ข้อสอบคณิตศาสตร์นานาชาติ สพฐ. 53
 

ขอบคุณ คุณ ข้าน้อยนักรบผู้ไร้นาม และ คุณ -CalCuLus-
ด้วยครับ :)






ขอบคุณ คุณ SolitudE มากครับ ที่รวมเป็นคอมเม้นเดียวให้ :') (ขออนุญาตย้ายไปคอมเม้นอื่นนะครับ :))

เฉลย ของคุณ SiR ZigZag NeaRton

และเฉลยของคุณ มัจจุราชแห่งรัตติกาล ขอบคุณทุก ๆ คน ครับ :)




ขอบคุณทุก ๆ คอมเม้นครับ :')

เป็นข้อสอบระดับเขต ระดับมัธยมศึกษาตอนต้น รึเปล่าครับ

ยังไงช่วยลงให้ด้วยนะครับ ผมไม่มีเครื่องสแกน :haha:

เขาเก็บข้อสอบคืนไม่ใช่หรือครับ:confused:

ของผมสอบเสร็จ เอากลับบ้านไปชื่นชมได้เลยครับ :haha:

เจ๋งสุดๆ

ข้อ 1 จงหา ค.ร.น. ของ $84 , 90 , 120$

(จำได้แค่นี้ :sweat:)

*0*...โหว.ดีจังเลยครับ
ทำไมของเขตหาดใหญ่นี้ถึงเก็บคืนประจำหว่า--*....
ข้อสอบก็พอสมควรอะนะงับ..แต่รู้สึกว่าจะประมาทผิดไปหลายข้อแระ:sweat:....
พีชะ3ข้อหลังนิยากสุดๆเลยอะครับ
ใครมีข้อสอบช่วยเอามาลงและเฉลย3ข้อหลังสุดให้หน่อยนะครับ โจทย์ยาวมากจำไม่ได้ครับ:cry:

ใช่ครับ หน้าแรกมาแอบปลื้มเล็กน้อย :haha:

รอดูว่าจะมีคนสแกนลงบอร์ดให้รึเปล่านะครับ ถ้ายังไงผมจะลงให้ละกัน

ชายคนหนึ่งเดินทางจากที่พักของตัวเองไปยังที่ทำงาน เดินไปทางทิศตะวันออกผ่าน 4 ช่วงตึก และเดินไปทางทิศเหนือผ่าน 3 ช่วงตึก ถ้า 1 ช่วงตึกเท่ากับ 7*7 ตารางแล้ว จงหาจำนวนเส้นทางที่ชายคนนั้นจะเดินไปที่ทำงานได้

เราไม่เข้าใจข้อนี้อะ

ข้อ 30 ดูดีมีคนทำได้นะครับ (แต่ไม่ใช่ผม :cry:)

$(a+b+c)+(b+c+d)+(c+d+a)+(d+a+b) = 2009$

$\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{c+d+a}+\frac{1}{d+a+b} = \frac{9}{49}$

จงหาค่าของ $\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{a+b+c}$

โจทย์ประมาณนี้

29.กำหนด $x,y,z$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่งสอดคล้องกับสมการ
$xyz+10xy+6yz+8zx+80x+60y+48z=2072$ จงหาค่าของ $2x+3y+4z$

28.บทนิยาม สำหรับจำนวนเต็มบวก n กำหนด Sum(n) แทนผลบวกของเลขโดดทุกจำนวนที่เขียนแทน n

ในระบบเลขฐานสิบ เช่น Sum(976)=9+7+6=22

กำหนด $n=\left(\,\right. 14^{\frac{1}{8}}-7^{\frac{1}{16}}\left.\,\right)\left(\,\right. 14^{\frac{1}{4}}+7^{\frac{1}{8}}\left.\,\right)\left(\,\right. 14^{\frac{1}{2}}+7^{\frac{1}{4}}\left.\,\right)\left(\,\right. 14+7^{\frac{1}{2}}\left.\,\right)\left(\,\right. 7^{\frac{1}{16}}\left.\,\right) \left(\,\right. 28^{\frac{1}{16}}+1) $

จงหาค่าของ Sum(n)

27.กำหนดให้ N เป็นจำนวนนับ และ $N!=N(N-1)(N-2)...(1)$เช่น$5!=5*4*3*2*1$ ให้

$A=1!+2!+3!+4!+5!+6!+7!+...+100!$ เลขโดด C เป็นตัวเลขในหน่วยของA และเลขโดด D เป็นตัวเลขในหลักหน่วยของ $\frac{A}{10}$ จงหาค่าของ C+D

26.กำหนด a,b เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ $A={1,2,3,4,...,2010}$ ถ้าเลือก a และ b จาก A นำมาสร้างเป็นคู่

อันดับ (a,b) โดยที่ $\left|\,\right. a-b\left.\,\right| \leqslant 4$จะสร้าง(a,b) ได้กี่คู่อันดับที่สอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าว

ของที่ศูนย์ผมก็ไม่ได้เหมือนกันครับ แต่ของเพื่อน(สุพรรณ) ได้อ่ะครับ

1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
8! = 40320
9! = 362880
10! = 3628800 <--- ถึงตรงนี้ไม่ผลกับสองหลักสุดท้ายแล้ว

1+2+6+24+120+720+5040+40320+362880 = 409113

$C = 3$

$D = 1$

$C+D = 4$

เวรแล้ว*0*..ข้อ26 ผมอ่านโจทย์ผิด...เครื่องหมายน้อยกว่าเท่ากับเป็นมากกว่าเท่ากับ--*...
ถ้างั้นข้อนี้ตอบ18070วิธีหรือเปล่าครับ...เสียไปแล้ว5คะแนนT^T
อ่าแล้วก็..ทำไมข้อเรปบนของคุณbanker A/10ได้D ที่เป็นหลักหน่วยคือ1อะครับ งง--*

$A = .......409113 ---> C = 3$

$D = \frac{.......409113}{10} = .......40911.3$

หลักร้อยเป็น 9 หลักสิบเป็น 1 หลักหน่วยก็เป็น 1 หลัง 1 ก็เป็นจุดทศนิยม

$D$ ก้เลยเท่ากับ 1



ข้อ26 ผมเดาว่า 8024 คู่อันดับ

โอ๊ะ..เวรกาม ใช่แล้วมีทศนิยมลืมไป*0* เผลอนึกว่ามันเป็นเลขโดดเลย ซวยอีกแล้ว55+ --* ไปอีก5คะแนนแล้ว
ดูท่า5คะแนนนิผมจะทำผิดเยอะมากเลย--*.....
ข้อ26ช่วยแสดงวิธีคิดให้หน่อยสิครับ

จะได้ว่า $a+b+c+d = \frac{2009}{3} $
$(a+b+c+d)(\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{c+d+a}+\frac{1}{d+a+b})= \frac{9}{49}\times \frac{2009}{3} $
$\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{a+b+c}+4= 123$
$\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{a+b+c} = 119 ตอบ $:great::great:

เหมือนกันกับผมเลยนะครับ:cry::cry:

ข้อนี้มั่วเอานะครับ (ผมไม่ได้ไปสอบด้วย) :D

1,2,3,4,5,6,,7,8,9,...,2010 มีอยู่ 4 คู่อันดับที่ทำให้ $\left|\,\right. a-b\left.\,\right| \leqslant 4$ คือ {1,2}{1,3}{1,4}{1,5}

1,2,3,4,5,6,,7,8,9,...,2010 มีอยู่ 4 คู่อันดับที่ทำให้ $\left|\,\right. a-b\left.\,\right| \leqslant 4$ คือ {2,3}{2,4}{2,5}{2,6}

1,2,3,4,5,6,,7,8,9,...,2010 มีอยู่ 4 คู่อันดับที่ทำให้ $\left|\,\right. a-b\left.\,\right| \leqslant 4$ คือ {3,4}{3,5}{3,6}{3,7}

.
.
.

ทุกๆ 5 ตัว เป็น 1 ชุด จะให้ $\left|\,\right. a-b\left.\,\right| \leqslant 4$ อยู่ 4 คู่อันดับ

$A={1,2,3,4,...,2010}$ มี 2006 ชุด จึงมี 2006x 4 = 8024 คู่อันดับ

ผมมั่วดังนี้แล :haha:

ผมเดามั่วไปว่ามีเลขที่น้อยกว่า และ เท่ากับอีก - -*

เช่น (1,1) , (5,1) ประมาณนี้

เลยได้ $2006 \times 9 = 18,054$ :sweat:

มันเป็นค่าสัมบูรณ์อ่ะค่ะ ลุง -*-
เพราะฉะนั้น a<b ได้ (????)

ให้ a = 1 , จะเลือก b คือ {1,2,3,4,5}
ให้ a = 2 , จะเลือก b คือ {1,2,3,4,5,6}
ให้ a = 3 , จะเลือก b คือ {1,2,3,4,5,6,7}
ให้ a = 4 , จะเลือก b คือ {1,2,3,4,5,6,7,8}
ให้ a = 5 , จะเลือก b คือ {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
ให้ a = 6 , จะเลือก b คือ {2,3,4,5,6,7,8,9,10}
.
. จะได้ 2002x9 คู่อันดับ = 18018 คู่อันดับ
.
ให้ a = 2006 , จะเลือก b คือ {2002,2003,2004,2005,2006,2007,2008,2009,2010}
ให้ a = 2007 , จะเลือก b คือ {2003,2004,2005,2006,2007,2008,2009,2010}
ให้ a = 2008 , จะเลือก b คือ {2004,2005,2006,2007,2008,2009,2010}
ให้ a = 2009 , จะเลือก b คือ {2005,2006,2007,2008,2009,2010}
ให้ a = 2010 , จะเลือก b คือ {2006,2007,2008,2009,2010}

รวมทั้งหมดเท่ากับ 5+6+7+8+18018+8+7+6+5 = 18070 คู่อันดับ Ans


แต่ตอนสอบเราคิดเลขผิดอ่ะ :aah::aah: เศร้า !!

7.N เป็นจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย 5,4,3,2, เหลือเศษ 4,3,2,1 ตามลำดับ ค่าต่ำสุดของ N ที่ทำให้ 11หารลงตัวมีค่าเท่าใด

10.ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่งมี AB:BC:CA=2:5:4 อัตราส่วนของส่วนสูงทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม ABC (AD:BE:CF) มีค่าเท่าไร(ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ)

11.ก้อยเขียนหนังสือและพิมพ์จำหน่ายจำนวน 2000เล่ม ในช่วงแรกขายได้ 1400เล่ม ได้กำไร20% ต่อมาขายหนังสือที่เหลือขาดทุน30% สุดท้ายเขาได้กำไรหรือขาดทุนร้อยละเท่าใด

13.ทรงกระบอกมีรัศมี $1\frac{2}{3}$เซนติเมตร บรรจุในกรวยกลมที่มีรัศมี 5เซนติเมตร และสูง 12เซนติเมตร โดยที่ขอบของทรงกระบอกด้านบนอยู่ในระนาบเดียวกันกับฝากรวยกลมพอดี จงหา เก้าเท่าของปริมาตรของทรงกระบอกนี้ว่ากี่ลูกบาศเซนติเมตร (ตอบติด$\pi$)

14.รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉากคือ AB, AC=8ซม.และ BC=6ซม. จุดD เป็นจุดกึ่งกลางของด้านAB จากจุดD ลากเส้นตั้งฉากกับ AB บนAC ที่จุดE จงหาความยาวของDE (ตอบเป็นทศนิยม 2ตำแหน่ง)

15.ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามี AB=50หน่วย BC=40หน่วย Eเป็นจุดบนCD ทำให้ $B\hat AC$=$C\hat AE$ จงหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม ADE เป็นกี่ตารางหน่วย

18.จงหาจำนวนวิธีในการสร้างจำนวนคู่บวก 3หลักจากเลขโดด 0,2,3,4,5,6,7 และไม่ใช้ตัวเลขโดดซ้ำกัน

19.กำหนด a,b,c เป็นคำตอบของสมการ $x^3-3x^2+kx-12=0$ จงหาค่า k ที่ทำให้ $a*b=-6$

20.จงหาค่า k ที่เป็นบวกที่ทำให้กราฟของเส้นตรง $y-2x-k=0$สัมผัสกราฟวงกลม $x^2+y^2=20$

16.ชายคนหนึ่งเดินทางจากที่พักของตัวเองไปยังที่ทำงาน เดินไปทางทิศตะวันออกผ่าน 4 ช่วงตึก และเดินไปทางทิศเหนือผ่าน 3 ช่วงตึก ถ้า 1 ช่วงตึกเท่ากับ 7*7 ตารางแล้ว จงหาจำนวนเส้นทางที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ชายคนนั้นจะเดินไปที่ทำงานได้

ผมงงๆ:blood: ช่วยอธิบายละเอียดหน่อยได้ไหม:kaka:คับ ขอบคุณมากครับ:please:

ข้อนี้กำลังมองว่า

ให้ $a = 14^{\frac{1}{8}}, a^2 = 14^{\frac{1}{4}}, a^4 = 14^{\frac{1}{2}}, a^8 = 14$


และ $b = 7^{\frac{1}{16}}, b^2 = 7^{\frac{1}{8}}, b^8 = 7^{\frac{1}{4}}, b^8 = 7^{\frac{1}{2}}$

จะได้
$(a-b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)(a^8+b^8)(b)(28^{\frac{1}{16}}+1)$

ไปติวหลานก่อน เดี๋ยวกลับมาแจมครับ

7.ตอบ 539
8.ตอบ 169
9.ตอบ 4
ใช่เปล่าครับ

พิจารณา $ 14^{\frac{1}{8}}-7^{\frac{1}{16}} = 7^{\frac{1}{16}}(2^{\frac{1}{8}}7^{\frac{1}{16}}-1) $
$ 14^{\frac{1}{4}}+7^{\frac{1}{8}} = 7^{\frac{1}{8}}(2^{\frac{1}{4}}7^{\frac{1}{8}}+1) $
$ 14^{\frac{1}{2}}+7^{\frac{1}{4}} = 7^{\frac{1}{4}}(2^{\frac{1}{2}}7^{\frac{1}{4}}+1) $
$ 14+7^{\frac{1}{2}} = 7^{\frac{1}{2}}(2(7^{\frac{1}{16}})+1) $
$ 28^{\frac{1}{16}}+1= 7^{\frac{1}{16}}2^{\frac{1}{8}}+1 $

จะได้ว่า $\left(\,\right. 14^{\frac{1}{8}}-7^{\frac{1}{16}}\left.\,\right)\left(\,\right. 14^{\frac{1}{4}}+7^{\frac{1}{8}}\left.\,\right)\left(\,\right. 14^{\frac{1}{2}}+7^{\frac{1}{4}}\left.\,\right)\left(\,\right. 14+7^{\frac{1}{2}}\left.\,\right)\left(\,\right. 7^{\frac{1}{16}}\left.\,\right) \left(\,\right. 28^{\frac{1}{16}}+1) = 7(27) = 189 $

ดังนั้น Sum(n) = 1+8+9 =18 Ans

8.ถ้า$x=\sqrt{\frac{6}{7}}$จงหาค่าของ $42(x+\frac{1}{x})^2$

ผมได้ 85อ่ะครับ:blood:

$42(x^2+\frac{1}{x^2})$

$=42\left[\,\right. (\sqrt{\frac{6}{7}})^2+\frac{1}{(\sqrt{\frac{6}{7})}^2}\left.\,\right] $

$=42(\frac{85}{42})$

$=85$

ยากจังค่ะT T
อยากร้องไห้
ข้อ30.ตอนนั่งสอบคิดไม่ออกง่า
มาเห็นที่นี่เฉลยน้ำตาจะไหล 5คะแนนไปแว้ว

ข้อ 8 นี้บรรทัดแรก กำลัง 2 อยู่ข้างนอกวงเล็บไม่ใช่หรอครับ มันควรจะตอบ 169 มากกว่าครับ

12.จงหารากของสมการ$\sqrt{x^2+2x-2\sqrt{x^2-2x+10}}-x=0$

$\sqrt{x^2+2x-2\sqrt{x^2-2x+10}}=x$

$x^2+2x-2\sqrt{x^2-2x+10}=x^2$

$x^2-2x+10=x^2$

$x=5$ ข้อนี้ถูกป่ะครับ

มันต่างกันตรงไหนหรอครับ ลองแสดงวิธีคิดให้ดูหน่อยได้ไหมครับ:please:

(x+ 1/x)กำลัง2 = x กำลัง 2 + 2 +1/xกำลัง 2 ไม่เท่ากับ x กำลัง 2 + 1/xกำลัง 2 คับ


ขอโทษด้วยคับที่เขียนยกกำลังไม่เป็น

ขอบคุณมากครับ ตอนนี้เข้าใจแล้วครับ พลาดอีกละ:cry:

แก้ให้ครับ

$(x+\frac{1}{x})^2 = x^2+\frac{1}{x^2}+2$

ฉะนั้น เราควรบวกข้างในด้วยวิธีปกติ

แล้วค่อยยกกำลัง 2

จะได้ $42(\frac{13}{\sqrt{42}})^2 = 169$ :great:

*ถ้าผิดก็ค่อยว่ากันอีกที

มันควรจะเป็น $x^2+\frac{1}{x^2} +2 $

ลองดูดี ๆ ครับว่า +2 หายไปไหน

#29 ช่วย confirm ด้วยครับ คิดได้ค่าเดียวเช่นกัน ??

มันมาจาก $(\frac{a+b+c+d}{b+c+d})+(\frac{a+b+c+d}{c+d+a})+(\frac{a+b+c+d}{d+a+b})+(\frac{a+b+c+d}{a+b+c})$

แยกออกมาจะได้ $(1+\frac{a}{b+c+d})+(1+\frac{b}{c+d+a})+(1+\frac{c}{d+a+b})+(1+\frac{d}{a+b+c})$

และก็ตามที่คุณ oatty555 เขียนไว้ :great:

10.ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่งมี AB:BC:CA=2:5:4 อัตราส่วนของส่วนสูงทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม ABC (AD:BE:CF) มีค่าเท่าไร(ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ)

ผมตอบ AD:BE:CF = 4 : 5 : 10 ใช่รึเปลาครับ ?

ผมก็ได้เท่านี้เช่นกันครับ

แต่ใช้วิธีบ้านนอกกว่า - -

$\sqrt{x^2+2x-2\sqrt{x^2-2x+10}}=x$

$x^2+2x-2\sqrt{x^2-2x+10}=x^2$

$2x = 2\sqrt{x^2-2x+10}$

$4x^2 = 4(x^2-2x+10)$

$8x = 40$

$x=5$

ผมดันตอบ 5 : 4 : 10

สงสัยสลับกัน

(อีกอย่างผมคิดมั่วๆด้วย)

7.539

11. กำไร ร้อยละ 5

13 100π

14. 3.75

15. 500 (ไม่แน่ใจ)

18. 105 วิธี

19. k = 8 (ไม่มั่นใจ)

20. k = 10

ข้อ 7 ผมตอบ 539

ข้อ 11 ผมตอบ ได้กำไร ร้อยละ 5

ข้อ 13 ผมตอบ $200\pi$

มีใครได้แบบนี้บ้างไหมครับ :nooo: