|
ข้อสอบ เพชรยอดมงกุฎ ม.ต้น 2550
ผมขอแนวคิด โจทย์ข้อสอบเพชรยอดมงกุฎ ม.ต้น ปี 2550 ด้วยนะครับ
ขอบคุณมากนะครับ :)  |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
   |
สงสัยคุณ Eddie จะมีปัญหาบางอย่าง ทำให้หน้าที่เหลือโพสต์ไม่ได้
ถ้าใครมีข้อสอบเพชรยอดมงกุฎของม.ปลาย ช่วยนำมาโพสต์ด้วยนะครับ โจทย์สวยๆหลายข้อเลย แต่คล้ายข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์ที่นำมาดัดแปลงตัวเลขบางอย่าง เอาแนวคิดไป 3 ข้อก่อนละกัน ช่วงนี้ไม่ค่อยว่างคิดเลยครับ ข้อ 33. ให้นำทั้งสามจำนวนนั้นยกกำลัง30 แล้วพิจารณาค่าที่ได้ ก็จะเปรียบเทียบกันได้ครับ ข้อ 32. เจอบ่อยมาก ค่าของ 22/7 จะเป็นทศนิยมซ้ำชุดละ 6 ตัว คือ 3.142857142857142857... ข้อ 29. 51+61+71+...+491 ใช้สูตรอนุกรมเลขคณิตได้เลยครับ (มี 45 พจน์) |
ด้านล่างนี้เป็นเฉลยเฉพาะคำตอบนะครับ เขาไม่มีเฉลยแบบละเอียดให้น่ะครับ
ผมจึงต้องนำมาโพสถามพี่ๆ เพื่อนๆ ในบอร์ดแห่งนี้ เพราะต้องการแนวคิดในการแก้ปัญหา และต้องการตรวจสอบว่าตัวเองทำถูกหรือเปล่าด้วยครับ โดยเฉพาะพี่ nongtum ที่ช่วยกรุณาให้แนวความคิด คำแนะนำ และช่วยเหลือผมเสมอมา ทุกกระทู้ที่ผมตั้งไว้ ผมต้องขอขอบคุณเป็นอย่างสูงครับ :)  |
ขอบคุณคุณ Eddie ที่เอาข้อสอบมาโพสต์อีกครั้งครับ อัพเดทกระทู้รวมลิงค์แล้วนะครับ
ผมเซฟไฟล์รูปไปแล้ว ถ้าไม่มีอะไรพลาด ผมจะมาโพสต์คำตอบตอนที่ได้ใช้เนตอีกทีพรุ่งนี้ครับ แต่ใครจะโพสต์แนวคิดก่อนก็เชิญได้เลยนะครับ |
จะช่วยทยอยคิดให้เรื่อยๆนะครับ ผิดตรงไหนแย้งได้นะครับ
จาก $A =\frac{1}{\sqrt{1} +\sqrt{2} } +\frac{1}{\sqrt{2} +\sqrt{3} } +...+\frac{1}{\sqrt{8} +\sqrt{9} } $ คอนจูเกจ $A$ จะได้ $A=\frac{\sqrt{1} -\sqrt{2} }{1-2} +\frac{\sqrt{2} -\sqrt{3} }{2-3} +...+\frac{\sqrt{8} -\sqrt{9} }{8-9} $ $= -(\sqrt{1} -\sqrt{2} )-(\sqrt{2} -\sqrt{3} ) -...-(\sqrt{8} -\sqrt{9} )$ $= -1+\sqrt{2} -\sqrt{2} +\sqrt{3} -\sqrt{3} +....-\sqrt{8} +\sqrt{9}$ $= -1+3$ $= 2$ จาก $B=\frac{1}{\sqrt{1} -\sqrt{2} } -\frac{1}{\sqrt{2} -\sqrt{3} } +...-\frac{1}{\sqrt{8} -\sqrt{9} } $ คอนจูเกจ $B$ จะได้ $B=\frac{\sqrt{1} +\sqrt{2} }{1-2} -\frac{\sqrt{2} +\sqrt{3} }{2-3} +...-\frac{\sqrt{8} +\sqrt{9} }{8-9} $ $=-(\sqrt{1} +\sqrt{2} )-(-(\sqrt{2} +\sqrt{3} ))+...-(-(\sqrt{8} +\sqrt{9} ))$ $=-1-\sqrt{2} +\sqrt{2} +\sqrt{3} -\sqrt{3} +\sqrt{4} -...+\sqrt{8} +\sqrt{9} $ $=-1+3$ $=2$ จะได้ $A=B=2$ พิจารณา $(5+2\sqrt{13} )^1+(5-2\sqrt{13})^1$ $=((5+2\sqrt{13} )^{\frac{1}{3} })^3+((5-2\sqrt{13} )^{\frac{1}{3} })^3$ $=( (5+2\sqrt{13} )^{\frac{1}{3} }+(5-2\sqrt{13})^{\frac{1}{3} })((5+2\sqrt{13} )^\frac{2}{3} -(5+2\sqrt{13} )^{\frac{1}{3} }+(5-2\sqrt{13})^{\frac{1}{3} }+(5-2\sqrt{13})^{\frac{2}{3} })$ $=(\sqrt[3]{5+2\sqrt{13} } +\sqrt[3]{5-2\sqrt{13} } )(\sqrt[3]{(5+2\sqrt{13} )^2} -\sqrt[3]{(5+2\sqrt{13} )(5-2\sqrt{13} )} +\sqrt[3]{(5-2\sqrt{13} )^2})$ $=(\sqrt[3]{5+2\sqrt{13} } +\sqrt[3]{5-2\sqrt{13} } )(\sqrt[3]{(5+2\sqrt{13} )^2} -\sqrt[3]{-27} +\sqrt[3]{(5-2\sqrt{13} )^2})$ $=(\sqrt[3]{5+2\sqrt{13} } +\sqrt[3]{5-2\sqrt{13} } )(\sqrt[3]{(5+2\sqrt{13} )^2} -(-3) +\sqrt[3]{(5-2\sqrt{13} )^2})$ $=(\sqrt[3]{5+2\sqrt{13} } +\sqrt[3]{5-2\sqrt{13} } )(\sqrt[3]{(5+2\sqrt{13} )^2} +3 +\sqrt[3]{(5-2\sqrt{13} )^2})$ ให้ $x=\sqrt[3]{5+2\sqrt{13} } ,y=\sqrt[3]{5-2\sqrt{13} } $ จะได้ $(5+2\sqrt{13} )^1+(5-2\sqrt{13})^1=(x+y)(x^2+3+y^2)$ $10=(x+y)((x+y)^2-2xy+3)$ $10=(x+y)((x+y)^2-2(\sqrt[3]{(5+2\sqrt{13})(5-2\sqrt{13}) } )+3)$ $10=(x+y)((x+y)^2-2(\sqrt[3]{-27} )+3)$ $10=(x+y)((x+y)^2-2(-3) +3)$ $10=(x+y)((x+y)^2+6 +3)$ ให้ $ x+y=A=\sqrt[3]{5+2\sqrt{13} } +\sqrt[3]{5-2\sqrt{13} } $ (สิ่งที่โจทย์ถาม) จะได้ $10=A(A^2+9)$ $10=A^3+9A$ $A^3+9A-10=0$ $(A-1)(A^2+2A+10)=0$ $A=1,รูทติดลบอีกคำตอบหนึ่ง$ $\therefore A=\sqrt[3]{5+2\sqrt{13} } +\sqrt[3]{5-2\sqrt{13} } =1 $:died: $x^3-4x^2+2x+3=0 $ จากความสัมพันธ์ของรากและสปส.(viete's theorem) โดย $a,b,c$ เป็นรากทั้งสามของสมการ จะได้ $a+b+c=4 --(1)$ $ab+bc+ca=2 --(2)$ $abc=-3 --(3)$ จากโจทย์ต้องการ $(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)$ $=(1-a^2-b^2+a^2b^2)(1-c^2)$ $=1-c^2-a^2+a^2c^2-b^2+b^2c^2+a^2b^2-a^2b^2c^2$ $=1-(a^2+b^2+c^2)+(a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2)+(abc)^2 --(4)$ เราจะหา $a^2+b^2+c^2$ ได้จากความสัมพันธ์ $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ ;แทน(1),(2) $4^2=a^2+b^2+c^2+2(2)$ $\therefore a^2+b^2+c^2=16-4=12 --(5)$ เราจะหา $a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2$ ได้จากความสัมพันธ์ $(ab+bc+ca)^2=a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2+2abc(a+b+c)$ ;แทน(1),(2)และ(3) $2^2=a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2+2(-3)(4)$ $\therefore a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2=4+24=28 --(6)$ แทน(5),(6)และ(3) ในสมการ(4) $=1-(a^2+b^2+c^2)+(a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2)+(abc)^2$ $=1-(12)+(28)+(-3)^2$ $=1-12+28+9$ $=26$ |
ข้อ 9 อาจลดภาระการคิดเลขได้อีกนิดถ้าทำแบบนี้ครับ
เทอมที่อยู่ในรูป $x:=\sqrt[3]{u+\sqrt{v}}+\sqrt[3]{u-\sqrt{v}}$ สามารถเขียนใหม่ได้เป็น $$x=\frac{2u}{x^2-3(u^2-v)^{1/3}}$$แล้วจึงจัดรูปเพื่อแทนค่าแก้สมการกำลังสามตามแบบคุณ t.B. ด้านบน ผมลองคิดรอบนึงแล้ว ข้อที่ตอนนี้ผมยังมีปัญหา/คิดได้ไม่ตรงกับเฉลยมีดังนี้: 3,12,23,26-29,35,37-39 ส่วนที่เหลือเดี๋ยวผมจะค่อยๆพิมพ์ละกันครับ ข้อ 38 ผมคิดแบบนี้ครับ: เราทราบว่า $\sum a=4,\ \sum ab=2,\ abc=3$ ดังนั้น $\begin{eqnarray} \prod (1-a^2)(1-b^2)&=&\prod (1-a)\prod (1+a)\\ &=&(1-\sum a+\sum ab-abc)(1+\sum a+\sum ab+abc)\\ &=&(1-4+2+3)(1+4+2-3)\ =\ 8\\ \end{eqnarray}$ |
ข้อ 5 ไม่น่าจะมีคำตอบนะครับ
|
อ้างอิง:
ส่วนข้อสาม ผมคิดได้ว่า $A=2=-B$ ข้อนี้เลยน่าจะตอบตัวเลือก 1 มากกว่า ส่วนแนวคิดตามขอและข้ออื่นๆผมค่้อยมาพิมพ์ต่อทีหลังละกัน หิวข้าวแล้ว |
อ้างอิง:
ผมเลยชักไม่แน่ใจว่าผมทำผิดหรือเปล่า ผมลองอธิบายคร่าวๆ ดังนี้ ข้อ 3. ใช้คอนจูเกตุบวกกับ telescoping จะได้ A = 2 ในทำนองเดียวกันก็ใช้ ใช้คอนจูเกตุบวกกับ telescoping ในการหา B ได้ = 2 แต่ต้องระวังเครื่องหมาย +, - ที่สลับกันอยู่ ก็จะได้ A-B = 0 ข้อ12. ใช้ดูจากกราฟเรื่อง exponential โดยเป็นฟังก์ชั่นลด ก็จะเปรียบเทียบค่า a,b,c ได้คือ $a\prec c \prec b$ ข้อ 23.ลูกบอลที่ไม่มี 2และ 3 เป็นตัวประกอบคือ 1,5,7,11,13,17,19,23,25ซึ่งมีจำนวนทั้งหมดเท่ากับ 121 ลูกส่วนลูกบอลทั้งหมด มีเท่ากับ 1+2+3+...+25 = 325 ลูก ดังนั้นคำตอบคือ $\frac{121}{325} $ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+x}}} $ $=1+\frac{1}{1+\frac{1+x}{x+2}}$ $=1+\frac{x+2}{2x+3}$ ดังนั้น $ x จึงต้องเท่ากับ -2$ จะเห็นว่าส่วนไม่ใช่ 0 แต่เศษต่างหากที่เป็น 0 |
ข้อ 3 ผมทำ telescope ในส่วนของ B ดังนี้ครับ:
$B=(\sqrt2+\sqrt1)-(\sqrt3+\sqrt2)+\cdots-(\sqrt9+\sqrt8)=(\sqrt1-\sqrt9)=-2$ คราวนี้ก็เลยงงสิครับว่าไปส่องกล้องผิดตรงไหน $\infty$ อนันต์ (infinity) เป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่แสดงถึงค่าที่มากกว่าจำนวนใดๆ (ข้อความจากวิกิไทย) ส่วนที่พิมพ์ $\prod$ เป็นการพิมพ์ผลคูณอย่างย่อ เมื่อเป็นที่เข้าใจกันว่ากำลังคำนวณด้วยตัวแปรใด เช่น หากใช้สามตัวแปร $x,y,z$ จะได้ว่า $\prod x=xyz$ หรือ $\prod (x-y)=(x-y)(y-z)(z-x)$ เป็นต้นครับ |
อ้างอิง:
แล้วถ้าผมแทน $x=-2$ ตั้งแต่แรกทำไมไม่ได้คำตอบละครับ อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
$B=-(\sqrt2+\sqrt1)+(\sqrt3+\sqrt2)-\cdots+(\sqrt9+\sqrt8)=(-\sqrt1+\sqrt9)=2$ เพราะว่า$\frac{1}{\sqrt{1}- \sqrt{2}} *\frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=-(\sqrt2+\sqrt1)$ |
อ้างอิง:
แปลงให้อยู่ในรูปที่โจทย์ถามเพื่อให้มองผิวเผินเหมือนโจทย์มีปัญหา และถ้าจะนิยามก็ต้องนิยามจากโจทย์ที่ตั้งไว้แต่แรกคือ x ไม่เท่ากับ -1 ต้องขออภัยด้วยครับถ้าตอบไม่ตรงกับคำถาม |
ข้อ 5. นี่โจทย์ผิดพลาดแน่นอนครับ เพราะว่าเศษซ้อนหลังเลข 1 ไม่มีทางเป็น 0 ได้แน่นอน
|
ขอข้อ7ครับ
|
อ้างอิง:
1.$100=10^2$ 2.แจกหารดูเศษ ปล.ตัว$\prod $มีชื่อเรียกว่าอะไรหรอครับ |
ข้อ 23 ตอบ 3 ผมได้$\frac{121}{325}$ เหมือนเฉลย แต่ต้องระวังคำว่า "และ" ที่ใช้เชื่อมประโยค
ว่าไม่ใช่ทั้ง 2 และ 3 เป็นตัวประกอบพร้อมกัน ข้อ 29 เฉลยผิด ตอบ 4 (ตามที่คุณ bell 18 คิดค้างไว้ 271x45 = 12,195) ข้ออื่นๆถ้ามีเวลาจะช่วยคิดต่อครับ |
สำหรับ ข้อ 5 ผมว่าคุณ kanakon และคุณ หยินหยาง ไม่น่าจะเสียเวลา
เพราะข้อนี้คุ้นมากว่าลอกมา โดยโจทย์เดิมเป็นประเภทลิมิต เช่น $\frac{lim}{x\rightarrow 2} (1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+x}}}) = ? ซึ่งค่า x+2 \not= 0$ หรือ $\frac{lim}{x\rightarrow n} (1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+x}}}) = 1 แล้ว n = ?$ อะไรทำนองนี้ละ จำไม่ได้แล้ว |
1 ไฟล์และเอกสาร
ข้อ 27 นี้สวยมาก เลยลองหัดวาดรูปแล้วแนบมาให้ (ดูเบี้ยวไปหน่อย แต่คงพอดูรู้เรื่อง)
Attachment 388 เนื่องจากเป็นรูป 9 เหลี่ยม ด้านเท่ามุมเท่า ที่มีความยาวด้านเป็น a ดังนั้น มุมAOB = 360/9 = 40 องศา และ มุมABO = มุมBAO = (180-40)/2 = 70 องศา โจทย์กำหนดให้ BC = b และ AD = d ดังนั้น มุมAOD = 4(40) = 160 องศา และ มุมDAO = (180-160)/2 = 10 องศา ดังนั้น มุมBAD = 70-10 = 60 องศา และ มุมBAF = (90-60) = 30 องศา $sin 30 = \frac{BF}{BA} = \frac {(d-b)/2}{a} = \frac{1}{2}$ - -> (d-b) = a หรือ d = b+a ตอบข้อ 1. (ตรงกับเฉลย) |
ข้อ 40.
ให้ $A = a-b , B = c-d, C = b-c, D = d-a$ ดังนั้น จะได้ $A+B+C+D =0$ ดังนั้น $\frac{(a-c)(b-d)}{(a-b)(c-d)} = \frac{(A+C)(B+C)}{AB}$ $\frac{AB+BC+AC+C^2}{AB} = 1+\frac{C(A+B+C)}{AB}$ $1-\frac{CD}{AB}$ = 101 เพราะว่าจากโจทย์ $\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(d-a)} = \frac{AB}{CD} = -\frac{1}{100}$ |
ข้อสอบ เพชรยอดมงกุฎ ม.ต้น 2550
ช่วยแสดงวิธีคิดข้อ 39
โจทย์ ในการเขียนจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 5555 จะต้องใช้ 0 ทั้งหมดกี่ตัว |
:blood: ข้อ 38 ผมได้ 8 เหมือนคุณ Nongtum และไม่มีchoice ให้เลือกครับ โดยที่
$$ x = 3, \frac{1 + \sqrt{5}} {2} และ \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$$ |
อ้างอิง:
(1) 1-99 (1,2 หลัก) มีศูนย์อยู่ = 9 ตัว <-- $ x0 = \binom{9}{1}x1$ (2) 100-999 (3 หลัก) มีศูนย์อยู่ = 180 ตัว <-- $ xy0 หรือ x0y = \binom{9}{1}x\binom{9}{1} x \binom{2}{1} x 1ตัว$ และ$ x00 = \binom{9}{1} x 2 ตัว $ (3) 1000-4999 (4 หลัก) มีศูนย์อยู่ = 1200 ตัว <-- $มีศูนย์1ตัว = \binom{4}{1}x\binom{9}{1}x\binom{9}{1}\binom{3}{1}x1ตัว = 972 ตัว $ และ $มีศูนย์2ตัว= \binom{4}{1}x\binom{9}{1}x\binom{3}{2} x 2ตัว = 216 $ และ $มีศูนย์3ตัว= \binom{4}{1}x\binom{3}{3} x 3ตัว = 12 $ (4) 5000-5499 (4 หลัก) มีศูนย์อยู่ = 200 ตัว <-- $หลักร้อย=100 ตัว,หลักสิบ= 50ตัว,หลักหน่วย = 50ตัว$ (5) 5500-5555 (4 หลัก) มีศูนย์อยู่ = 16 ตัว <-- $หลักสิบ= 10 ตัว, หลักหน่วย = 6 ตัว$ รวมมีเลข 0 เท่ากับ 9+180+1200+200+16 = 1605 ตัว ตอบ 3. ตรงครับ |
\binom{9}{1} มันเเปลว่าอะไรหรอครับ
|
ข้อสอบ เพชรยอดมงกุฎ ม.ต้น 2550
ขอบคุณคุณ PURIWATT เป็นอย่างสูงที่ช่วยกรุณาให้แนวคิดข้อ39ฃึ่งจะเป็นประโยชน์กับคนอื่นๆ
|
อ้างอิง:
$\binom{2}{1}$ เลือกหลักที่ต้องการใส่ 0 มา 1 หลัก จาก ที่ใส่ได้ 2 หลัก = 2 แล้วอีกหลักให้เลือกเลขโดดมาวาง ตอนลูกสาวอยู่ ป.6 ผมให้ใช้การจัดกลุ่มแล้วนับจริงๆเลย จากนั้นก็นำค่าที่นับได้ของแต่ละกลุ่มมารวมกัน ข้อสังเกตุ- เลข 0 ที่อยู่ด้านหน้า จะไม่มีการเขียน เช่น 20 ไม่ใช่ 0020 ต้องระวังด้วย ผมลองทำหลายวิธีแล้ว คิดว่าถ้าจับหลัก เลขโดด-ที่หลักด้านซ้ายสุดได้แล้ว จะใช้วิธีนี้ได้ไม่ยาก หวังว่าคงพอที่จะเข้าใจได้ไม่ยาก และน่าที่จะลองศึกษาเพิ่มเติมเองได้ นะครับ:) |
เช่น เลขสามหลัก 100 ถึง 999 โดยที่ x และ y เป็นเลขโดด 1 ถึง 9
มีกรณี xy0 อยู่ 9x9 = 81 กรณี, มีกรณี x0y อยู่ 9x9 = 81 กรณี เหมือนกัน และ ยังมีกรณี x00 อีก 9 กรณี (แต่ละกรณี ใช้เลข 0 ถึง 2 ตัว) ดังนั้น จะใช้เลข 0 ทั้งหมด 81+81+9x2 = 180 ตัว หรือวิธีที่ 2 100-199 ช่วง 100-109 มี 0 อยู่ 11 ตัว และยังมี 110,120,...190 อีก 9 ตัว รวมทั้หมด 20ตัว 200-299 ต่างกับชุดบนแค่เลข 2 ดังนั้นมีเลข 0 เท่ากัน คือ 20 ตัว 300-399 ก็มี 20 ตัว .......... 900-999 ก็มี 20ตัว เหมือนกัน ดังนั้น 100-999 มีเลข 0 ทั้งหมด 20x9 = 180 ตัว เหมือนวิธีที่ 1 ด้านบน หมายเหตุ - เลข 4 หลัก เช่น 1000-1999 ให้แยกเป็น 1000-1099 = 100+11+9 = 120 ตัว และ1100-1999 = 180 ตัว (ปิดเลข 1 ด้านซ้าย แล้วจะเห็นเป็นเลข 100-999 เหมือนด้านบน = 180 ตัว) รวมเป็น 300 ตัว หวังว่าคงทำความเข้าใจได้ง่ายขึ้น แล้วคิดต่อด้วยนะครับ การฝึกฝนทำโจทย์ จะทำให้เกิดความชำนานทั้งการนำความรูที่มีออกมาใช้งาน และการสร้างรูปแบบแนวคิดใหม่ๆตุนเก็บ สำหรับเป็นทุนไว้ใช้ในคราวต่อไปด้วย ยิ่งฝึกบ่อยๆ จะยิ่งเร็วขึ้นและแม่นยำขึ้นด้วย ขอให้พยายามเข้านะครับ:rolleyes: |
อ้างอิง:
ผมอยากรู้ว่าข้อ35 มันเฉลยผิดหรือเปล่าคับ $เพราะว่า 1.> ผมหา จำนวนเฉพาะที่บวกกันแล้วมันไม่ได้ 29 ด้วย$ $2.> ผมคาดว่า น่าจะเป็น\frac{2}{11} หรือข้อ2 $ แต่ผมก็หาวิธีคิดไม่ได้เหมือนกันคับ ช่วยเฉลยหรือHinTที (เอาแบบเยอะๆ นะ เพราะไม่รู้จริงๆ :nooo:) |
|
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 10:52 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha