ BY และลาก XZ//BY ตัด AC ที่ Z แล้ว จงหาอัตราส่วน [BYZX]:[ABC] 3. สี่เหลี่ยม ABCD แนบในครึ่งวงกลม มี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ต่อ AD และ BC ไปตัดกันที่ E ต่อ AC,BD ตัดกันที่ F และต่อ EF ตัด AB ที่ G และตัดเส้นรอบวงที่ H ถ้า GF=4 และ EF=5 แล้วจงหาความยาว GH 4. สามเหลี่ยม ABC มีมุม BAC เป็นสองเท่าของมุม ABC วงกลม O แนบนอกตรงข้ามมุม A ต่อ AO ตัด BC ที่ P ถ้า AP=3 และ AB=5 แล้วจงหาความยาวด้าน AO 5. สี่เหลี่ยม ABCD แนบในวงกลมที่มีจุด O เป็นจุดศูนย์กลาง แส้นทะแยงมุม AC ตัดตั้งฉาก BD ที่ E ถ้า AC=14, BD=16, OE=7 แล้วจงหาค่าของ $AE^2+BE^2+CE^2+DE^2$ 6. วงกลม O มี XOY เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง คอร์ด AB แบ่งครึ่งและตั้งฉาก XO วาดวงกลมที่มี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางและตัด OY ที่ P ต่อ AP, BP ออกไปตัดเส้นรอบวงกลม O ที่ C, D ตามลำดับ ถ้า BC=8 แล้วจงหาความยาว AB 7. วงกลมสองวงตัดกันที่ X,Y ต่างกัน เส้นสัมผัสร่าวมด้านจุด X สัมผัสวงกลมทั้งสองที่ A, B ตามลำดับ ต่อ AX ตัดวงกลมอีกวงที่จุด D ต่อ DY ตัดวงกลมอีกวงที่จุด E และต่อ EX ถ้ามุม AXB=130$^{\circ}$ แล้วจงหาขนาดมุม AXE 8. จุด I, O เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน, ล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC ต่อ AI, BI, CI, BO ถ้ามุม AIC=125$^{\circ}$ และ IBO=10$^{\circ}$ แล้วจงหาขนาดมุม BIC 9. สามเหลี่ยม ABC มีด้าน AB=18, BC=24, CA=30 ตามลำดับ แล้ว จงหาอัตราส่วน [ABC]:[IOG] (I=incenter, O=circumcenter, G=centroid) 10. สามเหลี่ยม ABC มีจุด P, Q, R บนด้าน BC, CA, AB ที่ทำให้ BP:PC=CQ:QA=AR:RB=1:3 ต่อ AP, BQ, CR ตัดกันที่ X, Y, Z ตามลำดับ จงหาอัตราส่วน [XYZ]:[ABC] part2 - prove 1. สามเหลี่ยม ABC มี I เป้น incenter ต่อ AI ตัด BC ที่ X แล้วพิสูจน์ว่า (AB+AC):BC=AI:IX 2. สามเหลี่ยม ABC มีวงกลมแนบในสัมผัสด้าน BC, CA, AB ที่ X, Y, Z ตามลำดับ ถ้า XY=XZ แล้วพิสูจน์ว่า AC$\cdot$XY$^2$ = 2AZ$\cdot$CX$^2$ 3. สี่เหลี่ยมใดๆที่มีวงกลมแนบในและนอก ลากเส้นจากจุดสัมผัสวงกลมแนบในซึ่งอยู่ตรงข้ามกันแต่ละคู่ พิสูจน์ว่าสองเส้นนั้นตัดตั้งฉากกัน 4. สามเหลี่ยม ABC มุมแหลม มีวงกลมล้อมรอบรัศมี R และ AD, BE, CF เป็นเส้นตั้งฉากจากมุม A, B, C ตามลำดับ พิสูจน์ว่าเส้นรอบรูปสามเหลี่ยมพีเดล DEF เท่ากับ $R(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)$ 5. ABCD เป็นสี่เหลี่ยมที่มี AC, BD เป็นเส้นทะแยงมุม ถ้า AC$\cdot$BD=AB$\cdot$CD+AD$\cdot$BC แล้วพิสูจน์ว่า ABCD concyclic (บทกลับ Ptolemy's theorem) 6. ให้ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม AM, BN เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่ A, B ตามลำดับ ให้ X เป็นจุดใดๆบนเส้นรอบวง ลากเส้นสัมผัสวงกลมที่ X ต่อออกไปตัด AM, BN ที่ C, D ตามลำดับ พิสูจน์ AB$^2$=4CX$\cdot$XD 7. ให้ ABC เป้นสามเหลี่ยมแนบในวงกลม O ถ้าคอร์ด AD ตั้งฉากกับ BC และคอร์ด BE ตั้งฉากกับ AC ต่อ CD, CE, DE แล้วพิสูจน์ว่า CDE เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 1. $a,b,c>0$ และ $abc=1$ พิสูจน์ $$\sum_{cyc} \frac{a^2(b+c)}{b \sqrt{b} + 2c \sqrt{c}} \ge 2$$ 2. กำหนด $f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ สอดคล้องเงื่อนไขต่อไปนี้ (i) $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน $(0, \infty )$ (ii) $f(x)>-\frac{1}{x}$ สำหรับ $x>0$ ใดๆ (iii) $f(x) \cdot f \Big( f(x)+\dfrac{1}{x} \Big) = 1$ สำหรับ $x>0$ ใดๆ จงหาค่าของ $f(1)$ พร้อมยกตัวอย่างฟังก์ชันที่สอดคล้องเงื่อนไขดังกล่าว 1. ถุงหนึ่งมีลูกปิงปองสีแดง, เขียว, ขาว, ดำอย่างละ 10 ลูก แต่ละสีมีหมายเลข 1-10 ติดอยู่ จงหาจำนวนวิธีสุ่มหยิบลูกปิงปองแล้วลูกหนึ่งเป็นสีแดง และอีกลูกหนึ่งไม่ติดหมายเลข 9 2. ให้ $S=\{ a,b,c,d,e \}$ และ $X,Y,Z \subseteq S$ จงหาจำนวนสมาชิกของเซต $T=\{ (X,Y,Z)\, :\, X \cap Y \cap Z = \phi$ และ $X \cup Y \cup Z=S \}$ 3. จำนวนเต็มบวกสามหลักซึ่งหารด้วย 2,3,4,5 ได้ลงตัวมีกี่จำนวน 4. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวกน้อยกว่า 10 และ $S = \{ (a,b,c)\, :\, 20|a \cdot b \cdot c\}$ จงหาจำนวนสมาชิกในเซต S 5. จงหาจำนวนวิธีจัดเรียง 555554444333221 โดยที่ "3 ไม่ติดกับ 3 หรือ 2" และ "2 ไม่ติดกับ 3 หรือ 2" เช่นกัน 6. ให้ $a,b,m,n$ เป็นจำนวนเต็มซึ่ง $(m,n)=1$ จงแสดงว่าต้องมีจำนวนเต็ม x ซึ่ง $x \equiv a \pmod{m}$ และ $x \equiv b \pmod{n}$ ผมลงโจทย์เท่าที่มีครบแล้วนะครับ ส่วนปีนี้จะเป็นยังไงก็คงต้องรอรุ่นต่อไปมาลงละกันนะครับ หรือถ้าโชคดีได้ข้อสอบมาก็จะลงให้ครับ :laugh: |
ขอบคุณคุณ PP_nine มากครับ:wub:
|
ถามนิดครับ $ord_5 (2)=4$ ใช่ป่าวครับ order นี่คือ จำนวนนับน้อยสุดที่ $2^{ord_5 (2)}\equiv 1\pmod 5$ ใช่มั้ยครับ :sweat:
เเล้วก็ ie. ข้อ 3 นี่ใช่ $3/2$ ป่าวครับ กับ alg.ข้อ 2. $f(x)...f(2x^2)=f(2x^3+x)$ ... คืออะไรเหรอครับ ปล.โหดจังครับ = =" |
#18 ใช่ครับ
ข้ออสมการผมก็ว่าควรจะเป็นแบบนั้น แต่มันผิดตั้งแต่ดฉลยใน shortlist แล้ว อาจารย์เค้าคงลอกไม่ดูโจทย์ล่ะมั้ง - - ส่วนข้อพีชคณิต ผมพิมพ์ผิดครับ เผลอไปเติม s กับ \cdot เลยเป็นแบบนั้น :sweat: |
ข้อ 3 มี n เป็นอนันต์ครับ
$n \equiv 5 \pmod{180}$ |
อ้างอิง:
$$\sum_{cyc} \frac{x^4(y^2+z^2)}{y^3 + 2z^3 } \geq 2$$ แล้วโดย A.M.-G.M. และจาก $xyz=1$ $$ \sum_{cyc} \frac{x^4(y^2+z^2)}{y^3 + 2z^3 } \geq \sum_{cyc} \frac{2x^3}{y^3+2z^3}$$ จากนั้นสิ่งที่เราต้องพิสูจน์ก็มีแค่ $$\sum_{cyc} \frac{x^3}{y^3+2z^3} \geq 1$$ ซึ่งเป็นจริงโดย Cauchy |
อ้างอิง:
ถ้าเเลกกัน 1 เล่มได้ $\left\{\,M_i,A_i\right\} $ ทั้งหมด $\binom {7}{1}\binom {5}{1}$ วิธี เเละ เเลก 2 เล่ม ได้ $\binom {7}{2}\binom{5}{2}$ ... เเลก 5 เล่ม ได้ $\binom {7}{5}\binom{5}{5}$ รวม $\binom{7}{1}\binom{5}{1}+\binom{7}{2}\binom{5}{2}...\binom {7}{5}\binom{5}{5}$ หรือป่าวครับ เเล้วก็ อ้างอิง:
อ้างอิง:
เเต่ถ้า $x_4\ge 26$ ให้ $p=x_4-26\ge 0$ ดังนั้นได้ $\binom {3+4-1}{3}=\binom {6}{3}$ วิธี นั่นคือ ได้ที่สอดคล้อง $\binom{31}{3}-\binom {6}{3}$ |
ปราศจากกำลังสอง คืออะไรอะครับ
แล้ว$Z^*$ คือไรอะครับ คอมบิข้อ1. ได้ 45 อะครับ คอมบิข้อ2,7 ได้แบบคุณจูกัดเหลียงครับ |
อ้างอิง:
2.12 3.4 4.10 5.16 6.20 ถ้าผมเข้าใจไม่ผิด Ord คือ ถ้า $Ord_ab=n$ แล้ว $b^n\equiv (mod a)$ ปล.ใครทำ FE ได้ ช่วยทำให้ดูทีครับ ผมยังไม่เคยเจอ FE เลยครับ |
อ้างอิง:
try to find $f(0)=2,f(1)=1,f(2)=0$ by yourself then take $y=1$ get $f(x-1)=1+2+f(x)-2=f(x)+1$ so $f(x-2)=f(x-1)+1...$ then $f(x-(x-1))=f(x-x)+1$ sum all of these then $f(x)=2-x$ |
อ้างอิง:
หรือก็คือ $n=p_1p_2 \cdots p_k$ เมื่อ $p_1,p_2,...,p_k$ เป็นจำนวนเฉพาะต่างกัน ส่วน $\mathbb{Z}_n^*$ นิยามคือเซตของจำนวนเต็มบวก $k$ ซึ่ง $1 \le k \le n$ และ $(k,n)=1$ |
อ้างอิง:
แถมบรรทัดสุดท้ายจะทำอย่างนั้นได้แปลว่า $x$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งไม่ได้ onto บน $\mathbb{R}$ |
เเหะๆ ผมก็ว่าอย่างนั้น เเล้วทำยังไงเหรอครับ ผมขอเป็น Hint ทั้งข้อ 4,5 เเละ 6 เลย
|
4. ยังทำไม่ได้ครับ 5. ถ้าให้ $f(m+n)=f(m)+f(n)+a(m,n)$ โดยที่ $a(m,n) \in \{ 0,1 \}$ แล้วกระจาย $f(9999)$ 6. จัดรูปเป็น $f(f(y))=k-f(y)$ เมื่อ $k=\dfrac{2+f(0)}{2}$ แล้วหา $f(k)$ สมมติว่าเราเขียนได้ในรูปของเชิงเส้น, $f(k)=ak+b$ สร้าง $F= \{ x\, : \, f(x)=ax+b\}$ ได้ว่าอย่างน้อยมี $k \in F$ แล้วดูพฤติกรรมของเซตนี้ |
