ขอบคุณมากนะครับคุณหยินหยาง ผมได้ p+q = 29 เท่าคุณหยินหยางแล้ว
แต่ผมมีคำถามเพิ่มครับ จากในรูปตอนก่อนเริ่มทำ เราสรุปได้มั้ยครับว่า มุม AZB เป็นมุมฉาก
และ a=b=1 ครับ

พี่Yo WMUช่วยแสดงวิธีหาa=21/23,b=20/23, แล้วจึงได้r=6/23 สักนิดวันนี้สมองทึบ.:please::please:

ไม่ได้ครับ เพราะข้อมูลไม่เพียงพอที่จะสรุปอย่างนั้น

ถึงคุณ Jabza จากสมการ (1),(2),(3) ที่คุณหยินหยาง ตั้งขึ้นมา
(2)-(1); (4-b)^2 - b^2 = (3+r)^2 - (1+r)^2 จะได้ r + 2b = 2 ---(4)
(3)-(1); (3-a)^2 - a^2 = (2+r)^2 - (1+r)^2 จะได้ r + 3a = 3 ---(5)
แทน (4) และ (5) ลงใน (1) คือ a^2 + b^2 = (1+r)^2;

(\frac{3-r}{r})^2 + (\frac{2-r}{2})^2 = (1+r)^2

จะได้ 23r^2 + 132r - 36 = 0
(23r -6)(r+6) = 0
r = \frac{6}{23}
จะได้ p+q = 6+23 = 29 ครับ

พอดีผมไม่ได้หา a กับ b น่ะครับ แต่ถ้าแทนไปใน (4) และ (5) น่าจะได้ครับ

ตอนแรกผมเห็นโจทย์ข้อนี้ ผมคิดคล้ายๆรูปที่คุณหยินหยาง เขียนมา แต่สรุปว่า a=b=1 เลยผิดอ่ะครับ
พอดีผมเพิ่งเข้ามาในเวปไซด์ ยังพิมพ์ LaTex ไม่ค่อยคล่อง หวังว่าพอจะอ่านรู้เรื่องนะครับ

ขอบคุณพี่YoWMU. พอดีผมคิดได้แล้วหลังจากไปอาบนำมาค่อยสดชื่น พี่ไปสอบเพชรยอดมงกุฎปีนี้หรือเปล่า ผมอยู่ม.2ไปแน่ขอลองข้อสอบ.

ไม่ได้ไปหรอกครับ ยังไงคุณ Jabza สู้ๆนะครับ

ผมเข้าใจวิธีคิดแบบใช้พิธากอรัสที่พี่หยิงหยางแล้ว. แต่อันนี้เป็นวิธีที่พี่nongtumแนะนำ จะดูว่าวิธีไหนworkกว่ากัน

ตอนทำครั้งแรกก็ใช้วิธีแบบคุณ nongtum แต่เห็นว่าแก้สมการไม่ง่ายเลยดูอีกทีก็พบว่าใช้ ทบ.พีธากอรัส แก้ได้ครับ ก็ลองดูครับ ผมก็ยังไม่ได้คิดต่อว่าจะแก้สมการแบบของคุณ nongtum แบบเร็วๆอย่างไร ที่คิดตอนนี้ก็คงย้ายข้างแล้วยกกำลังสองมั้งครับ:haha::haha:

ข้อ 27 ขั้นเทพ (อ้างอิงจาก คุณ BTMNSK แห่ง vCafe Board)
 

พิสูจน์ข้อ 27 ขั้นเทพครับ พอดีไปเจอมา ลองมาดูกันครับ

Let $A_1,A_2,...,A_9$ be the vertices of the nonagon (in counterclockwise order). Thus, $a=[A_i,A_{i+1}], b = [A_i,A_{i+2}]$, and $d = [A_i,A_{i+4}]$ (indices are considered modulo 9). Let P be a point on $A_1A_5$ such that $[A1,P] = a$. Therefore, $A1, A2,$ and $P$ form an equilateral triangle (because the size of the angle $A_5 A_1 A_2$ is 60 degrees). Thus, $[A_2,P] = a$. This means $A_2 A_3 P$ is an isosceles triangle with $[A_2,P] = a = [A_2,A_3]$. Consequently, the size of the angle $A_2 P A_3$ is 50 degrees, leaving the angle $A_5 P A_3$ to be 180-50-60 = 70 degrees. Since the angle $A_1 A_5 A_3$ is of 40 degrees, then the triangle $A_5 A_3 P$ is an isosceles. Therefore, $d = [A_1,A_5] = [A_1,P]+[P,A_5] = a+b$.

ปล. อาจต้องนั่งวาดตามนิดนึงนะครับ แล้วจะเห็นว่ามันเป็นจริง

ช่วย hint ข้อ 13,20 หน่อยครับ ผมคิดได้ไม่ตรงกับเฉลยอ่าครับ

ข้อ 13
ขั้นตอนที่1 เลือกสีแดง 2 ลูก จาก 8 ลูก ได้เท่ากับ....
ขั้นตอนที่ 2 เลือกสีขาว 1 ลูกจาก....... ได้เท่ากับ....
ขั้นตอนที่ 3 ตรงส่วนคิดจากที่ว่าเลือก 3 ลูก จากทั้งหมดกี่ลูกครับ
ข้อ 20
$ x= 1*3^{19}+2*3^{18}+1*3^{17}+1*3^{16}+...+2$
$x = 1*3*(3^2)^9+2*(3^2)^9+1*3*(3^2)^8 +1*(3^2)^8+...+2$
hint แค่นี้คงมองออกแล้วนะครับ

ขอบคุณมากครับผมเข้าใจข้อ 20 แต่ ข้อ 13 ยังงงอยู่ครับ
ถ้าใช้วิธีของพี่หยินหยาง ขั้นตอนที่ 1 จะได้ 28 วิธี
ข้นตอนที่ 2 จะได้ 3 วิธี
แต่ขั้นตอนที่ 3 ผมไม่แน่ใจอ่าคับ ผมได้เป็น 20*19
แต่พอคิดแล้วมันก็ไม่ตรงกับคำตอบเลย แต่ถ้าคิดวิธีผม มันได้ ข้อ 3 ซึ่งไม่ตรงกับเฉลยอึก ครับ ช่วยไบ้อีกนิดนะครับขอบคุณคับ

ขั้นตอนที่ 3 เป็นการเลือก 3 ลูก จากทั้งหมด 20 ลูก คือ $\binom{20}{3}=\frac{20!}{3!17!}=20*19*3 $

เข้าใจแล้วครับขอบคุณ คุณหยินหยางมากครับ

โอ้ เวียนหัว ตาลาย คล้ายจะเป็นลม
โจทย์อยากมากคับ