Number ที่คิดไม่ออก
ช่วยหน่อยนะครับ คิดไม่ได้นานมากแล้ว
1. ให้ $a, b\in \mathbb{Z}$ จงหาจำนวนนับ n ที่มากที่สุดซึ่ง n หาร $ab(a^{60}-b^{60})$ ทุก $a, b \in \mathbb{Z}$ ขอบพระคุณครับ:please: |
$2\bullet 3\bullet 5\bullet 7\bullet 11\bullet 13\bullet 31\bullet 61$ รึเปล่าครับ
|
ใช่แล้วครับ โจทย์ข้อนี้คิดว่าคนออกคงแปลงมาจากโจทย์สอวน.วิชาทฤษฏีจำนวนข้อแรกที่สอบไปเมื่อปลายเดือนมีนาที่ผ่านมาแหละครับ
|
อยากรู้วิธีทำจังเลยค่ะ กรุณาแสดงให้ดูซักนิดได้มั้ยคะ
|
ก่อนอื่นขอตั้งข้อสังเกตว่า หากโจทย์ถามหา $n$ ที่เป็นจริงสำหรับทุก $a,b\in \mathbb{Z}$ ข้อนี้จะตอบ 1 เพราะเห็นได้ชัดว่าเทอมนี้มีค่าเป็น 1 เมื่อ $a=1,\ b=0$ เข้่าใจว่าคนออกโจทย์คงตั้งใจจะถามสำหรับทุก $a,b\in \mathbb{Z}\backslash \{0\}$ ครับ
คำเตือน: แนวคิดด้า่นล่างอาจไม่เหมาะต่อการคำนวณจริงในห้องสอบ ($a,b\in \mathbb{Z}\backslash \{0\}$) - แยกตัวประกอบ สามารถใช้ทบ.เช่น Eisenstein ช่วยดูได้ว่าแยกต่อได้หรือไม่้ - ถ้ามันจริงสำหรับทุก $a,b$ มันก็ต้องจริงสำหรับ $a=2,\ b=1$ ด้วย แทนค่าในเทอมที่แยกตัวประกอบแล้ว และแยกตัวประกอบต่อหากจำเป็น แล้วตรวจสอบการหารลงตัวในกรณีทั่วไป (ตรงนี้หากมีเครื่องคำนวณ เพื่อจะลดจำนวนตัวประกอบเฉพาะที่จะตรวจสอบ ก็อาจจะใช้ตัวประกอบของ $\gcd (3(3^{60}-1),2(2^{60}-1))$ (ตัวอย่าง) แทนตัวประกอบของ $2(2^{60}-1)$ ก็ได ตอนตรวจสอบกาีรหารลงตัว (อันเป็นส่วนที่ถึกที่สุดของข้อนี้) นอกจากการคำนวณสมภาคตามปกติ ก็อาจใช้ little fermat กับตัวประกอบที่เหมาะสม มาช่วยได้ครับ การคำนวณส่วนนี้ ลองเทียบค่ากับการแยกตัวประกอบตอนต้นจะช่วยได้มากครับ |
:kiki: ขอบคุณมาก ๆ เลยค่ะ
|
เอ่อ...ผมนั่งคิดๆดูครับผมได้ $n=2\bullet 56786730$:confused: :confused: :wacko:
ผมอยากรู้ว่าควรยกตัวอย่างค่า $a,b$ ยังไงถึงจะสรุปได้เลยอะครับ ผมขออีกสัก 2 ข้อก็แล้วกันครับ 1.จงหา$x,y,z,\in \mathbb{N}$ ทั้งหมดซึ่ง $$(x^2+2)(y^3+3)(z^4+4)=60xyz$$ 2.จงหาจำนวนเฉพาะ $p,q$ และจำนวนคู่$ n\geq 3$ ที่สอดคล้องกับสมการ $$p^n+p^{n-1}+p^{n-2}+....+p+1=q^2+q+1$$ อ้อแล้วก็ขอบคุณมากนะครับที่ช่วยคิดให้ ขอบคุณจริงๆครับ:please: :please: |
ข้อเเรก ตอบว่า $x=2 ,y=3 ,z=4$ ครับ (ขอโทษครับ มองผิดเป็นกำลังสอง:died: )
เเละขออนุญาตนำโจทย์มาให้อีกข้อด้วยครับ จงหาจำนวน 3 หลัก $\overline{abc}$ ทั้งหมดซึ่ง $\overline{abc}=abc(a+b+c) $ |
ข้อแรกแทนคำตอบไปเช็คแล้วไม่จริงครับ แต่ยังหาคำตอบที่ไม่ใช่ x=y=z=1 ไม่เจอ
ข้อที่สองหลังจากนั่งแจงกรณีอยู่พักใหญ่ พบว่ามีคำตอบชุดเดียวที่สอดคล้อง คือ p=q=n=2 ส่วนข้อที่คุณ Art_ninja โพสต์มาเพิ่มผมยังไม่ได้คิดครับ |
อ้างอิง:
$x^2+2\geq 3x$ $y^3+3\geq 4y$ $z^4+4\geq 5z$ เราจะได้ว่า $(x^2+2)(y^3+3)(z^4+4)\geq 60xyz$ ทุก $x,y,z\in\mathbb{N}$ สมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $x=y=z=1$ หรือ $x=2,y=z=1$ ดังนั้น $(x,y,z)=(1,1,1),(2,1,1)$ :yum: |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
$$10b+c=ak_{1}$$ $$100a+c=bk_{2}$$ $$100a+10b=ck_{3}$$ สำหรับบาง$ k_{i}\in\mathbb{N}$ ทุก i=1,2,3 ถ้าให้ $N=\overline{abc}=100a+10b+c$ จะได้$N=a(k_{1}+100)=b(k_{2}+10)=c(k_{3}+1)$ $\frac{N}{k_{1}+100}=a,\frac{N}{k_{2}+10}=b,\frac{N}{k_{3}+1}=c$ ดังนั้น $$\frac{100N}{k_{1}+100}+\frac{10N}{k_{2}+10}+\frac{N}{k_{3}+1}=100a+10b+c=N$$ นำ N หารทั้งสองข้างของสมการจะได้ $$\frac{100}{k_{1}+100}+\frac{10}{k_{2}+10}+\frac{1}{k_{3}+1}=1$$ ซึ่งผมยังไม่ได้หาเลย |
ผมยิ่งอ่านยิ่งงงอ่ะครับ
|
ก็คือถ้าเราหาค่า $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ได้ เราก็(น่า)จะสามารถหาค่า $a,b,c$ ได้แต่ก็ต้องกลับมาเช็คคำตอบด้วย
|
ถ้าผมเข้าใจไม่ผิดคือสำหรับ $a,b,c\in\mathbb{N}$ จะได้ว่ามี $(a,b,c)=(2,3,6)$ เพียงชุดเดียวที่$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$:)
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 21:52 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha