|
ข้อสอบค่ายตุลาปี 2552
     โดยรวมแล้วผมว่าขอสอบปีนี้ง่ายกว่าปีก่อนๆ แต่ผมก็ยังทำไม่ได้อยู่ดี :sweat: |
ขอบคุณครับ
อยากพิมพ์มากเลยแต่เครื่องปริ๊นที่บ้านเสียกรรรม t_t |
ขอบคุณมากๆครับ
|
ผมเห็นด้วยกับคุณ LightLucifer นะครับ ดูมันง่ายกว่าปีก่อน เเต่ผมก็ทำไม่ได้เหมือนกันเลยครับ
พวกรุ่นน้องเค้าทำได้กันเยอะเลย ผมเลยท้อนิดหน่อยอะครับ |
ของศูนย์ไหนครับ
|
ศูนย์สวนกุหลาบ ครับ
|
ช่วยเฉลยพีชคณิตข้อ 5 หน่อยครับ
คิด 1 ชม. เต็มๆ -_- |
AL problem 5
Hint: $x=da, y=db$ where $(a,b)=1$ => clearly lead to the solution |
ALG ข้อ 5 (Another solution)
มองสมการที่ให้มาเป็น สมการกำลังสองในเทอมของ $y$ หลังจากแก้สมการ จะได้ $ y= x^2-4x\pm (x-1)\sqrt{x^2-6x}$ แต่ y เป็นจำนวนนับ ดังนั้น $ x^2-6x $ ต้องเป็น square จากนั้นใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า ถ้า $ x > 8 $ แล้ว $ (x-4)^2 < x^2-6x < (x-3)^2$ ทำให้เหลือค่า $x$ ที่ต้องพิจารณาแค่ 6,7,8 ครับ หลังจากนี้ก็แทนค่าเช็คได้สบายๆแล้ว ---------------------------------------------------------------------------------- p.s. ขอให้น้องๆ ผ่านค่าย 1 กันทั่วหน้านะครับ ส่วน ใครที่จะสอบ ของค่ายใหญ่สัปดาห์หน้า ก็ขอให้ผ่านฉลุย เช่นกันครับ :great: |
ขอ NUMBER ข้อ 2 ด้วยครับ ทำได้ครึ่งเดียว -_-
|
อ้างอิง:
แล้วพิสูจน์ว่า $ n(n+1)= 2k^2$ มีคำตอบเป็นอนันต์ในระบบจำนวนเต็ม ซึ่งก็แน่นอนอยู่แล้ว เพราะสมการสมมูลกับ $ (2n+1)^2 -8k^2 =1 $ (Pell's equation) |
ข้อสองของ เรขาคณิตตอบ $14.4$ ตารางนิ้วหรือป่าวครับ
|
#11
เค้ายังไม่สอนอ่ะครับ ยังอ้างไม่ได้อ่ะ T_T #12 ใช่ครับๆ |
อ้างอิง:
จัดรูปเป็น $[(n-1)!]^2\Big[\dfrac{n(n+1)}{2}\Big]$ ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า มีจำนวนสามเหลี่ยมที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์เป็นจำนวนอนันต์ ให้ $T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ จะได้ $T_{4n(n+1)}=(4n+2)^2T_n$ ดังนั้น ถ้า $T_n$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ แล้ว $T_{4n(n+1)}$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ด้วย จึงได้ว่า $T_1,T_8,T_{288},...$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ป.ล. ในหนังสือพิมพ์ผิดเป็น $T_1,T_8,T_{24},...$ |
กรรม -_-
ลืมนึกถึงหนังสือไปเลย แงๆๆๆๆ ปล ขอบคุณมากครับ |
1 ไฟล์และเอกสาร
Attachment 2003
การแข่งขันแบบพบกันหมด มีการแข่งขันทั้งสิ้น 5+4+3+2+1 = 15 ครั้ง แต่ละครั้งที่แข่ง มี แพ้ 1 ครั้ง ชนะ 1 ครั้ง รวมทั้งหมดมี แพ้ 15 ครั้ง และชนะ 15 ครั้ง ดังนั้นผลรวมคะแนนทุกคนเท่ากับ 15 + 0 = 15 คะแนน เอาง่ายๆแบบนี้แหละ :D |
1 ไฟล์และเอกสาร
Attachment 2004
แนวคิด จาก $\sqrt{\frac{x}{x+1}+20} - \sqrt{\frac{x}{x+1}+4} = 2$ ให้ $A = \dfrac{x}{x+1}$ ....(1) จะได้ $\sqrt{A+20} - \sqrt{A+4} = 2$ $\sqrt{A+20} = \sqrt{A+4} + 2$ $A+20 = (\sqrt{A+4} + 2)^2 = 4 + A + 4 + 4 \sqrt{A+4} $ $ 4 \sqrt{A+4} = 12 $ $ \sqrt{A+4} = 3 $ $A + 4 = 9$ $A = 5 $ แทนค่า A จาก (1) จะได้ $ \dfrac{x}{x+1} =5 $ $x = 5x+5$ $x = -\frac{5}{4}$ ตอบ รากของสมการคือ $ -\frac{5}{4}$ |
2 ไฟล์และเอกสาร
ยังไม่มีใครทำต่อ
งั้นก็เรขาคณิตข้อแรกก่อนครับ Attachment 2016 ลากเส้นตามรูป สามเหลี่ยม abO จะได้ $10^2 = y^2 + (\frac{y}{2})^2$ $y^2 = 80 \ \ = $ พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส A .......(1) $y = 4\sqrt{5} $ ......(2) Attachment 2017 สามเหลี่ยม dcO $10^2 = x^2 + (x + (\frac{y}{2}))^2$ $100 = x^2 + (x+ 2\sqrt{5})^2$ $x^2 + 2 \sqrt{5} -40 = 0$ $(x+ 4\sqrt{5})(x- 2\sqrt{5})$ $x = 2\sqrt{5}$ $x^2 = 20 = $ พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส B = พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส C A + B + C = 80+20+20 = 120 ตอบ ผลบวกของพื้นที่ A, B และ C เท่ากับ 120 ตารางเซนติเมตร |
ของ ม.นเรศวร 7 ข้อ 3 ชั่วโมง ยากมากกก
|
ช่วยhint อสมการ ข้อ 3,4 หน่อยครับ ขอบคุณครับ
|
ข้อ 3 ผมใช้ AM-GM-HM
ข้อ 4 ผมใช้ Cauchy-Schwarz พิสูจน์ ให้ $a,b,c\in \mathbb{R} ^+$ โดย อสมการ AM-GM จะได้ว่า $(\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a})+(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})\geqslant 6$ $3(\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}) \geqslant 2(3+(\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}))=2((a+b+c)(\frac{1}{a}+ \frac{1}{b} +\frac{1}{c} ))$ $\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geqslant \frac{2}{3}(a+b+c)(\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} )$.............(*) โดยอสมการ GM-HM $\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} }\leqslant \sqrt[3]{abc}$ $ (\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} )\geqslant \frac{3}{\sqrt[3]{abc} }$ $ \frac{2(a+b+c)}{3} (\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} )\geqslant \frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc} }$.........................(**) จาก(*)และ(**) จะได้ว่า $\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geqslant \frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc} }$ $1+\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+1\geqslant 2+\frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc} }$ $\therefore (1+\frac{a}{b} )(1+\frac{b}{c} )(1+\frac{c}{a} )\geqslant 2(1+\frac{(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc} })$ ตามต้องการ พิสูจน์ ให้ $a,b,c\in \mathbb{R} ^+$ โดยอสมการ Cauchy-Schwarz จะได้ว่า $\frac{a}{\sqrt{2ab+3ac}}(\sqrt{2ab+3ac})+\frac{b}{\sqrt{2bc+3ba}}(\sqrt{2bc+3ba})+\frac{c}{\sqrt{2ca+3cb}}(\sqrt{2ca+3cb}) \leqslant \sqrt{(\frac{a^2}{2ab+3ac}+\frac{b^2}{2bc+3ba}+\frac{c^2}{2ca+3cb})}\sqrt{2ab+3ac+2bc+3ba+2cb+3ca}$ $a+b+c\leqslant \sqrt{(\frac{a^2}{2ab+3ac}+\frac{b^2}{2bc+3ba}+\frac{c^2}{2ca+3cb})}\sqrt{5(ab+bc+ca)}$ $\frac{a+b+c}{\sqrt{5(ab+bc+ca)} }\leqslant\sqrt{(\frac{a^2}{2ab+3ac}+\frac{b^2}{2bc+3ba}+\frac{c^2}{2ca+3cb})}$ $\frac{(a+b+c)^2}{5(ab+bc+ca)}\leqslant (\frac{a^2}{2ab+3ac}+\frac{b^2}{2bc+3ba}+\frac{c^2}{2ca+3cb})=\frac{a}{2b+3c}+\frac{b}{2c+3a}+\frac{c}{2a+3b}$........(*) และ โดยอสมการ AM-GM จะได้ว่า $\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}\geqslant ab+bc+ca$ $a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\geqslant 3(ab+bc+ca)$ $(a+b+c)^2\geqslant 3(ab+bc+ca)$..................(**) จาก (*) และ (**) จะได้ว่า $\frac{3(ab+bc+ca)}{5(ab+bc+ca)}\leqslant \frac{a}{2b+3c}+\frac{b}{2c+3a}+\frac{c}{2a+3b}$ $\therefore \frac{3}{5}\leqslant \frac{a}{2b+3c}+\frac{b}{2c+3a}+\frac{c}{2a+3b}$ ตามต้องการ |
อ้างอิง:
The inequality becomes $(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 3abc + 2(abc)^{2/3}(a+b+c)$. Then use AM-HM and AM-GM. 4. Another Solution : $x=2b+3c,y=2c+3a,z=2a+3b$. $a=\dfrac{-6x+9y+4z}{35}$ $b=\dfrac{4x-6y+9z}{35}$ $c=\dfrac{9x+4y-6z}{35}$. Then use AM-GM inequality. |
ขอบคุณมากคับ
|
ว่าแต่ประกาศผลค่าย 2 เมื่อไหร่ครับอยากรู้มากครับ :please:
บางวันผมไม่ได้ไปที่ค่ายเลยไม่รู้รายละเอียดต่างๆ ปล.เห็นด้วยครับข้อสอบปีนี้ง่ายกว่าปีก่อน :great: |
#24
ที่ง่ายกว่าปีก่อนๆ อาจจะเพราะว่าปีนี้คะแนนสอบเข้ามันต่ำเป็นพิเศษก็ได้นะครับ |
ข้อ 4 คอมบินาทอริก มันง่ายขนาดนั้นเลยเหรอคับ ผมว่ามันต้ิองมีอะไรแน่ๆเลย - -
ข้อ 4 NT นี่ Induction หรือเปล่าคับ ??? |
I3. A.M.-G.M. Inequality
\[\prod_{cyc}(1+\frac{a}{b})=2+\sum_{sym}\frac{a}{b}=2+\frac{1}{3}\sum_{cyc}(\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c})+\frac{1}{3}\sum_ {cyc}(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{a}{c})\geqslant 2+2\sum_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=2(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}})\] I4. Cauchy-Schwarz Inequality \[\sum_{cyc}\frac{a}{2b+3c}=\sum_{cyc}\frac{a^2}{2ab+3ca}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{5ab+5bc+5ca}\geqslant \frac{3ab+3bc+3ca}{5ab+5bc+5ca}=\frac{3}{5}\]  |
คอมบินาทอริก ข้อ 5 มันคือ ไอ้นี่ใช่ป่ะ ยังไม่ได้หาคำตอบนะ
$$\sum_{n = 1}^{2000}n\binom{2000}{n} = 2^{2000}-2+\binom{2000}{1000}$$ คิดต่อไม่ได้ละ |
อ้างอิง:
$k^{2^n}-1=(k-1)(k+1)(k^2+1)(k^4+1)\cdots (k^{2^{n-1}}+1)$ ถ้าพิสูจน์ได้ว่า $8|k^2-1$ ก็จบครับ |
2 ไฟล์และเอกสาร
มาต่อเรขาคณิตข้อ 2
Attachment 2032 ABCD เป็นสี่เหลี่ยมคางหมู ต่อ ON จะได้ ON ตั้งฉาก BC (เส้นสัมผัสวง) สามเหลี่ยม OPC เท่ากับทุกประการกับ สามเหลี่ยม ONC (ดดด) สามเหลี่ยม OPCมีพื้นที่ เท่ากับ สามเหลี่ยม ONC ทำนองเดียวกัน สามเหลี่ยม ONB มีพื้นที่ เท่ากับ สามเหลี่ยม OQB จะได้ $\bigtriangleup PCO + \bigtriangleup OQB = \bigtriangleup OCN + \bigtriangleup ONB = \bigtriangleup OCB $ ......(1) Attachment 2033 ลาก MC แบ่งครึ่งมุมภายยอก PCB ---> x = x ลาก MB แบ่งครึ่งมุมภายนอก QBC พบกันที่ M ---> y = y จะได้ สี่เหลี่ยม OCMB เป็สี่เหลี่ยมมุมฉาก พิสูจน์สี่เหลี่ยม OCMB เป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก $\because \ \ x + x + y +y = 180^\circ $ (ผลบวกมุมภายในของเส้นขนาน) $x+y = 90 ^\circ $ ดังนั้น $ \ \ CMB = 90^\circ $ ทำนองเดียวกัน OC แบ่งครึ่งมุม PCN และ OB แบ่งครึ่งมุม QBC จะได้ OCM และ OBM เป้นมุมฉาก ดังนั้น สี่เหลี่ยม OCMB จึงเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก สี่เหลี่ยม OCMB มีพื้นที่ = 4x2 = 8 ตารางนิ้ว สี่เหลี่ยม PCQB = 2 (สามเหลี่ยม OCB) (จาก(1)) = 8 ตารางนิ้ว .....(2) Attachment 2033 $\because \ \ COB$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น $CB =2\sqrt{5} $ จากคุณสมบัติเส้นสัมผัสวง จะได้ PC = CN และ NB = BQ ดังนั้น CB = PC +QB = ผลบวกด้านคู่ขนาน $=2\sqrt{5} $ พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู $ PCBQ = 8 = \frac{1}{2} \cdot 2r ( 2\sqrt{5} $) จะได้ $r = \frac{4}{\sqrt{5}}$ จะได้พื้นที่สี่เหลี่ยม $DPQA = r \cdot 2r = 2 \cdot \frac{4}{\sqrt{5}} \cdot \frac{4}{\sqrt{5}} = 6.4 $ ตารางนิ้ว .....(3) พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู $ABCD = $ สี่เหลี่ยม$ AQPD + $ สี่เหลี่ยมคางหมู$QBCP = 6.4 + 8 = 14.4$ ตารางนิ้ว |
2 ไฟล์และเอกสาร
ต่อเรขาข้อ 3
Attachment 2034 สี่เหลี่ยม CPBD มี CP = PB (รัศมี) และ CD = DB (เส้นสัมผัสวง) ดังนั้น สี่เหลี่ยม CPBD เป็นสี่เหลี่ยมรูปว่าว (มีเส้นทแยงมุมตัดกันเป็นมุมฉาก) จะได้ มุม CFD เป็นมุมฉาก .....(1) ทำนองเดียวกัน ก็จะได้ มุม CED เป็นมุมฉากด้วย ......(2) Attachment 2035 สามเหลี่ยม CDB เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มี CD = DB (เส้นสัมผัสวงกลม) และ DF ตั้งฉาก CB ดังนั้น DF จึงแบ่งครึ่งมุม CDB ทำนองเดียวกัน ED แบ่งครึ่งมุม ADC จึงได้ มุม EDF เป็นมุมฉาก ....(3) ทำนองเดียวกันก็ได้ มุม ECF เป็นมุมฉาก ....(4) จาก (1), (2), (3), (4) จะได้ว่าสี่เหลี่ยม DECF มีมุมภายในทุกมุมเป็นมุมฉาก ดังนั้นสี่เหลี่ยม DECF จึงเป็นสี่เฟลี่ยมมุมฉาก ซ.ต.พ. |
Combinatorics ข้อ 2 ตอบว่า 25 จำนวนรึเปล่าครับ
แนวคิด คิดแบบนี้ได้ไหมครับ ผมคิดว่า ก็สังเกตว่ามันเป็นลำดับเลขคณิต แต่ละตัวมีความห่าง = 4 ผลบวกที่น้อยที่สุด คือ 17+21+25+29 = 92 ผลบวกที่มากที่สุด คือ 41+45+49+53 = 188 จะได้ผลบวกที่เป็นไปได้ คือ 92,96,100,...,188 คิดเป็นจำนวน 188-92 หาร 4 แล้ว บวก 1 = 25 ตัวครับ ผิดถูกอย่างไรช่วยชี้แนะด้วยนะครับ |
คิดว่าใช่นะครับ
เพื่อนผมก็คิดเหมือนคุณ akungs ปล ข้อนี้ผมผิดไปแล้ว:cry::cry: |
มีใครช่วย Hint ข้อ 1 ของคอมบิหน่อยได้มั้ยครับ
ผมจนปัญญาแล้ว >_<":please::please::please: |
แบ่งจำนวนออกเป็น 7 แบบคือ 7n,7n+1,7n+2,...,7n+6 |
ขอบคุณคุณ LightLucifer มากเลยนะครับสำหรับ Hint
ผมคิดได้แล้วว่า 8+7+7+1 = 23 ใช่รึเปล่าครับ |
ไม่ได้ พีชคณิตข้อ 5 อ่ะครับ
รบกวนใครก็ได้ช่วยอธิบาย hint ของคุณ passer by หน่อยครับ ขอบคุณครับ |
อ้างอิง:
ข้อนี้ ถ้าตอบแบบ algebra ก็ลองกระจายสมการออกมาครับ แล้วเขียนในรูปสมการกำลังสองของ y ซึ่งจะได้ $y^2+(8x-2x^2)y+(3x^2+6x)=0$ จากนั้นก็แก้สมการกำลังสองออกมาปกติ ก็จะได้เหมือนที่ผมอธิบายไว้ในหน้าแรกของกระทู้นี้ครับ |
บรรทัดที่ 4 ครับ
|
อ้างอิง:
สิ่งที่ผมพยายามทำ คือ ดูว่า ถ้า $x$ เกินค่าใด แล้ว $x^2-6x$ ไม่เป็น square เพื่อที่เราจะได้แทนค่าเช็คเพียงไม่กี่ค่าก็จะได้คำตอบ อสมการที่ผมเขียน เป็นจริงสำหรับ $ x>8$ เพราะ $ x^2-6x < x^2-6x+9 $ และ $ x^2-6x > x^2-8x+16 \Leftrightarrow 2x > 16 $ แสดงว่า ถ้า $ x>8 $ แล้ว $ x^2-6x$ อยู่ระหว่าง square ที่ติดกัน เท่ากับว่า ตัวมันเอง เป็น square ของจำนวนนับไม่ได้ ดังนั้นแทนค่าเช็ค แค่ $ x=6,7,8 $ ก็เพียงพอจะหาคำตอบข้อนี้ได้ (ถ้าจำไม่ผิด ผมเคยทดข้อนี้ไว้ได้ 3 คำตอบครับ) Note : ค่า $ x \leq 5 $ ไม่ต้องสนใจ เพราะจะทำให้ $ x^2-6x$ ติดลบ |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 15:03 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha