ค่าตำสุดของ root x ยกกำลังสอง+ y ยกกำลังสอง
กำหนดให้ x และ y เป็นจำนวนจริง และ 5x+12y=60 ค่าตำสุดของ $\sqrt[]{x^2+y^2}$ เท่ากับเท่าใด
ขอแนวคิดด้วยครับ |
ใช้อสมการโคชีดูนะครับ
|
ผมขอเสนอวิธี เรขาวิเคราะห์ วาดรูป สมการเส้นตรง ตัดแกนxที่จุด(12,0) ตัดแกนyที่จุด(0,5) slopeเป็น- ลากเส้นตรงABยาวsqt x^2+y^2 จากจุด(o,o)ลากเส้นตั้งฉากกับAB จะได้d=ระยะสั้นที่สุด จากนั้นใช้สูตรpoint to line d=(5x+12y-60)/sqt5^
+12^2จะได้60/sqt13 ปล.ผมpostรูปไม่เป้น |
เดี๋ยวลองทำก่อนนะครับ ขอบคุณมาก
|
ข้อนี้ใช้อสมการโคชี่ น่าจะง่ายสุด
แต่เพื่อความหลากหลายผมให้อีกวิธี คือใช้ตรีโกณมิติ โดยการจัดให้เป็นรูปแบบนี้ครับ $\frac{5}{13}*\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2} }+\frac{12}{13}*\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2} } = \frac{60}{13}*\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2} }$ ต่อจากนั้นก็มองให้ออกนะครับว่ามันอยู่รูปของ $\sin(\theta +\omega )$ ถึงตรงนี้ก็ไม่ยากแล้วครับ โจทย์ข้อนี้ถ้าจำไม่ผิดเป็นโจทย์โอลิมปิกของสสวท. รอบแรก ปีที่แล้ว |
ข้อนี้ผมจัดรูป y ให้อยู่ในรูปของ x แล้วเอาไปแทนในสมการ โดยให้
$x^2 + y^2 = m $ จากานั้นก้ใช้สูตร $\frac{4ac- b^2}{4a}$ เพื่อใช้ในการหาค้าสูงสุดตำสูดครับ ดังนั้นเลยได้คำตอบเป็น $\frac{60}{13}$ ครับ ไม่รู้ว่าถูกรึป่าว ช่วยแนะนำด้วยครับ :p |
ถึงคุฌteamman.ผมสนใจวิธีคิดของคุณ ช่วยแทนค่าให้เห็น ผมลองทำแล้วตัวเลขแยะ ผมไม่เข้าใจตรงx^2+y^2=m โจทย์ถาม sqrt x^+y^2=?
|
สมการโคซี่เป็นแบบใหนครับไม่เคยได้ยินเลย
|
อ้างอิง:
|
ไม่รู้เลยว่าข้อนี้ยากขนาดนี้ ยังงงอยู่เลย
|
อสมการโคชีทำยังไง ทำแบบตรีโกณก็ไม่รู้ว่า13 มาจากใหน ทำแบบพาราโบลาตัวเลขสูงมากและทำต่อไม่ได้ ช่วยอธิบายเพิ่มให้มากกว่านี้อีกนิดได้ไหมครับ
|
ครับ สำหรับวิธีของผมก็ตอนแรกจัดรูปให้ค่า y อยู่ในรูปของ x จะได้
$ y = \frac{60-5x}{12} $ โจทย์ต้องหาทราบ $\sqrt{x^2+y^2}$ เราก็ให้ $x^2$+$y^2$ = m แล้วค่อยนำ m ไปใส่รูททีหลังครับ จากโจทย์ก็แทนต่า y ลงไป ได้ $x^2 + \frac{60^2 -600x+25x^2}{144}$ = m $\frac{169x^2 -600x +60^2 }{144}$ = m สมการนี้ดูคุ้นใช่ไหมครับ จากนั้นเราก็ใช้สูตร $\frac{4ac- b^2}{4a}$ ซึ่งอยู่ในเรื่อง พาราโบลาที่ใช้ในการหาค่าต่ำสุดสูงสุดของสมการ หรือ อาจจะใช้วิธีค่า หา x สูงสุด โดยใช้สูตร $\frac{-b}{2a}$ หรือการ ดิฟ ก็ได้ แล้วไปแทนค่าในสมการก็จะได้ค่าสูงเหมือนกัน แต่ข้อนี้ผมข้อใช้สูตรหาค่าสูงสูดต่ำสุดเลยนะครับ จากสูตร แทนค่าได้ $\frac{(4*169*60*60) - 600^2}{144*169*4}$ = m ต่ำสุด $\frac{60*60(4*169-100)}{144*169*4}$ = m ต่ำสุด $\frac{60^2*576}{144*169*4}$ = m ต่ำสุด ดังนั้น $\sqrt{m} = \frac{60*24}{12*13*2}$ = $\frac{60}{13}$ ครับผม :D:died: |
ขอขอบคุณพี่teamman ผมเข้าใจแล้ว.
|
อ้างอิง:
|
อ่อขอโทษครับ พอดีลืมไปนะครับ แก้ไขให้แล้วครับ
|
ขอบคุณครับสำหรับวิธีทำ
|
ขอบคูณครับสำหรับวิธีทำดูแล้วเข้าใจครับ
|
1 ไฟล์และเอกสาร
อ้างอิง:
สมการ (2) $\sqrt{x^2+y^2} $ = d *ผมชอบแนวคิดที่ว่า d = $\sqrt{x^2+y^2} $ คือระยะทางจากจุด(o,o) ไปหาจุด(x,y) ครับ * ดังนั้นระยะทางd ที่สั้นที่สุด ก็คือ ระยะทางจากจุด(0,0)ลากไปตั้งฉากกับสมการเส้นตรงที่ให้ไว้นั่นเอง และอยู่บนเส้นตรง 12x - 5y = 0 ด้วย Attachment 880 --> ที่จุดตัด $ y_1 $ = $( \frac {12}{5} )x_1 $ แทนในสมการ (1) และ(2) ตามลำดับ ได้ $5x_1$ + $12(\frac {12}{5} x_1)$ = 60 --> $x_1$ = $\frac {60(5)}{169} $ และ d = $\sqrt{x_1^2 + (\frac {12}{5} x_1)^2} $ = $\sqrt{ \frac {169}{25} x_1^2 } $ = $ \frac {13}{5} x_1$ = $ \frac {13}{5} \times \frac {60(5)}{169} $ = $ \frac {60}{13} $ ตอบ |
ความจริง ข้อนี้มันมีหลายวิธีนะครับ เช่น ใช้Calculus ครับ พอร์ดกราฟออกมา ใช้อสมการ Cauchy ครับ
แต่วิธีที่ง่ายที่สุดแบบมองปุ้บตอบปั้บได้เลยคือ ใช้ Cauchy ครับ |
จากของคุณหยินหยาง
ที่จัดรูปเป็น $\frac{5}{13}*\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2} }+\frac{12}{13}*\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2} } = \frac{60}{13}*\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2} }$ มีใครช่วยอธิบายให้ผมฟังได้ไหมครับ อยากเข้าใจวิธีนี้มากๆเลยครับ มันเร็วมาก และทำง่าย แต่ไม่อยากนำไปใช้โดยไม่เข้าใจครับ ปล. ผมส่งข้อความหาคุณหยินหยางละ แต่เผื่อกระทู้มันจะนานมากเเล้ว กลัวไม่มีคนตอบ ปล.2 อยากให้ช่วยอธิบายโคชี่หน่อยครับ คือ รู้ว่าเป็นอะไรแต่ไม่รู้วิธีใช้อะครับ |
อ้างอิง:
จาก $5x+12y=60$ จากเรื่องตรีโกณ $x=\cos \theta,y=\sin \theta$ $5\cos \theta+12\sin \theta=60$ เอา $\sqrt{5^2+12^2} =13$ หารตลอด $(\frac{5}{13} )x+(\frac{12}{13} )y=(\frac{60}{13} )$ เอา $\sqrt{x^2+y^2} $ หารตลอดอีก $\frac{5}{13}*\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2} }+\frac{12}{13}*\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2} } = \frac{60}{13}*\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2} }$ มอง $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2} }=\sin \theta,\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2} }=\cos \theta$ $\frac{5}{13}=\cos \omega,\frac{12}{13}=\sin \omega$ $\sin (\theta+\omega) =\frac{60}{13}*\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2} }$ $\sqrt{x^2+y^2} =\frac{60}{13}*\frac{1}{\sin (\theta+\omega) }$ ค่าต่ำสุดของ $\sqrt{x^2+y^2}$ จะเกิดเมื่อค่า $\sin (\theta+\omega)$ มีค่าสูงสุด ซึ่งเท่ากับ $1$ ค่าต่ำสุดของ $\sqrt{x^2+y^2}$ จึงเท่ากับ $\frac{60}{13}$ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 12:32 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha