โจทย์จากแดนไกลคับ

[The Cro_no]

จงหาจำนวนเฉพาะ $p,q$ ซึ่งทำให้ $p^n+p^{n-1}+p^{n-2}+...+p^2+p+1 = q^2+q+1$
เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มคู่

[kartoon]

ให้ $\,\,n=2k\,\,$ จะได้ว่า

$q^2+q+1 = p^{2k}+p^{2k-1}+...+p^k+...+p+1 \geq p^{2k}+p^k+1$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,q\geq p^k$........(*)

เรามี$\,\,\,q(q+1) = p(p^{2k-1}+...+p+1)$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,\frac{p(p^{2k}-1)}{(p-1)}$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,q(q+1)(p-1)\,\,=\,\,p(p^k-1)(p^k+1)$.................(**)


$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ ถ้า $\,\,p\not= q\,\,$เราจะได้ว่า $\,\,(q,p)=1\,\,$

และจาก (*) เรายังได้ว่า $(q,p^k-1)=1\,\,$

$\therefore q|p^k+1\,\, $ ทำให้ $\,\,p^k+1\geq q$

เราจะได้ว่า $\,\,p^k+1\,\,\geq \,\,q\,\,\geq \,\,p^k\,\,$

$\therefore\,\,q\,\,=\,\,p^k,\,\,p^k+1$

แต่$\,\,q\not= p^k\,\,\,\,\therefore\,\,\,q\,\,=\,\,p^k+1$..............(***)

เราทราบว่า $\,\,\,(p,\,\,q(p-1))\,\,=1$

จาก(**) เราได้ว่า $\,\,p|q+1\,\,\therefore\,\,pt\,\,=\,\,q+1\,\,$สำหรับบาง $\,\,t\in\,N$

$\therefore\,\,pt-1\,\,=\,\,q\,\,$ แทนค่าใน(***)

$\,\,pt-1\,=\,p^k+1$

$\Rightarrow pt\,=\,p^k+2\,\,\Rightarrow p|2$

จาก (***) ทำให้ได้ว่า $\,\,q\,=\,2^k+1$

นำไปแทนค่าใน (**) ได้ $\,\,(2^k+1)(2^k+2)\,=\,2(2^k-1)(2^k+1)\,\,$ ซึ่งจะได้ $\,\,k=2\,\,$

ทำให้ได้ $\,\,p\,=\,2,\,q=5\,\,$ และ $\,\,n\,=\,4\,\,$ เป็นคำตอบหนึ่ง


$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ถ้า $\,\,p\,=\,q\,\,$ จะได้คำตอบของระบบสมการนี้คือ$\,\,(p,\,q,\,n\,)\,=\,(a,\,a,\,2)\,\,$สำหรับทุกจำนวนเฉพาะ a

$\therefore$ คำตอบของระบบสมการนี้คือ$\,\,(p,\,q,\,n\,)\,=\,(2,\,5,\,4)\,\,$

และ $\,\,(p,\,q,\,n\,)\,=\,(a,\,a,\,2)\,\,$สำหรับทุกจำนวนเฉพาะ a

[The Cro_no]

ขอบคุณ มากจริง ๆ คับรู้สึกได้เลยคับว่าเมื่ออ่านจบแล้ว level up เลย ไง ๆ ก็ขอบคุณคับ

[nongtum]

มาดูอีกทีหลังผ่านไปสองเดือน แนวคิดเจ๋งดีครับ แต่โดยส่วนตัวคิดว่าเราอาจสรุปว่า $p=2$ ได้เร็วขึ้นนิดนึง
เพราะจาก $p|q+1$ และ $q=p^k+1$ จะได้ $p|p^k+2 \Rightarrow p|2$ ครับ

[kartoon]

ขอบคุณ สำหรับคำแนะนำครับ

[putmusic]

ขอบคุณมากครับ ข้อนี้ผมคิดไม่ออกเลยจริงๆครับ