ขอบคุณมากครับ. 19นี้เข้าค่ายแล้ว
สอบเต็ม250ต้องได้กี่คะแนนหรอครับถึงติด แล้วควรลงหนักวิชาไหน ขอบคุณครับ |
อ้างอิง:
จาก $\left \lfloor {x} \right \rfloor\leqslant x<\left \lfloor {x} \right \rfloor+1$ เราได้ว่า $4(\left \lfloor {x} \right \rfloor)^2-40\left \lfloor {x} \right \rfloor+51\leqslant 4x^2-40\left \lfloor {x} \right \rfloor+51=0<4(\left \lfloor {x} \right \rfloor+1)^2-40\left \lfloor {x} \right \rfloor+51$ เมื่อแก้อสมการออกมาเราจะได้ว่า $\frac{3}{2} \leqslant \left \lfloor {x} \right \rfloor< \frac{5}{2} \vee \frac{11}{2} < \left \lfloor {x} \right \rfloor\leqslant \frac{17}{2} $ แต่ $\left \lfloor {x} \right \rfloor \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left \lfloor {x} \right \rfloor=2,6,7,8$ เท่านั้น กรณี$\left \lfloor {x} \right \rfloor=2 \Rightarrow 2\leqslant x<3$แทนในสมการเริ่มต้นได้ว่า $4x^2-40(2)+51=0 \Rightarrow x=\frac{\sqrt{29}}{2} $ กรณี$\left \lfloor {x} \right \rfloor=6 \Rightarrow 6\leqslant x<7$แทนในสมการเริ่มต้นได้ว่า $4x^2-40(6)+51=0 \Rightarrow x=\frac{3\sqrt{21}}{2} $ กรณี$\left \lfloor {x} \right \rfloor=7 \Rightarrow 7\leqslant x<8$แทนในสมการเริ่มต้นได้ว่า $4x^2-40(7)+51=0 \Rightarrow x=\frac{\sqrt{229}}{2} $ กรณี$\left \lfloor {x} \right \rfloor=8 \Rightarrow 8\leqslant x<9$แทนในสมการเริ่มต้นได้ว่า $4x^2-40(8)+51=0 \Rightarrow x=\frac{\sqrt{269}}{2} $ $\therefore x=\frac{\sqrt{29}}{2},\frac{3\sqrt{21}}{2},\frac{\sqrt{229}}{2},\frac{\sqrt{269}}{2}$ ให้ $A=\frac{2x}{1+x},B=\frac{2y}{1+y} $ จะได้ระบบสมการเป็น $A^3+B^3=-7,AB=-2 \Rightarrow (A+B)((A+B)^2-3(-2))=-7\Rightarrow A+B=-1 \Rightarrow (A,B)=(-2,1),(1,-2)$ จะได้ $(\frac{2x}{1+x},\frac{2y}{1+y})=(-2,1),(1,-2) \Rightarrow (x,y)=(-\frac{1}{2},1),(1,-\frac{1}{2})$ จัดรูปเป็น $(x+y)^2+(625-x+y)^2=625^2$ โดย pythagorus triple : $(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2$ พิจารณา $375^2+500^2=625^2,175^2+600^2=625^2,220^2+585^2=625^2,336^2+527^2=625^2$ จากนั้นแก้สมการสองตัวแปรจะได้คำตอบเป็น $(x,y)=(100,75),(130,90),(217,119),(250,125),(375,125),(408,119),(495,90),(525,75)$ ข้อ 4:จงหาพหุนาม$P(x)$ที่ทำให้$P(x)$หารด้วย$x+1$และ$x-1$ลงตัว แต่$P(x)$หารด้วย$x^3+x^2-1$เหลือเศษ -1 ให้$P(x)=(x-1)(x+1)Q(x)$ จะได้ว่า $P(x)=(x^2-1)Q(x)=(x^3+x^2-1)R(x)-1\Rightarrow 1=(x^3+x^2-1)R(x)-(x^2-1)Q(x)$ จาก Euclidean Algorithm เราได้ $$x^3+x^2-1=(x^2-1)(x+1)+x$$ $$x^2-1=x(x)-1$$ ทำย้อนกลับเราจะได้ว่า $$1=x(x)-(x^2-1)=x((x^3+x^2-1)-(x^2-1)(x+1))-(x^2-1)=(x^3+x^2-1)(x)-(x^2+x+1)(x^2-1)$$ ดังนั้นจึงได้ว่า $P(x)=(x^2-1)(x^2+x+1)=x^4+x^3-x-1$ จัดรูปสมการเป็น $$(x^{2552}-2x^{2551}+x^{2550})+(2x^{2550}-4x^{2549}+2x^{2548})+(3x^{2548}-6x^{2547}+3x^{2546})+...+(1276x^2-2552x+1276)+1277=0 $$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น $$(x-1)^2[x^{2550}+2x^{2548}+3x^{2546}+...+1276]+1277=0$$ จะได้ $L.H.S>0$ดังนั้น สมการโจทย์จึงไม่มีรากที่เป็นจำนวนจริง |
อ้างอิง:
วิชาที่ควรลงหนักคือทฤษฏีจำนวนกับ FE เพราะเป็นวิชาที่ฉุดได้ดีที่สุด ทฤษฎีจำนวนอาจารย์มักจะออกแนวพิสูจน์ทฤษฎีบทข้อนึงเป็นประจำ ซึ่งถ้าอ่านเข้าใจอย่างถ่องแท้แล้วก็ไม่น่าห่วงอะไรมาก แต่ก็ชอบออกคำนวณอยู่บ้าง ซึ่งแต่ละข้อตัวเลขก็ใช่จะทำเสร็จเร็ว :wacko: ส่วน FE พี่ไม่แน่ใจว่าอาจารย์คนใหม่เค้ามาประมาณไหน เพราะเคยเจอไม่กี่ครั้งเอง ล่าสุดอาจารย์ก็เล่นเอา FE ซะหนักหนาสาหัสในค่าย 3 ปี 54 มาแล้ว :cry: (ข้อนั้นคำตอบเละมาก แต่วิธีทำก็สวยมาก และเป็นโจทย์คลาสสิกระดับหนึ่ง) |
ข้อ 5 จริงๆก็ไม่ยากนะครับ แค่วัดใจคนทำว่ากล้ากระจายหรือเปล่า
อ้างอิง:
จากเงื่อนไขข้อที่ 1 แสดงว่ามีฟังก์ชันสองตัวแปร $a : \mathbb{N}^2 \rightarrow \{ 0,1 \}$ ซึ่งสอดคล้องกับ $$f(m+n)=f(m)+f(n)+a(m,n)$$ ดังนั้น $$f(2)=2f(1)+a(1,1)$$ $$0=2f(1)+a(1,1)$$ แต่ $f(1) \ge 0$ และ $a(1,1) \ge 0$ แสดงว่า $f(1)=0$ เท่านั้น ดังนั้น $$f(3)=f(1)+f(2)+a(1,2)$$ $$f(3)=a(1,2)$$ แต่จากเงื่อนไขบอกว่า $f(3)>0$ แสดงว่า $f(3)=1$ เท่านั้น ประเด็นจะอยู่ต่อจากนี้ไป เราจะเริ่มกระจาย $f(9999)$ โดยลดลงทีละ 3 ดังนี้ $$f(9999)=f(9996)+f(3)+a(9996,3)$$ $$f(9996)=f(9993)+f(3)+a(9993,3)$$ $$f(9993)=f(9990)+f(3)+a(9990,3)$$ $$\vdots$$ $$f(6)=f(3)+f(3)+a(3,3)$$ รวมทุกสมการได้ว่า $$f(9999)=3333f(3)+\sum_{n=1}^{3332} a(3n,3)$$ แทนค่าของฟังก์ชันได้ว่า $$\sum_{n=1}^{3333} a(3n,3)=0$$ แสดงว่าเป็นไปได้กรณีเดียวคือ $$a(3,3)=a(6,3)=a(9,3)= \cdots =a(9996,3)=0$$ นั่นคือ $a(k,3)=0$ เมื่อ $3|k$ และ $3 \le k \le 9996$ แต่ว่า $3|2010$ ในทำนองเดียวกัน แสดงว่า $$f(2010)=f(2007)+f(3)$$ $$f(2007)=f(2004)+f(3)$$ $$\vdots$$ $$f(6)=f(3)+f(3)$$ รวมทุกสมการได้ว่า $$f(2010)=670f(3)$$ นั่นคือ $f(2010)=670$ # |
อ้างอิง:
ที่ผมเข้าใจคือจะทำได้ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ยังพิสูจน์ไม่ได้ว่า $f$ มีสมบัตินี้จริงๆ :rolleyes: |
2553 : Combinatorics
อ้างอิง:
ตอบ 365 ให้ $a_n$ แทน จำนวนของสตริงฐานสาม n หลัก ที่ผลบวกของเลขโดดทุกตัวเป็นจำนวนคู่ ให้ $b_n$ แทน จำนวนของสตริงฐานสาม n หลัก ที่ผลบวกของเลขโดดทุกตัวเป็นจำนวนคี่ จะได้ $a_n + b_n = 3^n ...(*)$ หา $a_n$ $a_n = a_{n, 0} + a_{n,1} + a_{n, 2} = a_{n-1} + b_{n-1} + a_{n-1} = 2a_{n-1} + b_{n-1}$ ...(**) แต่จากสมการ (*) จะได้ $b_{n-1} = 3^{n-1} - a_{n-1}$ แทนใน (**) จะได้ $$a_n = a_{n-1} + 3^{n-1} , a_1 = 2, a_2 = 5$$ ดังนั้น $a_6 = 365$ |
ค่าย 1/2554 Inequality
$$\sum_{cyc} \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} \geqslant \frac{a+b+c}{3} $$ Am-gm $a^3+a^3+b^3 \geqslant 3a^2b$ และ $b^3+b^3+a^3 \geqslant 3ab^2$ จะได้ว่า $a^3+b^3 \geqslant a^2b+ab^2$ $3a^3 = 2a^3+a^3 \geqslant 2a^3+a^2b+ab^2-b^3 = 2a^3-a^2b+2a^2b-ab^2+2ab^2-b^3$ $3a^3 \geqslant (2a-b)(a^2+ab+b^2)$ จะได้ว่า $$\sum_{cyc} \frac{a^3}{a^2+b^2+ab} \geqslant \frac{2a-b}{3} = \frac{a+b+c}{3} $$ |
ค่าย 1/2554
อสมการสมมูลกับ $$\sum_{cyc} \frac{a}{\sqrt{2ab+2+a} }\geqslant 1$$ เนื่องจาก $$\sum_{cyc} \frac{a}{\sqrt{a}\cdot \sqrt{2ab+2+a} } \geqslant \sum_{cyc}\frac{a}{a+ab+1} $$ $\dfrac{a}{a+ab+1}+\dfrac{b}{b+bc+1}+ \dfrac{c}{c+ac+1} =\dfrac{a}{a+ab+1}+\dfrac{ab}{ab+abc+a}+ \dfrac{abc}{abc+a(abc)+ab}=1$ ปล. โจทย์เดิมถูกแล้ว |
ค่าย 1/2553
$a,b,c>0$ $$\sum_{cyc} \frac{a^5}{b^3} \geqslant \sum_{cyc} \frac{a^4}{b^2}$$ วิธีทำ คูณ $(abc)^3$ ทั้งสองข้างจะำได้ $a^3b^8+b^3c^8+c^3a^8 \geqslant a^7bc^3+b^7ca^3+c^7ab^3$ Weighted Am-gm inequality $\dfrac{5(a^3b^8)}{49} +\dfrac{41(a^8c^3)}{49}+\dfrac{3(c^8b^3)}{49} \geqslant \sqrt[49]{a^{343}b^{49}c^{147}}=a^7bc^3 $ $\dfrac{3(a^3b^8)}{49} +\dfrac{5(a^8c^3)}{49}+\dfrac{41(c^8b^3)}{49} \geqslant \sqrt[49]{c^{343}a^{49}b^{147}}=c^7ab^3 $ $\dfrac{41(a^3b^8)}{49} +\dfrac{3(a^8c^3)}{49}+\dfrac{5(c^8b^3)}{49} \geqslant \sqrt[49]{b^{343}c^{49}a^{147}}=b^7ca^3 $ |
ข้อ 6 ผมผิดจริงๆด้วยครับพี่ nooonuii
ก็ว่าอยู่ว่าทำไมมันง่ายแปลกๆ :p |
#38 โหดขิง นึกไม่ถึงเลยครับ
|
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 01:54 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha