มาแล้ว คณิตศาสตร์โอลิมปิก สอวน. ครั้งที่ 2 ที่ ม.อุบลฯ
วันแรก ปรนัย เติมคำตอบ 21 ข้อ 21 คะแนน
1. ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูแนบในวงกลมรัศมี 1 หน่วย โดยที่ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ DC = 4AD จงหาระยะ AD 2. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลมแนบในวงกลม จากจุด A และจุด B ลากเส้นตั้งฉากกับด้านตรงข้ามที่จุด A' และ B' ตามลำดับและเส้นตั้งฉากทั้งสองตัดกันที่จุด H ถ้า BH ยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม จงหาค่าของ A'B/AB 3. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีจุด A เป็นจุดยอด และมุมที่ฐานมีขนาดเป็นสองเท่าของมุมที่จุดยอด จงหาค่าของ AB/BC 4. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมแนบในวงกลมซึ่งมี BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ถ้า AB ยาว 3 หน่วยและ AC ยาว 4 หน่วย และ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม ABC แล้วจงหาของผลคูณของ BO และ OC 5.โยนลูกเต๋าลูกหนึ่ง 6 ครั้งจงหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่ทำให้แต้มรวมเท่ากับ 21 6. จงหาจำนวนผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ สมการ (x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}(y_{1}+y_{2}) = 2548 7. ต้องการเขียน 2548 ในรูปผลบวกของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไปโดยลำดับมีความสำคัญ จะทำได้ทั้งหมดกี่วิธี 8. จัดเรียงสมาชิกในแต่ละสับเซตของ S = {1,2,3,4,5,6,7} ที่ไม่ใช่เซตว่างจากมากไปน้อย ใส่เครื่องหมายบวกและลบสลับกันหน้าสมาชิกแต่ละตัวของสับเซต โดยเริ่มจากเครื่องหมายบวกหน้าจำนวนที่มากที่สุดในสับเซตนั้น หาผลบวกของจำนวนเหล่านั้น (เช่น สับเซต T={7,4,2} เราได้ 7-4+2 = 5 เป็นผลลัพธ์ของสับเซต T) จงหาผลบวกของผลลัพธ์ของทุกสับเซต S |
การแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิก สอวน. ครั้งที่ 2
(The Second POSN-Mathematical Olympiad) วันที่ 2-6 พฤษภาคม 2548 ณ. ศูนย์ สอวน. มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี วันแรก 3 พฤษภาคม 2548 ปรนัย เติมคำตอบ 21 ข้อ 21 คะแนน เวลาสอบ 3 ชั่วโมง (คะแนนสูงสุด 17 ต่ำสุด 0) 1. ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูแนบในวงกลมรัศมี 1 หน่วย โดยที่ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ DC = 4AD จงหาระยะ AD 2. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลมแนบในวงกลม จากจุด A และจุด B ลากเส้นตั้งฉากกับด้านตรงข้ามที่จุด A' และ B' ตามลำดับและเส้นตั้งฉากทั้งสองตัดกันที่จุด H ถ้า BH ยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม จงหาค่าของ A'B/AB 3. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีจุด A เป็นจุดยอด และมุมที่ฐานมีขนาดเป็นสองเท่าของมุมที่จุดยอด จงหาค่าของ AB/BC 4. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมแนบในวงกลมซึ่งมี BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ถ้า AB ยาว 3 หน่วยและ AC ยาว 4 หน่วย และ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม ABC แล้วจงหาของ BOทOC 5.โยนลูกเต๋าลูกหนึ่ง 6 ครั้งจงหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่ทำให้แต้มรวมเท่ากับ 21 6. จงหาจำนวนผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ สมการ (x1+x2+x3)2(y1+y2) = 2548 7. ต้องการเขียน 2548 ในรูปผลบวกของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไปโดยลำดับมีความสำคัญ จะทำได้ทั้งหมดกี่วิธี 8. จัดเรียงสมาชิกในแต่ละสับเซตของ S = {1,2,3,4,5,6,7} ที่ไม่ใช่เซตว่างจากมากไปน้อย ใส่เครื่องหมายบวกและลบสลับกันหน้าสมาชิกแต่ละตัวของสับเซต โดยเริ่มจากเครื่องหมายบวกหน้าจำนวนที่มากที่สุดในสับเซตนั้น หาผลบวกของจำนวนเหล่านั้น (เช่น สับเซต T={7,4,2} เราได้ 7-4+2 = 5 เป็นผลลัพธ์ของสับเซต T) จงหาผลบวกของผลลัพธ์ของทุกสับเซต S 9. จงหาห.ร.ม. ของ ( 13590 - 4590 )/ 902 กับ 902 10. จงหาเศษเหลือที่ได้จากการหาร
11. จงหาจำนวนเต็มบวก x ที่น้อยที่สุด ซึ่งทำให้ 22548 หาร x2005 +1 ลงตัว 12. จงหาว่ามีจำนวนเต็มคู่ n กี่จำนวน ซึ่ง 0 ฃ n ฃ 1000 และ 5 ฝ n2 ท 22n2 + 1 13. จงหาจำนวนเต็มบวกคี่ k ทั้งหมดที่ทำให้มีจำนวนเต็มบวก m ซึ่ง k + (k+5) + (k+10) + ... + (k+5(m-1)) = 1372 14. กำหนดฟังห์ชัน f : NฎZ ( Z คือเซตของจำนวนเต็มทั้งหมด) โดยที่ f(m+n) = f(m) + f(n) + 2mn - 2548 สำหรับทุกๆ m,n ฮ N ถ้า f(2548) = -2548 แล้ว จงหา f(2) 15. กำหนดฟังก์ชัน f:RฎR โดยที่ f(x+2y) + 2f(y-2x) = 3x-4y+6 สำหรับทุกๆ x,yฮ R จงหา f(2548) 16. จงหาผลบวกของรากทั้งหมดของสมการ (2-x)2005 + x2005 = 0 17. ให้ a,b ณ 0 และนิยาม a*b = (a+b+1)/(ab+12) จงหาค่า 0*(1*(2*(...(2003*(2004*2005))...))) 18. จงหาค่าของ
19. กำหนด P(x) เป็นพหุนามดีกรี 4 ที่มีสัมประสิทธิ์ของ X4 เท่ากับ 1 และ x-k หาร P(x) เหลือเศษ k เมื่อ k = 1,2,3,... จงหาค่า P(4)+P(0) 20. กำหนด a,b,c,d > 0 และ 36a+4b+4c+3d = 25 จงหาค่าสูงสุดของ ab1/2c1/3d1/4 21. ให้ a,b,g เป็นจำนวนจริงใดๆ จงหาค่าต่ำสุดของ cos(a-b) + cos(b-g) + cos(g-a) ผู้ที่ไปแข่งทุกคนคงได้เฉลยอยู่ในมือแล้ว แต่ในที่นี้ผมขอไม่เฉลยดีกว่า ลอง Discuss กันดูนะครับ |
วันที่สอง 4 พฤษภาคม 2548
อัตนัย แสดงวิธีหาคำตอบ 6 ข้อ 42 คะแนน เวลาสอบ 4 ชั่วโมง 1. (โจทย์จริงมีรูปให้) BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม A เป็นจุดภายนอกของวงกลมซึ่งทำให้เกิดสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC AB และ AC ตัดวงกลมที่จุด D และจุด E ตามลำดับ CD ตัด BE ที่จุด F AF ตัดวงกลมที่จุด G ต่อ AF ไปพบ BC ที่จุด H จงพิสูจน์ว่า AHทFH = (GH)2 2. S เป็นเซตของจำนวนเต็มที่ต่างกันสามจำนวน จงแสดงว่า ต้องมี a,b ฮ S ซึ่ง aน b และ 10ฝ a3b - ab3 3. มีฟังก์ชัน f: NฎN ซึ่ง f(f(n)) = 2n สำหรับทุกจำนวนนับ n หรือไม่? ถ้ามี จงยกตัวอย่างฟังก์ชันดังกล่าว พร้อมแสดงให้เห็นจริงว่าฟังก์ชันนั้นสอดคล้องกับสมบัติที่กำหนดให้ 4. (โจทย์จริงมีรูป) ให้ O1 เป็นจุดศูนย์กลางของครึ่งวงกลมที่มี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ให้ O2 เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่แนบในครึ่งวงกลมแรกและสัมผัสกับ AB ที่จุด O1 ให้ O3 เป็นจุดบน AB และเป็นจุดศูนย์กลางของครึ่งวงกลทมี่สัมผัสวงกลมสองวงแรก P เป็นจุดตัดของเส้นตั้งฉากกับ AB ที่จุด O3 และเส้นที่ผ่านจุด O2 และขนานกับ AB จงแสดงว่า P เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่สัมผัสสามวงแรก 5. ในวันเปิดเทอมของชั้น ม.1/1 มีนักเรียนเข้าใหม่ 50 คนที่ยังไม่มีใครรู้จักกันเลย ในเช้าวันนั้น ครูจัดให้นักเรียนทั้งหมดยืนเรียงแถวหน้ากระดาน และอนุญาตให้นักเรียนได้ทำความรู้จักกับเพื่อนที่ยืนติดกันเท่านั้น ในบ่ายวันเดียวกัน ครูจัดให้นักเรียนทุกคนยืนแถวตอนเรียงหนึ่ง และต้องการให้นักเรียนแต่ละคนมีเพื่อนที่รู้จักกันจากช่วงเช้าอยู่ด้านหน้า (ไม่จำเป็นต้องยืนติดกัน) อย่างน้อยคนหนึ่งเสมอ ครูมีวิธีการจัดแถวในตอนบ่ายได้ทั้งหมดกี่วิธี 6. กำหนด a,b,c เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน จงพิสูจน์ว่า {(2a-b)/(a-b)}2 + {(2b-c)/(b-c)}2 + {(2c-a)/(c-a)}2 ณ 5 Hints : ข้อ 3 และ 6 ยากมากๆ ไม่มีใครทำได้เต็ม |
ข้อที่ 7
สมมติว่ามี * อยู่ 2548 ดวง *_*_*_..._* ซึ่งมีช่องว่างตรงกลาง 2547 ที่ ใช้หลัก star and stack (แบบที่คุณ gon เคยแสดงให้ผมดูครั้งนึง :D ) คือ เอา | ไปวางไว้บนช่องว่าง แต่ละช่องจะมีวาง กับไม่วางคือ 2 วิธี เพราะฉะนั้นมีทั้งหมด 22547 วิธีครับ :) |
วันแรก (Solution ฉบับย่อ)
1. ให้ O เป็นศูนย์กลางวงกลม ลาก OD แล้วลากเส้นจาก O ไปตั้งฉากกับ DC ที่ E ลาก DF ตั้งฉากกับ AO ที่ F ให้ AD=x DC=4x จะได้ AF2+DF2=(1-2x)2+(1-4x2)=x2=AD2 แก้สมการหาค่า x จะได้ \(x=\sqrt{6}-2\) 3. จากโจทย์จะได้มุมของสามเหลี่ยมเป็น 36,72,72 องศาตามลำดับ อันหมายถึง \(AB:BC=1/2sin 18=(1+\sqrt{5})/2\) 4. รัศมีวงกลมแนบใน=1, \(BO\cdot{}OC=5\sqrt{2}\) 6. \(2548=2^2\cdot7^2\cdot13\) อันหมายถึง \(x_1+x_2+x_3=7,14\) (ผลรวมไม่เท่ากับ 1 หรือ 2ตามเงื่อนไขโจทย์) และ \(y_1+y_2=52,13\) รวมทั้งสองกรณีจะได้คำตอบทั้งหมด \({6\choose2}\cdot51+{13\choose2}\cdot12=1701\) คำตอบ 9. ห.ร.ม. คือ \(2\cdot45^2=4050\) เพราะ \(135^{90}-45^{90}=45^{90}(3^{45}+1)(3^{45}-1)\) และ \((3^{45}+1)\equiv4(mod\ 8),\ (3^{45}-1)\equiv2(mod\ 4)\) 14. จาก f(m+1)=f(m)+f(1)+2m-2548 จะได้ f(1)=-1 และ f(2)=-2548 15. f(0)=2 แทน x=2548/5, y=2*2548/5 จะได้ f(2548)=-2546 20. ใช้ AM-GM-Inequality จะได้ \[1=\frac{12(3a)+6(\frac{2}{3}b)+4c+3d}{25}\ge[(3a)^{12}(\frac{2}{3}b)^6c^4d^3]^{\frac{1}{25}}]\] ซึ่งจะได้ \[max(ab^{\frac{1}{2}}c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{4}})=\frac{1}{\sqrt{6}}\] Phew... พักไปคิดต่อก่อน เดี๋ยวมาโพสต์ต่อ Edit1: ลบคำตอบข้อ 19 แก้คำตอบข้อ 1 Edit2: แก้คำตอบข้อ 9 Edit3: แก้คำตอบข้อ 9 อีกที Edit4: แก้เครื่องหมายอสมการข้อ 20 Edit5: แก้ข้อ 1 (อ่านโจทย์ผิดอย่างแรง) และเสริมข้อ 2 (ขอบคุณคุณ Passer-by สำหรับคำแนะนำท้วงติงครับ) |
ความจริง ข้อ 7 ตอบ 22547-1 นะคับ
ส่วนวิธีคิดจะมาโพสวันหลังครับ |
ข้อ 9 ตอบ 90ท45 หรือ 4050 อะครับ วิธีคิดไว้จะมาโพสต์
|
ข้อ 16 ผลบวกของรากของสมการจะเท่ากับ - สปส. หน้าเทอม x2003/ สปส.หน้าเทอม x2004
ข้อ 19 ผมว่าเขียนโจทย์ยังไม่เคลียร์นะครับ เพราะพหุนามใดๆที่ไม่ใช่พหุนามคงตัวจะมีค่าเท่ากันได้ไม่เกินกำลังของพหุนามนั้น(สร้างพหุนาม Q(x) = P(x)-x จะได้ Q(k)=0 ทุกจำนวนนับ k ซึ่งจะได้ Q(x) = 0 --> P(x) = x ขัดแย้งกับเงื่อนไขของ P(x) ที่เป็นพหุนามกำลังสี่) ผมจึงเดาว่า P(k)=k สำหรับ k = 1,2,3,4 ซึ่งจะได้ว่า P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + x ตอบ P(0)+P(4) = 4! + 4 = 28 แก้คำตอบข้อ 16 ครับ |
22547-1 นั่นแหละรคับ :D
คิดว่าจะรีบแก้ พอดีออกไปข้างนอกทั้งวัน ..ต้องหักออกกรณีนึงที่ไม่มี stack เลย เพราะโจทย์บอกว่า ผลบวกของจำนวนนับตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไปครับ |
12. ตามเงื่อนไขโจทย์จะได้ \(n^2\equiv\pm1(mod\ 5)\) และ \(2^{2n^2}=4^{n^2}\equiv1(mod\ 5)\)
ดังนั้น พจน์ที่โจทย์ให้มาจะหารห้าลงตัว เมื่อ \(n^2\equiv-1\) หรือ n=2,8,12,18,...,998 รวมทั้งหมด 200 ตัว 13. จากโจทย์ จัดรูปใหม่จะได้ m(2k+5(m-1))=2373 เราจะพิจารณากรณีต่อไปนี้ หาก m เป็นเลขคี่ จะได้ m=1,7,49,343 m=1 =>2k=2373 (X) m=7 =>2k=392-5(7-1)=362 => k=181 m=49,343 ทำให้ k เป็นลบ หาก m เป็นเลขคู่ เราจะแยกกรณีได้อีก 2 กรณี หาก 2k+5(m-1) เป็นเลขคู่ จะได้ 2k เป็นเลขคี่ (C!) หาก 2k+5(m-1) เป็นเลขคี่ จะได้ m=23=8 และ 2k+5(m-1)= 73=343 ซึ่งจะได้ k=0.5(343-5*7)=154 (X) ดังนั้น (m,k)=(7,181) เป็นคำตอบชุดเดียวที่สอดคล้องเงื่อนไขโจทย์ PS: Edit1: หลังจากมาดูอีกที คิดว่าข้อสอบข้อ 19 ไม่ชัดเจนอย่างที่คุณ nooonuii บอกจริงๆ คือออกโจทย์แบบละไว้ในฐานที่เข้าใจ (ลบที่เขียนข้างบนแล้วครับ) Edit2: แก้ข้อ 12 (Thanks Khun Passer-by again. It was luck that it only requires the number of solution, and not (m,k) itself -_-'.) |
ข้อ 9
\( \displaystyle{= \quad \frac{135^{90}-45^{90}}{90^2} }\) \( \displaystyle{= \quad \frac{45^{90}(3^{90}-1)}{90^2} }\) \( \displaystyle{= \quad \frac{45^{90}(3^{45}-1)(3^{45}+1)}{90^2} }\) \( \displaystyle{= \quad \frac{45^{90}(2)(3^{44}+3^{43}+3^{42}+...+3^1+1)(4)(3^{44}-3^{43}+3^{42}+...-3^1+1)}{90^2} }\) \( \displaystyle{= \quad 45^{88}(2)(คี่)(คี่) }\) ซึ่ง ห.ร.ม. ของตัวนี้กับ 902 คือ 90 \( \times\) 45 = 4050 นั่นเองครับ :D |
อีกข้อครับ
วันที่สอง (solution sketch) ข้อ 2 Obviously: 2|ab(a+b)(a-b) (กรณีที่ทั้ง a และ b เป็นเลขคี่ a+b จะเป็นเลขคู่) ดังนั้นเราจะพิจารณาเฉพาะกรณีการหารด้วยห้า สมมติว่าหนึ่งในสามจำนวนในเซตนี้หารห้าลงตัว ก็ไม่ต้องทำอะไรเพิ่ม สมมติว่าในเซตนี้ไม่มีจำนวนใดหารห้าลงตัว เราจะพิจารณากรณีต่อไปนี้ หากอย่างน้อยสองในสามจำนวนหารด้วยห้าได้เศษเป็น 1 หรือ 4 ก็ไม่ต้องทำอะไรต่อ เพราะ 5|(a+b) หรือ 5|(a-b) ในทางตรงกันข้ามจะได้ว่ามีอย่างน้อยสองจำนวนที่หารด้วยห้าได้เศษเป็น 2 หรือ 3 ซึ่งก็ไม่ต้องทำอะไรต่อ เพราะ 5|(a+b) หรือ 5|(a-b) หมายเหตุ: เราพิจารณาจากเศษที่ได้จากการหาร หารได้เศษเท่ากัน อาจไม่ใช่เลขตัวเดียวกัน ซึ่งทำให้ argument ด้านบนพิสูจน์ claim ที่กำหนดให้ ข้อ 4 หลังจากสร้างรูปตามโจทย์ได้แล้ว ให้สร้างวงกลมแนบใน O4 สัมผัสกับครึ่งวงกลม O1 (รัศมี 2R) ที่จุด D, วงกลม O2 (รัศมี R) ที่จุด C, และครึ่งวงกลม O3 (รัศมี r) ที่จุด B ให้ครึ่งวงกลม O2 และ O3 สัมผัสกันที่จุด A ลาก O2O3, O2P, O3P, O1P จากการสร้างจะได้สี่เหลี่ยม O3O1O2P เป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก จุด C และ B อยู่บน O2P และ O3P ตามลำดับ ทั้งยังจะได้จุด P อยู่บน O1D จากรูปยังจะได้อีกว่า O1O2=O3P หรือ R=r+PB หรือ PB=R-r, O2O3=O1P หรือ R+r=2R-PD หรือ PD=R-r, O1O3=O2P หรือ 2R-r=R+PC หรือ PC=R-r. จาก PB=PC=PD จึงสรุปได้ว่า P เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในที่ต้องการ Edit1: แก้ข้อ 4 EDit2: เพิ่มข้อ 2 |
ข้อ 17
เพราะ (3*k)= 1/3 เสมอ ทุก nonnegative number k ดังนั้น ค่าที่โจทย์ต้องการ จึง simplify เป็น 0*(1*(2*(1/3))) = 23/233 |
ใครทำข้อที่ 6 วันที่ 2 ได้บ้างครับ ยากจริงๆ
|
เพิ่งว่างมาดูครับ. ขอบคุณน้อง Rovers มากที่ขยันพิมพ์ลงมาให้ :D และ ก็ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับข้อสอบที่จะ scan มาให้ (ถ้ามีเฉลยด้วยก็เจ๋งครับ. ฮิ ๆ )
ถ้าน้องยังอยู่ที่อุบล ฯ พี่แนะนำให้ไปหาโรตีใส่กล้วยหอมมาลองกินดูครับ. เด็ดมากขอบอก พี่เคยกินตอนไปค่ายวิชาการตอน ปี 2 ขึ้นปี 3 เขาเอากล้วยหอมค่อนข้างสุกมาตีให้มันเละ ๆ แล้วไปใส่ในโรตี ทั้งหอมทั้งอร่อย หลังจากกลับจากอุบล ฯ ลองมาซื้อกินใน กทม. เหอ ๆ ไม่ได้เรื่องเลย. :cool: My comments: ข้อ 2 วันที่ 2 รู้สึกว่าจะโหลนะครับ. จำได้คุ้น ๆ ว่าเห็นที่ไหนมาหลายทีแล้ว เดี๋ยวผมจะลอง Attack ข้อ 6 วันที่ 2 เดี๋ยวนี้ล่ะ โจทย์ดูสวยดี ไม่คุ้นตาเลย |
ข้อ 18
พิจารณา k= 1และ k= 1273 เนื่องจาก tan (1273p/2548) =tan(p/2 - p/2548)=cot(p/2548) ดังนั้น เทอมที่ k=1 และ1273 รวมกันได้ 1 (ลองบวกดูนะครับ) และจะเกิดเหตุการณ์ เช่นนี้ สำหรับ k=2 &1272 , k=3 & 1271,....,k=636 & 638 ส่วน k =0, 637 แทนค่าปกติ จะได้ sumที่โจทย์ถามเท่ากับ 637.5 ข้อ 21 ให้ A=a-b ,B=b-g ,C=g-a ดังนั้น A+B+C=0 และจะได้ \( \begin{array}{rcl} \large cos(A)+cos(B)+cos(C) =cos(A)+cos(B)+cos(A+B) =2cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})+cos(A+B)\geq -2cos(\frac{A+B}{2})+cos(A+B)\\=-2cos(\frac{A+B}{2}) +2cos^{2}(\frac{A+B}{2})-1=2(cos\frac{A+B}{2}-\frac{1}{2})^{2}-\frac{3}{2}\geq \frac{-3}{2} \end{array}\) ดังนั้น ค่าตำสุด คือ -1.5 (เช่น a,b,g= 60,300,180 องศา ตามลำดับ) หมายเหตุ :ใครมีวิธีสั้นกว่านี้หรือว่าผมทำผิด ช่วยบอกเป็นวิทยาทานด้วยนะครับ |
ได้แล้วครับ วันที่ 2 ข้อที่ 6
คูณทั้งเศษทั้งส่วนด้วย \(\frac{1}{a}\) เราจะได้ว่า \[(\frac{2a-b}{a-b})^2 = (\frac{\frac{b}{a}-2}{\frac{b}{a}-1})^2\] ดังนั้น \[\sum_{cyc} (\frac{2a-b}{a-b})^2 = \sum_{cyc} (\frac{\frac{b}{a}-2}{\frac{b}{a}-1})^2\] แทน \(x=\frac{b}{a}-1,y=\frac{c}{b}-1,z=\frac{a}{c}-1\) เราจะได้ว่า \[\begin{array}{rcl}(x+1)(y+1)(z+1) &=& 1 \\ 1+x+y+z+xy+yz+zx+xyz &=& 1 \\ x+y+z+xy+yz+zx+xyz &=& 0 \\ x+y+z+xyz &=& \displaystyle{-\sum_{cyc} xy} \qquad\qquad (1) \end{array}\] และเราจะได้ว่า \[\sum_{cyc} (\frac{\frac{b}{a}-2}{\frac{b}{a}-1})^2 = \sum_{cyc} (\frac{x-1}{x})^2 \geq 5\] กระจายเศษส่วนออกมา จะได้ว่า \[\begin{array}{rcl} \displaystyle{\frac{\displaystyle{\sum_{cyc}[(x-1)^2y^2z^2]}}{x^2y^2z^2}} &\geq& \displaystyle{5} \\ \displaystyle{\sum_{cyc}[(x^2-2x+1)y^2z^2]} &\geq& \displaystyle{5x^2y^2z^2} \\ \displaystyle{\sum_{cyc} (x^2y^2z^2-2xy^2z^2+y^2z^2)} &\geq& \displaystyle{5x^2y^2z^2} \\ \displaystyle{3x^2y^2z^2-2\sum_{cyc}xy^2z^2+\sum_{cyc}x^2y^2} &\geq& \displaystyle{5x^2y^2z^2} \\ \displaystyle{\sum_{cyc}x^2y^2-2\sum_{cyc}xy^2z^2} &\geq& \displaystyle{2x^2y^2z^2} \\ \displaystyle{\sum_{cyc}x^2y^2-2xyz\sum_{cyc} xy} &\geq& \displaystyle{2x^2y^2z^2} \\ \text{จาก (1) เราได้ว่า}\qquad \displaystyle{\sum_{cyc}x^2y^2+2xyz(x+y+z+xyz)} &\geq& \displaystyle{2x^2y^2z^2} \\ \displaystyle{\sum_{cyc}x^2y^2+\sum_{cyc} 2x^2yz} &\geq& \displaystyle{0} \\ \displaystyle{(xy+yz+zx)^2} &\geq& \displaystyle{0} \end{array}\] ซึ่งเป็นจริงเสมอครับ |
เมื่อวานก็บ้าโจทย์ข้อ 6 ไปวันนึงครับ แต่ก็คว้าน้ำเหลวฮิฮิ วิธีคิดของน้อง gool นี่ใช้ได้ทีเดียวแต่ยังไม่ได้ลองคิดตามดูครับ แต่ที่เห็นได้ชัดคือ ตอนสร้างตัวแปรใหม่ น่าจะมีปัญหาเรื่องการหารด้วยศูนย์นิดหน่อยนะครับ เพราะโจทย์ข้อนี้ทุกตัวแปรเป็นจำนวนจริง จึงมีตัวนึงเป็นศูนย์ได้ แต่กรณีนี้มันจะเห็นได้ชัดครับ พิสูจน์ไม่ยาก
|
จริงด้วยครับ :p เคยแต่พิสูจน์อสมการที่เป็นจำนวนจริงบวก มาเจอข้อนี้ก็เล่นเอาชะงักไปเหมือนกัน
กรณีที่มีจำนวนใดจำนวนหนึ่งเป็นศูนย ์(เนื่องจาก \(a,b,c\) เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน) สมมติให้เป็น \(a\) จะได้ว่า \(2^2+(\frac{2b-c}{b-c})^2+1^2 \geq 5\) ซึ่งเป็นจริงเสมอครับ |
ข้อ 3 วันที่สอง
จับคู่เลขคี่ \( (1,3),(5,7),(9,11),\ldots\) เรียกว่า \( (a_i,b_i)\) นิยาม \[ f(n)=\begin{cases}b_i,&\text{ถ้า}\,\,n=a_i\\ 2a_i,&\text{ถ้า}\,\,n=b_i\\ 2f(n/2),&\text{ถ้า}\,\,n\,\,\text{เป็นเลขคู่} \end{cases} \] |
ข้อ 6 วันที่สอง
กรณี \( abc\neq0 \) ให้ \( x=a/(a-b),y=b/(b-c),z=c/(c-a) \) ซึ่งจะได้ว่า \[ bx=(x-1)a,cy=(y-1)b,az=(z-1)c\Longrightarrow abc(xyz-(x-1)(y-1)(z-1))=0 \] ดังนั้น \( x+y+z=xy+yz+zx+1 \) พิจารณาเทอมซ้ายมือของอสมการ ซึ่งเท่ากับ \[ (x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)+5=(x+y+z)^2+5\geq5 \] กรณี \( abc=0 \) ก็ทำแบบเดียวกับของน้อง gools |
มาแล้วครับ เซียนของจริง
|
ข้อ 13 ผมว่าจัดรูปได้ m(2k+5(m-1)) =2373 นะครับ หลังจากนั้น ก็คิดคล้ายๆ คุณ nongtum ก็จะได้ k= 181
ข้อ 1(วันแรก) รบกวนคุณ nongtum ขยายความบรรทัดที่หา AD แบบละเอียดกว่านี้นิดนึงได้ไหมครับ ส่วนข้อ 3 (วันแรก) ขอเสนออีกวิธีที่คำนวณออกมาเป็น ค่าที่ไม่ติด sin ครับ ลาก เส้นแบ่งครึ่งมุม BD พบ AC ที่ D ถ้า AB=a ,BC=b จะได้ AD=BD=b และ DC=a-b พิจารณา สามเหลี่ยม ABD ,by law of sine จะได้ \( \large \frac{a}{sin72^{\circ}}= \frac{b}{sin36^{\circ}} \) หรือ จัดรูปเป็น \( \large \frac{a}{b}= 2cos36^{\circ}\).....(1) พิจารณา สามเหลี่ยม BDC ,by law of sine จะได้ \( \large \frac{b}{sin72^{\circ}}= \frac{a-b}{sin36^{\circ}} \) หรือ จัดรูปเป็น \( \large \frac{a}{b}-1= \frac{1}{2cos36^{\circ}}\).....(2) ให้ x= a/b ซึ่งคือค่าที่โจทย์ต้องการ ดังนั้น จาก (1) ,(2) จะได้ x2 -x-1=0 ได้ \( \large x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \) หมายเหตุ : จากคำตอบของคุณ nongtum ผสมกับ คำตอบของผม ยังได้วิธีการ derive ค่า sine ของมุม 18 องศา อีกทางเลือกหนึ่งด้วย ปิดท้ายด้วย ข้อ 1 วันที่ 2 หลังจากวาดรูปเสร็จแล้ว reflect สามเหลี่ยม BFC และ GH ไปอีกครึ่งของวงกลม กลายเป็น สามเหลี่ยม BfC และ gH ตามลำดับ จะได้คอร์ด Gg ตัด BC ที่ H ดังนั้น (GH)(GH)=(GH)(gH) = (BH)(HC).....(1) ถ้า กำหนด มุม ABE เป็น x องศา จะได้มุม BFC= 90+x = BfC และ มุม BAC=90-x ดังนั้น BfC +BAC =180 องศา แสดงว่า สี่เหลี่ยม ABfC เป็น cyclic ด้วยเหตุผลคล้ายกับสมการ (1) จะได้(AH)(HF)= (AH)(Hf)=(BH)(HC) ........(2) จาก (1),(2) completes the proof หมายเหตุ : ผมชอบฟังก์ชันที่คุณ Punk ตอบข้อ 3 วันที่ 2 มากครับ ถ้า unique ด้วยก็เจ๋งเลยครับ |
อ้างอิง:
อ้างอิง:
อ้างอิง:
อ้างอิง:
เพราะมีคนเก่งๆแบบนี้ไงครับถึงชอบบอร์ดนี้ เวลาเล่นทีไรไม่ต้องทำอย่างอื่นกัน |
เป็นอันว่าคำตอบ ข้อ 1 วันแรก ของผมกับ คุณ nongtum ตรงกันครับ เพียงแต่คิดคนละวิธี (รู้สึก วิธีของผมจะคิดมากไปหน่อย) ยังไงก็ขอบคุณ คุณ nongtum ที่ปลีกเวลายุ่งๆจากการบ้านมหาศาล มาตอบให้ครับ ;)
ตอนนี้ คำถามที่เหลือส่วนใหญ่ ก็เป็น number theory ,combinatorics (และ geometry อีก 1ข้อ) รอเซียนที่ว่างๆ สำแดงเดช ตามสบายเลยครับ |
ข้อ 2 ครับ คำตอบคือ \(\frac{1}{2}\) เพราะเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า
|
อ้างอิง:
|
ขอโทษทีครับ คิดตื้น ๆ ไปหน่อย
เราได้ว่า \[\frac{AB\times BC \times CA}{4 \times \text{พท. สามเหลี่ยม ABC}}=\frac{AB\times BC \times CA}{4 \times \frac{1}{2} \times BC \times CA \sin C}=\frac{AB}{2 \sin C}=\frac{A'B}{2 \sin \angle BAA' \sin C }=BH\] \[\text{ดังนั้น}\qquad \sin \angle BAA' =\frac{A'B}{AB}= \frac{A'B}{2 BH \sin C }=\frac{1}{2}\] ข้อ 11 ลองแยกตัวประกอบ \(x^{2005}+1\) ดูครับ จะพบว่าไม่มีคำตอบ |
เพิ่งถึงบางอ้อเมื่อกี๊นี้เอง ว่าทำไม คนตั้งโจทย์ ถึงกำหนด BH เท่ากับรัศมี circumscribed circle
งั้น ผมขอเสนอ อีกวิธีสำหรับข้อ 2 (วันแรก) แล้วกันครับ จาก law of sine \(\huge \frac{AB}{sin(C)}=2R=2BH \) ......(1) (R: radius of circumscribed circle) แต่สามเหลี่ยม A'BH คล้ายกับสามเหลี่ยม BB'C ดังนั้น มุม C เท่ากับมุม BHA' จาก (1) ประกอบกับเหตุผลบรรทัดก่อน จะได้ \( \huge \frac{AB}{2BH}=sin(C)=sin(BHA')= \frac{A'B}{BH} \) ดังนั้น \( \huge \frac{A'B}{AB}= \frac{1}{2} \) |
ข้อ 10 (คิดตั้งนาน กว่าจะรู้ว่าใช้ทฤษฎีที่เพิ่งเรียนมาใช้ได้ ใครที่ทำง่ายกว่านี้ หรือหาที่ผิดเจอ ช่วยบอกด้วยนะครับ)
เนื่องจาก (22005,เลขคี่)=1 เราจะได้จาก Euler theorem (\(m \in \mathbb{N}, a\in \mathbb{Z}, (a,m)=1 \rightarrow {a^{\varphi(m)}\equiv 1 (mod\ m)} \)) เมื่อ a เป็นเลขคี่ว่า \[a^{2^{2004}}\equiv 1 (mod\ 2^{2005})\] ดังนั้น \[a^{2^{2005}}=a^{2^{2004}}a^{2^{2004}}\equiv 1 (mod\ 2^{2005})\] และ \[a^{2005\cdot{2^{2005}}} \equiv 1 (mod\ 2^{2005})\] เนื่องจาก \({2^{2005}|(2n)^{2005\cdot{2^{2005}}}}\)ดังนั้น \[\sum_{k=1}^{2005}k^{2005\cdot{2^{2005}}} \equiv \sum_{n=1}^{1003}(2n-1)^{2005\cdot{2^{2005}}} \equiv 1003\ (mod\ 2^{2005}) \] |
ข้อ 5 วันแรก ผมได้ 4332 ครับ. เลขสวยทีเดียว แต่ไม่รู้ว่าถูกหรือเปล่า ใครมีเฉลยช่วยดูที
ผมเข้าใจปัญหาถูกหรือเปล่า ช่วยดูทีนะครับ. :cool: \(\fbox{โยนลูกเต๋าลูกหนึ่ง 6 ครั้งจงหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่ทำให้แต้มรวมเท่ากับ 21 } \) จำนวนวิธี ดังกล่าวจะได้จากจำนวนคำตอบของสมการ \(a+b+c+d+e+f=21 \quad , 1 \leq a, b, c, d, e, f \leq 6 \) สมมติให้ฟังก์ชันก่อกำเนิด \(G(x) = (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^6 \) ส.ป.ส ของ x21 จะคือคำตอบนั่นเอง (ถูกเปล่าหว่า :rolleyes: ) \(G(x) = x^6(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^6 = x^6(1-x^6)^6(1-x)^{-6} \) ถ้าให้ \(F(x) = (1-x^6)^6 = \Sigma f_n x^n \quad , H(x) = (1-x)^{-6} = \Sigma h_n x^n \) จะได้ว่า ส.ป.ส ของ x21 ใน G(x) จะคือ ส.ป.ส ของ x15 ใน [ F(x) ] [ H(x) ] นั่นเอง พิจารณา ส.ป.ส ของ x15 ใน \(F(x)H(x) = \Sigma f_n h_{15 - n} \) \(f_n = {6 \choose \frac{n}{6}} \quad , n = 0, 6, 12, \cdots \) \(h_n = {6+n-1 \choose n} \) \(\Sigma f_n h_{15 - n} = f_0h_{15} + f_6h_9 + f_{12}h_3 = {6 \choose 0}{20 \choose 15} - {6 \choose 1}{14 \choose 9} + {6 \choose 2}{8 \choose 3} = 4332 \) |
ข้อ 5 ผมก็ได้ 4332 เหมือนคุณ gon ครับ ( ข้อนี้ ดูเหมือนถามง่ายๆ แต่ใช้แนวคิดอลังการมาก ไม่รู้เหมือนกันว่า ถ้าไม่ใช้ generating function หรือ inclusion-exclusion formula มาช่วย จะทำไงดี)
ข้อ 11 ที่คุณ gools บอกว่าไม่มีคำตอบ ผมว่า x = 22548-1 ก็สอดคล้องกับโจทย์ นะครับ แต่ผมไม่รู้ว่า เป็นตัวน้อยสุดหรือเปล่า ใครที่ expert ทาง number theory ช่วยมาชี้แจงแถลงไขด้วยครับ อ้างอิง:
ท้ายสุด อยากจะบอกว่า เห็นกระทู้นี้แล้ว ตื้นตันในพลังสามัคคีจริงๆนะเนี่ย ;) |
อืมแม่นแหล่วครับ ผมลืมดู สปส หน้าเทอม x2004 ไปเลย :( แก้แล้วครับ
|
อ้างอิง:
และ x2004 - x2003 + ... + x2 - x + 1 เป็นจำนวนคี่เสมอ ดังนั้น 22548 จะหาร x2005 + 1 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ 22548 หาร x + 1 ลงตัว นั่นคือคำตอบ x = 22548 - 1 ของคุณ passer-by เป็นคำตอบที่น้อยที่สุดแล้วครับ :) |
ง่ายกว่าที่คิดแฮะ ตอนนี้เหลือแต่ใครจะอึดแจง 128 สับเซตอย่างเป็นระบบ (ข้อ 8) กะเรียงคนอย่างเป็นระบบ (ข้อห้าวันที่สอง)
x ไม่ใช่เลขคู่ เพราะจะทำให้ 2 หาร x2548 ไม่ลงตัว ดังนั้น เราจะหาเลขคี่ x (หรือ x+1, x-1 เป็นเลขคู่) ที่สอดคล้องเงื่อนไข เนื่องจาก \[x^{2005}-(-1)^{2005}=(x+1)(x^{2004}-x^{2003}+...+1)=k\cdot2^{2548}\] เพราะว่า \(x^{2004}-x^{2003}+...+1=x^{2003}(x-1)+...+(x-1)+1\) เป็นเลขคี่ จึงทำให้ \(2^{2548}|(x+1) \) ตามเงื่อนไขโจทย์ x>0 จะได้ว่า x=22548-1 เป็นค่า x ที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องเงื่อนไขโจทย์ Edit2: ลืมวงเล็บไปหนึ่งคู่ ...whew... |
อ้างอิง:
เพื่อหาผลบวกของผลลัพธ์ของทุกสับเซตของ S เราจะแยกประเภทของสับเซตที่ไม่ใช่เซ็ตว่างของ S ออกเป็น 3 ประเภทดังนี้ 1. สับเซ็ตที่ไม่มีเลข 7 อยู่ สำหรับกรณีนี้จะได้ผลบวกของผลลัพธ์เท่ากับ x 2. สับเซ็ต {7} สำหรับกรณีนี้จะได้ผลบวกของผลลัพธ์เท่ากับ 7 3. สับเซ็ตที่เหลือ ซึ่งก็คือสับเซ็ตที่มีเลข 7 อยู่แต่ไม่ใช่ {7} ซึ่งมีอยู่ 26 - 1 = 63 สับเซ็ต ดังนั้นผลบวกของผลลัพธ์ในกรณีนี้คือ 7*63 - x (คงมองออกนะครับ ผมก็ไม่รู้จะอธิบายยังไงเหมือนกัน) ดังนั้นผลบวกของผลลัพธ์ของทุกสับเซตของ S จึงมีค่าเท่ากับ x + 7 + (7*63 - x) = 7*64 = 448 ครับ :) |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
แต่ก็ยังดีกว่ามาไล่พิจารณาทีละกรณี หรือ solve แบบ Brute force calculation แน่นอน 100% แวบแรกที่ผมเห็นข้อนี้ ผมสังเกตว่า โจทย์ต้องการ sum= 21 ซึ่งเป็นกึ่งกลางระหว่าง 6(min of sum) และ36 (max of sum) ก็นึกว่าต้องมีเทคนิคซักอย่างมาช่วยแน่ๆ ที่ไม่ต้องใช้ความรู้อย่าง generating function หรืออะไรทำนองนี้ แต่ก็มืดแปดด้าน สุดท้ายก็ต้องกลับมาสู่วิธีทาง combinatorics นี่แหละครับ ส่วนข้อ 8 ที่คุณ warut เฉลย พาลให้ผมนึกถึง คำถามข้อหนึ่ง " ถ้านำจำนวนเต็มบวก 9 ตัว บรรจุในเมตริกซ์มิติ 3x3 โดยแต่ละ entry ต่างกันหมด จะได้ 9! เมตริกซ์ หาผลบวกของ determinant ของเมตริกซ์ทั้ง 9!เมตริกซ์ " แม้จะคิดไม่เหมือนกับข้อ 8 ซะทีเดียว แต่ก็ให้อารมณ์คล้ายๆกัน และคำตอบข้อนี้ก็แค่เลขหลักเดียวซะด้วย |
โอ๊ยโย้ยโหยว...ผมชุ่ยอีกแล้ว คุณ passer-by ช่างสังเกตจัง ถ้าเป็นค่ากลางเนี่ยมีสูตรครับ แต่ในกรณีนี้คงไม่มีประโยชน์สำหรับผู้ทำสอบหรอก จะมีประโยชน์แต่ก็สำหรับผู้ออกข้อสอบไว้เช็คคำตอบมากกว่าครับ โยนลูกเต๋าลูกหนึ่ง $n$ ครั้ง สูตรสำหรับหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่ทำให้แต้มรวมเป็นค่ากลางมีดังนี้ครับ $$ \sum_{k=0}^{\lfloor 5n/12\rfloor} (-1)^k{n \choose k}{n+\lfloor5n/2\rfloor-6k-1 \choose n-1} $$ ซึ่งก็คืออันที่คุณ gon ค้นพบนั่นเองครับ :)
|
ข้อโยนลูกเต๋า ใช้หลักการรวมเข้าและหักออก กับ Stars and Bar ก็ได้ครับ
จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) คือ \( {20 \choose 5} \) จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) เมื่อมี \( x_i \) 1 ตัวที่กำหนด มีค่ามากกว่า 6 คือ \( {6 \choose 1} {14 \choose 5} \) จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ \( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 \) เมื่อมี \( x_i \) 2 ตัวที่กำหนด มีค่ามากกว่า 6 คือ \( {6 \choose 2} {8 \choose 5} \) \( \therefore \) จำนวนวิธีที่ต้องการคือ \( {20 \choose 5} - {6 \choose 1} {14 \choose 5} + {6 \choose 2} {8 \choose 5} = 4332 \) |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 09:34 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha