Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 07 พฤษภาคม 2005, 12:16
Rovers Rovers ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 เมษายน 2005
ข้อความ: 44
Rovers is on a distinguished road
Post มาแล้ว คณิตศาสตร์โอลิมปิก สอวน. ครั้งที่ 2 ที่ ม.อุบลฯ

วันแรก ปรนัย เติมคำตอบ 21 ข้อ 21 คะแนน

1. ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูแนบในวงกลมรัศมี 1 หน่วย โดยที่ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ DC = 4AD จงหาระยะ AD

2. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลมแนบในวงกลม จากจุด A และจุด B ลากเส้นตั้งฉากกับด้านตรงข้ามที่จุด A' และ B' ตามลำดับและเส้นตั้งฉากทั้งสองตัดกันที่จุด H ถ้า BH ยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม จงหาค่าของ A'B/AB

3. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีจุด A เป็นจุดยอด และมุมที่ฐานมีขนาดเป็นสองเท่าของมุมที่จุดยอด จงหาค่าของ AB/BC

4. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมแนบในวงกลมซึ่งมี BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ถ้า AB ยาว 3 หน่วยและ AC ยาว 4 หน่วย และ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม ABC แล้วจงหาของผลคูณของ BO และ OC

5.โยนลูกเต๋าลูกหนึ่ง 6 ครั้งจงหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่ทำให้แต้มรวมเท่ากับ 21

6. จงหาจำนวนผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ สมการ (x_{1}+x_{2}+x_{3})^{2}(y_{1}+y_{2}) = 2548

7. ต้องการเขียน 2548 ในรูปผลบวกของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไปโดยลำดับมีความสำคัญ จะทำได้ทั้งหมดกี่วิธี

8. จัดเรียงสมาชิกในแต่ละสับเซตของ S = {1,2,3,4,5,6,7} ที่ไม่ใช่เซตว่างจากมากไปน้อย ใส่เครื่องหมายบวกและลบสลับกันหน้าสมาชิกแต่ละตัวของสับเซต โดยเริ่มจากเครื่องหมายบวกหน้าจำนวนที่มากที่สุดในสับเซตนั้น หาผลบวกของจำนวนเหล่านั้น (เช่น สับเซต T={7,4,2} เราได้ 7-4+2 = 5 เป็นผลลัพธ์ของสับเซต T) จงหาผลบวกของผลลัพธ์ของทุกสับเซต S
__________________
do the best
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 07 พฤษภาคม 2005, 13:13
Rovers Rovers ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 เมษายน 2005
ข้อความ: 44
Rovers is on a distinguished road
Post

การแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิก สอวน. ครั้งที่ 2
(The Second POSN-Mathematical Olympiad)
วันที่ 2-6 พฤษภาคม 2548 ณ. ศูนย์ สอวน. มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี

วันแรก 3 พฤษภาคม 2548
ปรนัย เติมคำตอบ 21 ข้อ 21 คะแนน เวลาสอบ 3 ชั่วโมง (คะแนนสูงสุด 17 ต่ำสุด 0)

1. ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูแนบในวงกลมรัศมี 1 หน่วย โดยที่ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง และ DC = 4AD จงหาระยะ AD

2. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลมแนบในวงกลม จากจุด A และจุด B ลากเส้นตั้งฉากกับด้านตรงข้ามที่จุด A' และ B' ตามลำดับและเส้นตั้งฉากทั้งสองตัดกันที่จุด H ถ้า BH ยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม จงหาค่าของ A'B/AB

3. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีจุด A เป็นจุดยอด และมุมที่ฐานมีขนาดเป็นสองเท่าของมุมที่จุดยอด จงหาค่าของ AB/BC

4. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมแนบในวงกลมซึ่งมี BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ถ้า AB ยาว 3 หน่วยและ AC ยาว 4 หน่วย และ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม ABC แล้วจงหาของ BOOC

5.โยนลูกเต๋าลูกหนึ่ง 6 ครั้งจงหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่ทำให้แต้มรวมเท่ากับ 21

6. จงหาจำนวนผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ สมการ (x1+x2+x3)2(y1+y2) = 2548

7. ต้องการเขียน 2548 ในรูปผลบวกของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไปโดยลำดับมีความสำคัญ จะทำได้ทั้งหมดกี่วิธี

8. จัดเรียงสมาชิกในแต่ละสับเซตของ S = {1,2,3,4,5,6,7} ที่ไม่ใช่เซตว่างจากมากไปน้อย ใส่เครื่องหมายบวกและลบสลับกันหน้าสมาชิกแต่ละตัวของสับเซต โดยเริ่มจากเครื่องหมายบวกหน้าจำนวนที่มากที่สุดในสับเซตนั้น หาผลบวกของจำนวนเหล่านั้น (เช่น สับเซต T={7,4,2} เราได้ 7-4+2 = 5 เป็นผลลัพธ์ของสับเซต T) จงหาผลบวกของผลลัพธ์ของทุกสับเซต S

9. จงหาห.ร.ม. ของ ( 13590 - 4590 )/ 902 กับ 902

10. จงหาเศษเหลือที่ได้จากการหาร
2005
S
k=1
k 200522005 ด้วย 22005

11. จงหาจำนวนเต็มบวก x ที่น้อยที่สุด ซึ่งทำให้ 22548 หาร x2005 +1 ลงตัว

12. จงหาว่ามีจำนวนเต็มคู่ n กี่จำนวน ซึ่ง 0 n 1000 และ 5 n2 22n2 + 1

13. จงหาจำนวนเต็มบวกคี่ k ทั้งหมดที่ทำให้มีจำนวนเต็มบวก m ซึ่ง k + (k+5) + (k+10) + ... + (k+5(m-1)) = 1372

14. กำหนดฟังห์ชัน f : NZ ( Z คือเซตของจำนวนเต็มทั้งหมด) โดยที่ f(m+n) = f(m) + f(n) + 2mn - 2548 สำหรับทุกๆ m,n N ถ้า f(2548) = -2548 แล้ว จงหา f(2)

15. กำหนดฟังก์ชัน f:RR โดยที่ f(x+2y) + 2f(y-2x) = 3x-4y+6 สำหรับทุกๆ x,y R จงหา f(2548)

16. จงหาผลบวกของรากทั้งหมดของสมการ (2-x)2005 + x2005 = 0

17. ให้ a,b 0 และนิยาม a*b = (a+b+1)/(ab+12) จงหาค่า 0*(1*(2*(...(2003*(2004*2005))...)))

18. จงหาค่าของ
1273
S
k=0
1/(1+tan2548(kp/2548))

19. กำหนด P(x) เป็นพหุนามดีกรี 4 ที่มีสัมประสิทธิ์ของ X4 เท่ากับ 1 และ x-k หาร P(x) เหลือเศษ k เมื่อ k = 1,2,3,... จงหาค่า P(4)+P(0)

20. กำหนด a,b,c,d > 0 และ 36a+4b+4c+3d = 25 จงหาค่าสูงสุดของ ab1/2c1/3d1/4

21. ให้ a,b,g เป็นจำนวนจริงใดๆ จงหาค่าต่ำสุดของ cos(a-b) + cos(b-g) + cos(g-a)

ผู้ที่ไปแข่งทุกคนคงได้เฉลยอยู่ในมือแล้ว แต่ในที่นี้ผมขอไม่เฉลยดีกว่า ลอง Discuss กันดูนะครับ
__________________
do the best
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 07 พฤษภาคม 2005, 13:45
Rovers Rovers ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 เมษายน 2005
ข้อความ: 44
Rovers is on a distinguished road
Post

วันที่สอง 4 พฤษภาคม 2548
อัตนัย แสดงวิธีหาคำตอบ 6 ข้อ 42 คะแนน เวลาสอบ 4 ชั่วโมง

1. (โจทย์จริงมีรูปให้)
BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม
A เป็นจุดภายนอกของวงกลมซึ่งทำให้เกิดสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC
AB และ AC ตัดวงกลมที่จุด D และจุด E ตามลำดับ
CD ตัด BE ที่จุด F
AF ตัดวงกลมที่จุด G
ต่อ AF ไปพบ BC ที่จุด H
จงพิสูจน์ว่า AHFH = (GH)2

2. S เป็นเซตของจำนวนเต็มที่ต่างกันสามจำนวน จงแสดงว่า ต้องมี a,b S ซึ่ง a b และ 10 a3b - ab3

3. มีฟังก์ชัน f: NN ซึ่ง f(f(n)) = 2n สำหรับทุกจำนวนนับ n หรือไม่? ถ้ามี จงยกตัวอย่างฟังก์ชันดังกล่าว พร้อมแสดงให้เห็นจริงว่าฟังก์ชันนั้นสอดคล้องกับสมบัติที่กำหนดให้

4. (โจทย์จริงมีรูป)
ให้ O1 เป็นจุดศูนย์กลางของครึ่งวงกลมที่มี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง
ให้ O2 เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่แนบในครึ่งวงกลมแรกและสัมผัสกับ AB ที่จุด O1
ให้ O3 เป็นจุดบน AB และเป็นจุดศูนย์กลางของครึ่งวงกลทมี่สัมผัสวงกลมสองวงแรก
P เป็นจุดตัดของเส้นตั้งฉากกับ AB ที่จุด O3 และเส้นที่ผ่านจุด O2 และขนานกับ AB
จงแสดงว่า P เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่สัมผัสสามวงแรก

5. ในวันเปิดเทอมของชั้น ม.1/1 มีนักเรียนเข้าใหม่ 50 คนที่ยังไม่มีใครรู้จักกันเลย ในเช้าวันนั้น ครูจัดให้นักเรียนทั้งหมดยืนเรียงแถวหน้ากระดาน และอนุญาตให้นักเรียนได้ทำความรู้จักกับเพื่อนที่ยืนติดกันเท่านั้น ในบ่ายวันเดียวกัน ครูจัดให้นักเรียนทุกคนยืนแถวตอนเรียงหนึ่ง และต้องการให้นักเรียนแต่ละคนมีเพื่อนที่รู้จักกันจากช่วงเช้าอยู่ด้านหน้า (ไม่จำเป็นต้องยืนติดกัน) อย่างน้อยคนหนึ่งเสมอ ครูมีวิธีการจัดแถวในตอนบ่ายได้ทั้งหมดกี่วิธี

6. กำหนด a,b,c เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน จงพิสูจน์ว่า
{(2a-b)/(a-b)}2 + {(2b-c)/(b-c)}2 + {(2c-a)/(c-a)}2 5


Hints :
__________________
do the best

08 พฤษภาคม 2005 14:53 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Rovers
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 07 พฤษภาคม 2005, 13:49
R-Tummykung de Lamar R-Tummykung de Lamar ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 ธันวาคม 2004
ข้อความ: 556
R-Tummykung de Lamar is on a distinguished road
Post

ข้อที่ 7
สมมติว่ามี * อยู่ 2548 ดวง
*_*_*_..._*

ซึ่งมีช่องว่างตรงกลาง 2547 ที่ ใช้หลัก star and stack (แบบที่คุณ gon เคยแสดงให้ผมดูครั้งนึง ) คือ เอา | ไปวางไว้บนช่องว่าง

แต่ละช่องจะมีวาง กับไม่วางคือ 2 วิธี เพราะฉะนั้นมีทั้งหมด 22547 วิธีครับ
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] ||
(a,b,c > 0,a+b+c=3)
$$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 07 พฤษภาคม 2005, 16:45
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,247
nongtum is on a distinguished road
Post

วันแรก (Solution ฉบับย่อ)

1. ให้ O เป็นศูนย์กลางวงกลม ลาก OD แล้วลากเส้นจาก O ไปตั้งฉากกับ DC ที่ E ลาก DF ตั้งฉากกับ AO ที่ F
ให้ AD=x DC=4x จะได้ AF2+DF2=(1-2x)2+(1-4x2)=x2=AD2
แก้สมการหาค่า x จะได้ \(x=\sqrt{6}-2\)

3. จากโจทย์จะได้มุมของสามเหลี่ยมเป็น 36,72,72 องศาตามลำดับ อันหมายถึง \(AB:BC=1/2sin 18=(1+\sqrt{5})/2\)

4. รัศมีวงกลมแนบใน=1, \(BO\cdot{}OC=5\sqrt{2}\)

6. \(2548=2^2\cdot7^2\cdot13\) อันหมายถึง \(x_1+x_2+x_3=7,14\) (ผลรวมไม่เท่ากับ 1 หรือ 2ตามเงื่อนไขโจทย์) และ \(y_1+y_2=52,13\) รวมทั้งสองกรณีจะได้คำตอบทั้งหมด \({6\choose2}\cdot51+{13\choose2}\cdot12=1701\) คำตอบ

9. ห.ร.ม. คือ \(2\cdot45^2=4050\) เพราะ \(135^{90}-45^{90}=45^{90}(3^{45}+1)(3^{45}-1)\) และ \((3^{45}+1)\equiv4(mod\ 8),\ (3^{45}-1)\equiv2(mod\ 4)\)

14. จาก f(m+1)=f(m)+f(1)+2m-2548 จะได้ f(1)=-1 และ f(2)=-2548

15. f(0)=2 แทน x=2548/5, y=2*2548/5 จะได้ f(2548)=-2546

20. ใช้ AM-GM-Inequality จะได้
\[1=\frac{12(3a)+6(\frac{2}{3}b)+4c+3d}{25}\ge[(3a)^{12}(\frac{2}{3}b)^6c^4d^3]^{\frac{1}{25}}]\]
ซึ่งจะได้ \[max(ab^{\frac{1}{2}}c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{4}})=\frac{1}{\sqrt{6}}\]

Phew... พักไปคิดต่อก่อน เดี๋ยวมาโพสต์ต่อ
Edit1: ลบคำตอบข้อ 19 แก้คำตอบข้อ 1
Edit2: แก้คำตอบข้อ 9
Edit3: แก้คำตอบข้อ 9 อีกที
Edit4: แก้เครื่องหมายอสมการข้อ 20
Edit5: แก้ข้อ 1 (อ่านโจทย์ผิดอย่างแรง) และเสริมข้อ 2 (ขอบคุณคุณ Passer-by สำหรับคำแนะนำท้วงติงครับ)
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.

09 พฤษภาคม 2005 04:39 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 07 พฤษภาคม 2005, 19:16
Gathering Gathering ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 07 พฤษภาคม 2005
ข้อความ: 1
Gathering is on a distinguished road
Post

ความจริง ข้อ 7 ตอบ 22547-1 นะคับ
ส่วนวิธีคิดจะมาโพสวันหลังครับ
__________________
-
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 07 พฤษภาคม 2005, 19:29
Rovers Rovers ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 เมษายน 2005
ข้อความ: 44
Rovers is on a distinguished road
Post

ข้อ 9 ตอบ 9045 หรือ 4050 อะครับ วิธีคิดไว้จะมาโพสต์
__________________
do the best
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 07 พฤษภาคม 2005, 21:34
nooonuii nooonuii is online now
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 5,791
nooonuii is on a distinguished road
Post

ข้อ 16 ผลบวกของรากของสมการจะเท่ากับ - สปส. หน้าเทอม x2003/ สปส.หน้าเทอม x2004
ข้อ 19 ผมว่าเขียนโจทย์ยังไม่เคลียร์นะครับ เพราะพหุนามใดๆที่ไม่ใช่พหุนามคงตัวจะมีค่าเท่ากันได้ไม่เกินกำลังของพหุนามนั้น(สร้างพหุนาม Q(x) = P(x)-x จะได้ Q(k)=0 ทุกจำนวนนับ k ซึ่งจะได้ Q(x) = 0 --> P(x) = x ขัดแย้งกับเงื่อนไขของ P(x) ที่เป็นพหุนามกำลังสี่) ผมจึงเดาว่า P(k)=k สำหรับ k = 1,2,3,4 ซึ่งจะได้ว่า
P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + x
ตอบ P(0)+P(4) = 4! + 4 = 28

แก้คำตอบข้อ 16 ครับ
__________________
ที่คิดว่าดีนั้น ดีแล้วแน่หรือ ?

12 พฤษภาคม 2005 04:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 07 พฤษภาคม 2005, 21:41
R-Tummykung de Lamar R-Tummykung de Lamar ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 ธันวาคม 2004
ข้อความ: 556
R-Tummykung de Lamar is on a distinguished road
Post

22547-1 นั่นแหละรคับ
คิดว่าจะรีบแก้ พอดีออกไปข้างนอกทั้งวัน ..ต้องหักออกกรณีนึงที่ไม่มี stack เลย เพราะโจทย์บอกว่า ผลบวกของจำนวนนับตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไปครับ
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] ||
(a,b,c > 0,a+b+c=3)
$$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 07 พฤษภาคม 2005, 23:35
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,247
nongtum is on a distinguished road
Post

12. ตามเงื่อนไขโจทย์จะได้ \(n^2\equiv\pm1(mod\ 5)\) และ \(2^{2n^2}=4^{n^2}\equiv1(mod\ 5)\)
ดังนั้น พจน์ที่โจทย์ให้มาจะหารห้าลงตัว เมื่อ \(n^2\equiv-1\) หรือ n=2,8,12,18,...,998 รวมทั้งหมด 200 ตัว

13. จากโจทย์ จัดรูปใหม่จะได้ m(2k+5(m-1))=2373 เราจะพิจารณากรณีต่อไปนี้
หาก m เป็นเลขคี่ จะได้ m=1,7,49,343
m=1 =>2k=2373 (X)
m=7 =>2k=392-5(7-1)=362 => k=181
m=49,343 ทำให้ k เป็นลบ
หาก m เป็นเลขคู่ เราจะแยกกรณีได้อีก 2 กรณี
หาก 2k+5(m-1) เป็นเลขคู่ จะได้ 2k เป็นเลขคี่ (C!)
หาก 2k+5(m-1) เป็นเลขคี่ จะได้ m=23=8 และ 2k+5(m-1)= 73=343 ซึ่งจะได้ k=0.5(343-5*7)=154 (X)
ดังนั้น (m,k)=(7,181) เป็นคำตอบชุดเดียวที่สอดคล้องเงื่อนไขโจทย์

PS:
Edit1: หลังจากมาดูอีกที คิดว่าข้อสอบข้อ 19 ไม่ชัดเจนอย่างที่คุณ nooonuii บอกจริงๆ คือออกโจทย์แบบละไว้ในฐานที่เข้าใจ (ลบที่เขียนข้างบนแล้วครับ)
Edit2: แก้ข้อ 12 (Thanks Khun Passer-by again. It was luck that it only requires the number of solution, and not (m,k) itself -_-'.)
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.

09 พฤษภาคม 2005 05:02 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 08 พฤษภาคม 2005, 00:44
R-Tummykung de Lamar R-Tummykung de Lamar ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 ธันวาคม 2004
ข้อความ: 556
R-Tummykung de Lamar is on a distinguished road
Post

ข้อ 9

\( \displaystyle{= \quad \frac{135^{90}-45^{90}}{90^2} }\)
\( \displaystyle{= \quad \frac{45^{90}(3^{90}-1)}{90^2} }\)
\( \displaystyle{= \quad \frac{45^{90}(3^{45}-1)(3^{45}+1)}{90^2} }\)
\( \displaystyle{= \quad \frac{45^{90}(2)(3^{44}+3^{43}+3^{42}+...+3^1+1)(4)(3^{44}-3^{43}+3^{42}+...-3^1+1)}{90^2} }\)
\( \displaystyle{= \quad 45^{88}(2)(คี่)(คี่) }\)
ซึ่ง ห.ร.ม. ของตัวนี้กับ 902 คือ 90 \( \times\) 45 = 4050 นั่นเองครับ
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] ||
(a,b,c > 0,a+b+c=3)
$$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 08 พฤษภาคม 2005, 01:51
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,247
nongtum is on a distinguished road
Post

อีกข้อครับ
วันที่สอง (solution sketch)

ข้อ 2
Obviously: 2|ab(a+b)(a-b) (กรณีที่ทั้ง a และ b เป็นเลขคี่ a+b จะเป็นเลขคู่) ดังนั้นเราจะพิจารณาเฉพาะกรณีการหารด้วยห้า
สมมติว่าหนึ่งในสามจำนวนในเซตนี้หารห้าลงตัว ก็ไม่ต้องทำอะไรเพิ่ม
สมมติว่าในเซตนี้ไม่มีจำนวนใดหารห้าลงตัว เราจะพิจารณากรณีต่อไปนี้
หากอย่างน้อยสองในสามจำนวนหารด้วยห้าได้เศษเป็น 1 หรือ 4 ก็ไม่ต้องทำอะไรต่อ เพราะ 5|(a+b) หรือ 5|(a-b)
ในทางตรงกันข้ามจะได้ว่ามีอย่างน้อยสองจำนวนที่หารด้วยห้าได้เศษเป็น 2 หรือ 3 ซึ่งก็ไม่ต้องทำอะไรต่อ เพราะ 5|(a+b) หรือ 5|(a-b)
หมายเหตุ: เราพิจารณาจากเศษที่ได้จากการหาร หารได้เศษเท่ากัน อาจไม่ใช่เลขตัวเดียวกัน ซึ่งทำให้ argument ด้านบนพิสูจน์ claim ที่กำหนดให้

ข้อ 4
หลังจากสร้างรูปตามโจทย์ได้แล้ว ให้สร้างวงกลมแนบใน O4 สัมผัสกับครึ่งวงกลม O1 (รัศมี 2R) ที่จุด D, วงกลม O2 (รัศมี R) ที่จุด C, และครึ่งวงกลม O3 (รัศมี r) ที่จุด B
ให้ครึ่งวงกลม O2 และ O3 สัมผัสกันที่จุด A
ลาก O2O3, O2P, O3P, O1P
จากการสร้างจะได้สี่เหลี่ยม O3O1O2P เป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก จุด C และ B อยู่บน O2P และ O3P ตามลำดับ ทั้งยังจะได้จุด P อยู่บน O1D
จากรูปยังจะได้อีกว่า
O1O2=O3P หรือ R=r+PB หรือ PB=R-r,
O2O3=O1P หรือ R+r=2R-PD หรือ PD=R-r,
O1O3=O2P หรือ 2R-r=R+PC หรือ PC=R-r.
จาก PB=PC=PD จึงสรุปได้ว่า P เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในที่ต้องการ

Edit1: แก้ข้อ 4
EDit2: เพิ่มข้อ 2
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.

08 พฤษภาคม 2005 09:36 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #13  
Old 08 พฤษภาคม 2005, 11:05
passer-by passer-by ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 11 เมษายน 2005
ข้อความ: 1,435
passer-by is on a distinguished road
Post

ข้อ 17
เพราะ (3*k)= 1/3 เสมอ ทุก nonnegative number k
ดังนั้น ค่าที่โจทย์ต้องการ จึง simplify เป็น 0*(1*(2*(1/3))) = 23/233
__________________
เกษียณตัวเอง at here ปลายมิถุนายน 2557
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #14  
Old 08 พฤษภาคม 2005, 15:51
gools's Avatar
gools gools ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 เมษายน 2004
ข้อความ: 390
gools is on a distinguished road
Post

ใครทำข้อที่ 6 วันที่ 2 ได้บ้างครับ ยากจริงๆ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #15  
Old 08 พฤษภาคม 2005, 16:53
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,065
gon is on a distinguished road
Cool

เพิ่งว่างมาดูครับ. ขอบคุณน้อง Rovers มากที่ขยันพิมพ์ลงมาให้ และ ก็ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับข้อสอบที่จะ scan มาให้ (ถ้ามีเฉลยด้วยก็เจ๋งครับ. ฮิ ๆ )

ถ้าน้องยังอยู่ที่อุบล ฯ พี่แนะนำให้ไปหาโรตีใส่กล้วยหอมมาลองกินดูครับ. เด็ดมากขอบอก พี่เคยกินตอนไปค่ายวิชาการตอน ปี 2 ขึ้นปี 3 เขาเอากล้วยหอมค่อนข้างสุกมาตีให้มันเละ ๆ แล้วไปใส่ในโรตี ทั้งหอมทั้งอร่อย หลังจากกลับจากอุบล ฯ ลองมาซื้อกินใน กทม. เหอ ๆ ไม่ได้เรื่องเลย.

My comments: ข้อ 2 วันที่ 2 รู้สึกว่าจะโหลนะครับ. จำได้คุ้น ๆ ว่าเห็นที่ไหนมาหลายทีแล้ว

เดี๋ยวผมจะลอง Attack ข้อ 6 วันที่ 2 เดี๋ยวนี้ล่ะ โจทย์ดูสวยดี ไม่คุ้นตาเลย
__________________
ฝึกทักษะ พัฒนาความคิด พิชิตคณิตศาสตร์

หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC (Elementary Mathematics International Contest) ครั้งที่ 1-8 (พ.ศ.2546-2553) หาซื้อได้ที่ศูนย์หนังสือจุฬาฯ ซีเอ็ด(se-ed)และ kinokuniya
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 10:27


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2014, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha