มีโจทย์เพชรยอดมงกุฏ 2551 ลองทำดูครับ
 

ช่วยกันเฉลยหน่อยครับ(โจทย์ไม่ครบนะครับ จำมาจากเพื่อน)
1. พิจารณาจำนวนเฉพาะทั้งหมด ระหว่าง 1-200 ซึ่งน้อยกว่าพหุคูณของ 5 อยู่ 1 และมากกว่าพหุคูณของ 6 อยู่ 1
ผลบวกของจำนวนเฉพาะเหล่านี้มีค่าเท่าไร (ตอบ 436)

2. ให้ $N = 1\cdot 1! + 2\cdot 2! + ... + 60\cdot 60!$ จงหาผลบวกตัวประกอบเฉพาะทุกตัวของ N+1
(ตอบ 440)

3. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี่
ก. ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มที่แตกต่างกันแล้ว $a^3b + ab^3 < a^4 + b^4$
ข. ถ้า a,b,c เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้ว $a^4 + b^4 + c^4 > a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2$
พิจารณาว่า ข้อความ ก. และ ข. ถูกต้องหรือไม่ (ตอบ ก. และ ข. ถูก)

4. ให้ $N = 3(5^{5^5}) + 7^{7^7}$ จงหาเศษที่เหลือจากการหาร N ด้วย 8(ตอบ 4)

5. ให้ $\frac{2^n + 1}{641} = 409^2 + 2556^2$ แล้วค่าของ n เท่ากับเท่าไร(ตอบ 32)

6. ผลบวกของเลขโดดทั้งหมดที่ใช้ในการเขียน จำนวนตั้งแต่ 1-500,000 คือข้อใด(ตอบ 10,000,005)

ถ้าผมได้โจทย์เพิ่ม เดี๋ยวเอามาโพสต์ให้นะครับ

จำนวนเฉพาะทั้งหมด ระหว่าง 1-200 ซึ่งน้อยกว่าพหุคูณของ 5 อยู่ 1 คือ

19 29 59 79 89 109 139 149 179 199

แต่มีจำนวนที่เป็นสีแดงเท่านั้นที่มากกว่าพหุคูณของ 6 อยู่ 1


19 + 79 + 109 + 139 + 199 = 545

ถ้าเราเขียนแบบตั้งแถวเรียงกันลงมา

000000
000001
000002
000003
.
.
.
.
499999

เราก็จะได้ 500 000 แถว


หลักหน่วย จะมีเลขโดดอยู่ จำนวน 500 000 ตัว
เป็นเลข 0 จำนวน 50 000 ตัว
เป็นเลข 1 จำนวน 50 000 ตัว
.
.
.
เป็นเลข 9 จำนวน 50 000 ตัว

เมื่อรวมเลขโดดในหลักหน่วย จะได้ 50 000 x 45 = 2 250 000


ในทำนองเดียวกัน
เมื่อรวมเลขโดดในหลักสิบ จะได้ 50 000 x 45 = 2 250 000
เมื่อรวมเลขโดดในหลักร้อย จะได้ 50 000 x 45 = 2 250 000
เมื่อรวมเลขโดดในหลักพัน จะได้ 50 000 x 45 = 2 250 000
เมื่อรวมเลขโดดในหลักหมื่น จะได้ 50 000 x 45 = 2 250 000
รวม 5 หลัก 11 250 000

ส่วนหลักแสน
มีเลขโดด 500 000 ตัว (5แสนแถว)
เป็นเลข 0 ได้ 100 000 ตัว
เป็นเลข 1 ได้ 100 000 ตัว
เป็นเลข 2 ได้ 100 000 ตัว
เป็นเลข 3 ได้ 100 000 ตัว
เป็นเลข 4 ได้ 100 000 ตัว

ผลรวมเลขโดดหลักแสน = 100 000 x (0+1+2+3+4) = 1 000 000


ดังนั้นผลรวมเลขโดดตั้งแต่ 000001 ถถง 499 999 = 11 250 000 +1 000 000 = 12 250 000

เมื่อรวมกับ เลข 5 จาก 500 000 ก็จะได้ 12 250 005


ทำไมไม่ตรงกับ choice

ผมคิดได้เหมือนคุณ banker ครับ แต่ถ้าจะให้ได้เท่าเฉลย ต้องเอา 109 ออก
แต่ผมก็คิดว่ามันก็เป็นจำนวนเฉพาะเหมือนกัน

มีโจทย์มาให้ลองทำครับ ยากดี
$60^a = 3$ $60^b = 5$ จงหา
$12^\frac{1-a-b}{2(1-b)}$

$60^a = 3\cdots (1)$
$60^b = 5\cdots (2)$
$(1)\times(2);
60^{a+b} = 15$
$60^{-a-b} = \frac{1}{15}$
$60^{1-a-b} = 4\cdots (3)$
จาก (2);
$60^{1-b} = 12$
$60 = 12^\frac{1}{1-b}\cdots (4)$
(4) แทนใน (3);
$12^\frac{1-a-b}{1-b} = 4$
$12^\frac{1-a-b}{2(1-b)} = 2$ #

#5 ตกลงโจทย์ให้หาอะไรครับเนี่ย งง

ช่วยเฉลยข้อ 4ทีครับผมคิดได้ไม่ตรงกับคำตอบอ่ะ

ผมได้ 6 ครับ

เศษที่เหลือจากการหาร N ด้วย 8 ก็คือ เศษของการหาร $3(5)+7$ ด้วย 8

เท่ากับ 6 เหมือนกันครับ :D

5. ให้ $\frac{2^n + 1}{641} = 409^2 + 2556^2$ แล้วค่าของ n เท่ากับเท่าไร(ตอบ 32)

ต้องการหาค่า n ที่สอดคล้องกับสมการด้านบนครับ และเท่ากับ 32 จริงๆ(กดเครื่องคิดเลขแล้ว) :haha:

และ #5 คล้ายๆกับโจทย์ที่เคยมีการทำกันแล้ว คงนำมาให้ดูทั้งโจทย์และเฉลยครับ
ผมว่าโจทย์น่าจะเป็น $60^a = 3 $, $60^b = 5$ จงหาค่าของ $60^{\frac{(1-a-b)\ }{2(1-b) \ }} $

ขอโทษครับ พิมพ์ผิด แก้ให้แล้วครับ
ผมไม่รู้ว่าเฉลยผิดรึเปล่านะครับ แต่ในหนังสือเพชรยอดมงกุฏ
เค้าเฉลยมาอย่างนี้ครับ

ข้อสอบแข่งขันเพชรยอดมงกุฎฯ ปกครับ

ข้อสอบแข่งขันเพชรยอดมงกุฎฯ หน้า 1

ข้อสอบแข่งขันเพชรยอดมงกุฎฯ หน้า 2

ข้อสอบแข่งขันเพชรยอดมงกุฎฯ หน้า 3

ข้อสอบแข่งขันเพชรยอดมงกุฎฯ หน้า 4