รบกวนถามหน่อยนะครับ พี่ nooonuii
Use Triangle inequality.
แล้วพี่หา z กับ w ยังไงหรอครับ
แล้วถ้าข้อนี้ถามค่าต่ำสุดจะใช้แนวคิดเดียวกันได้มั้ยครับ ช่วยอธิบายที

มีเงื่อนไขที่ทำให้สมการเป็นจริงอยู่ครับ

อสมการสามเหลี่ยม

$|z+w|\leq |z| + |w|$

จะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ มี $k\neq 0$ ซึ่งทำให้

$Re(z)=k Re(w)$ และ $Im(z)=k Im(w)$

กลับมาที่อสมการในโจทย์

สมมติว่า $z=a+bi,w=c+di$

จาก

$|z-w|=|(z+1-i)+(-w-1-i)+2i|$

$\leq |z+1-i|+|(-w-1-i)+2i|$

$\leq |z+1-i|+|-w-1-i|+|2i| $

$= 1+6+2=9$

จะได้ว่าสมการเป็นจริงเมื่อทุกบรรทัดเปลี่ยนเป็นสมการหมด

เราก็มาดูว่ามีการใช้อสมการสามเหลี่ยมตรงไหนบ้าง

เริ่มจาก $|(-w-1-i)+2i|=|-w-1-i|+|2i|=8$

$|(-c-1)+(d-1)i +(2i)|=|(-c-1)+(d-1)i|+|0+2i|$

ก็ต่อเมื่อ

$-c-1=k(0)$ และ $d-1=k(2)$ จึงได้ $c=-1,d=1+2k$

แต่จาก $|w+1+i|=6$ จะได้ $|d+1|=6$ ดังนั้น $d=5,-7$

แต่ถ้า $d=5$ จะได้

$|(-w-1-i)+2i|=|-6i+2i|=4\neq 8$

จึงได้ว่า $d=-7$ ดังนั้น $w=-1-7i$

กลับมาที่อสมการ

$|z-w|=|(z+1-i)+(-w-1-i)+2i|$

$\leq |z+1-i|+|(-w-1-i)+2i|$

$=|z+1-i|+|8i|$

$=|(a+1)+(b-1)i|+|8i|$

จะได้ว่า สมการเป็นจริงเมื่อ

$a+1=k(0)$ และ $b-1=k(8)$

ดังนั้น $a=-1,b=1+8k$

จากเงื่อนไข $|z+1-i|=1$ จะได้ $|b-1|=1$

ดังนั้น $b=0,2$

แต่ถ้า $b=0$ จะได้ว่า

$|z-w|=|-1+1+7i|=7\neq 9$

ดังนั้น $b=2$

จึงได้ $z=-1+2i,w=-1-7i$ ซึ่งสอดคล้องทุกเงื่อนไขที่เราต้องการ

ส่วนค่าต่ำสุดผมยังไม่ได้ลองคิดครับ

คิดว่าคงยากกว่าค่าสูงสุดเพราะใช้อสมการสามเหลี่ยมแบบเดิมไม่ได้

ขอบคุณอีกครั้งค่ะ :)