พิลึก แบบ งง ๆ
 

ใครทำได้ วาดลวดลายหน่อยครับ
1. กำหนดพหุนาม $x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4$ สอดคล้องกับคุณสมบัติทุกข้อต่อไปนี้

• $a_1,a_2,a_3,a_4$ เป็นจำนวนเต็ม
• $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ เป็นคำตอบของสมการ $x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0$

จงหาค่าของ $a_1-a_2+a_3-2a_4$

แบบนี้ได้ไหมครับ
$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$
$x^2=5+2\sqrt{6}$
$(x^2-5)^2=(2\sqrt{6})^2$
$x^4-10x^2+1=0$
.....

เนื่องจากสปส.เป็นจำนวนเต็มและ $\sqrt{2} +\sqrt{3} $เป็นราก จะได้ว่า $-\sqrt{2} +\sqrt{3} $ ,
$\sqrt{2} -\sqrt{3} $ และ $-\sqrt{2} -\sqrt{3} $เป็นรากด้วย
นั่นคือ $$(x-\sqrt{2} -\sqrt{3})(x+\sqrt{2} -\sqrt{3})(x-\sqrt{2} +\sqrt{3})(x+\sqrt{2} +\sqrt{3})=0$$

อีกข้อครับ
 

ถ้า $N = 4+44+444+4444+\cdots+\overbrace{444 \cdots 4}^{100}$ แล้ว N หารด้วย 10000 เหลือเศษเท่ากับ A แล้ว A น้อยกว่า 1600 อยู่เท่าใด

วิธีแบบเด็กอนุบาลนะครับ

จะได้ว่า $N=4(1+11+111+1111+\cdots+\overbrace{444 \cdots 4}^{100})$
$N=4(\overbrace{100 \cdots 00}^{100}+2 (\overbrace{100 \cdots 00}^{99})+\cdots+96(10000)+97(1000)+98(100)+99(10)+100(1))$
$\therefore N\div 10000$ เหลือเศษ $4(97000+9800+990+100(1)) \div 10000$

เอาไปอีก
 

จากเลขโดด 1,2,3,...,9 สามารถสร้างจํานวนนับที่มีสามหลักได้ 729 จํานวน ให้ M เป็นผลบวกของ จํานวนทั้ง 729 จํานวนนี้ แล้วผลบวกของเลขโดดที่เขียนแทน M มีค่าเท่าใด

ไม่มั่นใจนะครับ ว่าวิธีนี้ใช่ได้หรือไม่

เรียงลำดับเลข 3 หลักที่เกิดขึ้นจากน้อยไปหามาก
นำตัวมากสุด+ตัวน้อยสุด นำตัวมากรองลงมา+ตัวน้อยรองลงมา ...
จะเห็นว่าทุกตัวมีค่าเท่ากัน คือเท่ากับ$1110$ ทั้งหมด $324$ คู่
รวมกับตัวสุดท้ายอีก $555$ ผลลัพธ์ทั้งหมดจึงเท่ากับ $$555(729)=404595$$

เพราะฉะนั้น ผลบวกของ $M$ จึงเท่ากับ $$4+0+4+5+9+5=27$$ มั้ง

บรรทัดที่สองมายังงัยอ่ะครับ ไม่เข้าใจอ่ะ

3.
 

$ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยม มี $\widehat B$ เป็นมุมฉาก ลาก $\bar {BD}$ ตั้งฉากกับ $\bar {AC}$ ที่จุด $D$ ทำให้ $AD:BC = 3:7$ ถ้าอัตราส่วน $\frac{BC}{AB}: BD = 1:a$ แล้ว $A^2$ มีค่าเท่าใด

เนื่องจากว่า $$\overbrace{444..4}^{n} \equiv 4444 \pmod{10000} , n\geqslant 4$$

จะได้ว่า $$4+44+444+...+\overbrace{44...4}^{100}\equiv 4444(97)+444+44+4 \equiv1560 \pmod{10000} $$

$\therefore $ น้อยกว่า $1600$ อยู่ $$1600-1560=40$$

ถ้าแบบอนุบาลดูแล้วงง ลองใช้วิธีเตรียมเข้าอนุบาลก่อนมั้ย ให้ดูที่ความเห็นที่ 13
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=209

คุณหยินหยางครับจะบอกว่าใช้วิธีเกียวกันเลยครับ
ก็คิดแค่4หลักสุดท้ายอ่ะครับ
ก็บวกๆแล้วใส่ทดให้ถูกแค่นั้นแหละครับ
เพราะหาร10,000ยังไงก็เหลือเศษ4หลักสุดท้ายอยู่แล้วแหละครับ
ลองข้อนี้มั๊ยคล้ายๆกันอ่ะครับ
3+33+333+3333+...+3(จำนวน100ตัว) หารด้วย10,000 จะมากกว่าหรือน้อยกว่า3600อยู่เท่าไร

มากกว่า $70$ มั้ง

โอเคครับถูกครับ