เตรียมสอบ สพฐ. 2555 เรื่องการนับ
 

การนับเป็นเรื่องดูเหมือนง่ายและยากไปในตัว ที่ง่ายก็คือ หลักพื้นฐานที่สุดที่ใช้มีเพียง กฏการบวกและกฎการคูณ ที่ยากก็คือ ทำเสร็จแล้ว ยากที่จะบอกได้ว่าคำตอบที่ตัวเองคิดนั้นถูกต้องหรือไม่ :mad:

สมมติว่ามีคนสามคนคือ นาย A, นาย B, นาย C ทำปัญหาข้อเดียวกัน ถ้านาย A ตอบ 120, นาย B ตอบ 200 แต่นาย C ตอบ 270 คำถามก็คือ แล้วคำตอบของใครถูก :confused:

ดังนั้นคนที่จะคิดเรื่องนี้ได้ถูกที่สุด จึงต้องมีแนวคิดพื้นฐานที่ถูกต้อง แม่นยำ ซึ่งนั่นต้องมาจากการฝึกฝนอยู่อย่างสม่ำเสมอนั่นเอง ที่จริงแล้ว ในหัวข้อ การนับจำนวนเส้นทาง ก็เป็นหนึ่งในหัวข้อย่อยของเรื่องนี้ที่จงใจแยกออกไปต่างหาก สำหรับหัวข้อนี้นั้นเรามาลองเริ่มจากคำถามต่อไปนี้นะครับ.:cool:

ไม่เข้าใจโจทย์ ตรง

........เป็น "จำนวนฮ่า ๆ" ก็ต่อเมื่อ มีเลขโดด '5' เพียง 2 ตัวเท่ากัน ....

ผมแก้โจทย์แล้วครับ อันนี้เป็นจุดอ่อนผม ประมาณ 1 ใน 100 ครั้ง ผมจะเผลอเขียนคำว่า "เท่านั้น" เป็น "เท่ากัน" :p

Attachment 7366

รวม 81+81+81 = 243 จำนวน

มาเติมโจทย์โค้งสุดท้ายรอบแรกนะครับ. ;)

ปล.ของคุณ Banker ถูกต้องนะครับ. :cool:

2.พิจารณา สมมติเลขตัวแรกเป็น n จะได้ว่าสร้าง n _ _ _ _ ได้ = 4x3x2x1=24แบบ
พอเรียงจากน้อยไปหามาก แสดงว่า n=3 และเลข 30124 จะเป็นตัวที่ 49

พิจารณาต่อ ให้ตัวหลักพัน เป็น m จะได้ว่าสร้าง 3 m _ _ _ ได้ 3x2x1=6 แบบ

จะได้ว่า ถ้า m=0 แล้วไล่ไปจะจบที่ ตัวที่ 54 ดังนั้น m=1 เลขตัวนั้นคือ 3 1 0 2 4

3.ถ้าวางโดยไม่คำนึงถึงเงื่อนไข ได้ 3x3x3x3x3x3=243 แบบ
ถ้ามี 5 สองตัว กรณีที่เลข 5 สองตัวติดกันจะมีได้ 5x2x2x2x2=80แบบ
ถ้ามี 5 สามตัว กรณีที่เลข 5 สามตัวติดกันจะมี 4x2x2x2=32แบบ
ถ้ามี 5 สี่ตัว จะได้ 3x2x2 =12 แบบ
ถ้ามี 5 ห้าตัว จะได้ 2x2=4 แบบ
ถ้ามี 5 หกตัวจะได้ 1 แบบ

วิธีแบบที่โจทต้องการ 243-80-32-12-4-1=114 แบบ

ข้อ4 ยากจัง ต้องใช้ $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=k$ แล้วปรับอะไรนิดหน่อยหรือเปล่าครับ

ประการแรก $3^6 \ne 243$ ครับ :o

ประการที่สอง นับโดยอ้อมแบบที่ว่าไม่ได้นะครับ อย่างเช่น ถ้าเป็น 556655 ก็ต้องไม่เอา แต่จะเห็นได้ว่า 556655 ไม่อยู่ในกรณีใดเลย :rolleyes: จึงนับไม่ครบครับ. ถ้าจะนับแบบนี้ นับโดยตรงจะง่ายกว่าและโอกาสผิดพลาด ยากกว่าครับ.

หมายเหตุ ปัญหาข้อนี้ จะแก้ได้ง่ายดายมาก ถ้ามองหรือสร้างความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) ออก สมมติให้ $a_n$ แทน จำนวนของจำนวน $n$ หลักทั้งหมดที่ไม่มี 5 สองตัวใด ๆ ติดกัน จะได้ว่า $a_1 = 3, a_2 = 3\times 3 - 1 = 8$ และ $a_n = ?$ เมื่อ $n \ge 3$

ใช้กฎพื้นฐานคือกฎการคูณ กับความรู้เกี่ยวกับการหารด้วย 9 ลงตัวเท่านั้นครับ

ลองดูตัวอย่างข้อ 10. จาก ตัวอย่างข้อสอบ EMIC และ ตัวอย่างเฉลยข้อสอบ EMIC

ขอบคุณคุณ gon มากครับ ได้รู้ถึงข้อผิดพลาดของตัวเองด้วย

และได้รับบทเรียนมากมายจากกระทู้นี้ ก่อนไปสู้รบในวันอาทิตย์ครับ :)

ปล.ความสัมพันธ์เวียนเกิดยังไม่เคยรู้จักแต่เห็นคุณ gon ทำให้ดูแล้วจะรีบไปศึกษาไว้ครับ ขอบคุณมากครับ:great::great:

เล่มนี้ซื้อมายังอ่านไม่หมดเลยครับ 555+ วันไปสอบสิรินธรเห็นมีขายด้วย

ข้อสองได้ 32410 ครับ
มี 80 จำนวน
ขึ้นต้นด้วย 1 จน. ที่ 1-20
2 จน. ที่ 21-40
3 จน. ที่ 41-60
4 จน. ที่ 61-80

ด้วยประการเช่นนี้จึงขึ้นต้นด้วย 3
ไล่ต่อ
ตัวที่สอง คือ 0 จน. ที่ 41-45
ตัวที่สอง คือ 1 จน. ที่ 46-50
ตัวที่สอง คือ 2 จน. ที่ 51-55
ตัวที่สอง คือ 4 จน. ที่ 56-60

ตัวที่สองจึงเป็น 2
จำนวนที่ 55 มากสุดในบรรดาที่ขึ้นต้นด้วย 32

จึงได้ 32410 ดังนี้ครับ

(30124 เป็นตัวแรกที่ขึ้นต้นด้วย 3 จึงอยู่ลำดับที่ 41 ครับ ระวังๆ)

กรณี หลักหมื่นเป็น 9
9 _ _ _ _

จำนวนตั้งแต่ 90000-99999 หาร 9 ลง 11111-10000+1 = 1112 จำนวน

กรณี หลักหมื่นไม่เป็น 9 จำนวนตั้งแต่ 10000-89999 หาร 9 ลง 9999-1111=8888 จำนวน
แต่ในบรรดาจำนวนนั้นไม่มี 9 เลยกี่จำนวน
_ _ _ _ _
8x9x9x9x1=5832 จำนวน;
หลักหน่วยให้เป็น 1 เพราะ เช่นในบรรดาจำนวนขึ้นต้นด้วย abcd_ (หลักหน่วยไม่เป็น 9)
มีวิธีสร้างเลขได้ 9 จำนวนซึ่งเรียงกัน แต่ในบรรดาจำนวนนั้นจะมีเพียง 1 จำนวนที่หาร 9 ลงตัว

จึงตอบ 1112+8888-5832=4168 จำนวน ตามนี้ครับ

จำนวนห้าหลักที่ขึ้นต้นด้วย 1 มี 1x4x3x2x1 = 24 จำนวน

จำนวนห้าหลักที่ขึ้นต้นด้วย 2 มี 1x4x3x2x1 = 24 จำนวน

รวม 48 จำนวน

จำนวนห้าหลักที่ขึ้นต้นด้วย 3 เรียงลำดับจากน้อยไปมาก

30124 เป็นจำนวนที่ 49
30142 เป็นจำนวนที่ 50
30214 เป็นจำนวนที่ 51
30241 เป็นจำนวนที่ 52
30412 เป็นจำนวนที่ 53
30421 เป็นจำนวนที่ 54
31024 เป็นจำนวนที่ 55

ข้อ 2. ผมได้เท่ากับคุณ polsk133 กับคุณ Banker นะครับ ;)

สำหรับข้อ 3.

วิธีที่ 1. ผมขอเฉลยวิธีสั้น ๆ โดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด ดังนี้คือ $a_1 = 3, a_2 = 8$ และ $a_n = 2(a_{n-1}+a_{n-2})$ เมื่อ $n \ge 3$ แทนค่าไปเรื่อย ๆ จะได้ $a_6 = 448$

สำหรับ
วิธีที่ 2. นับโดยตรง จะได้ว่า $2^6 + 2^5\times \binom{6}{1} + 2^4 \times \binom{5}{2} + 2^3 \times \binom{4}{3} = 64 + 192 + 160 + 32 = 448$

และข้อที่ 4. โดยกฎการคูณ $1 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 - 8 \times 9 \times 9 \times 9 \times 1 = 4168$

พรุ่งนี้รอดูข้อสอบครับ. :)

ขออภัยครับ คูณเลขผิด 4x4!=96