หาวิธีคิดแคลคูลัส ที่ง่าย และเร็ว ( ทำไม่ได้จริงๆ )
1. ระยะทาง s ที่วัตถุเคลื่อนที่เป็นฟังก์ชันของเวลา t ซึ่งกำหนดโดย s = 2t-3 ในการเปรียบเทียบอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ s เทียบกับ t เมื่อ t เปลี่ยนจาก 2 เป็น 2.2 กับอัตราการเปลี่ยนแปลงของ s ขณะเวลา t=2 ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย และ อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยทันทีต่างกันเท่าไร
2. ถ้าความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนึ่งเปลี่ยนจาก 4.0 ซม. เป็น 4.4 ซม. แล้วอัตราส่วนการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่เทียบกับความยาวของด้านเป็นเท่าไร 3. นายแดงต้องการจะกั้นรั้วรอบที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าไว้ปลูกส้มโดยใช้รั้วด้านหนึ่งของที่ดินแปลงนี้ ถ้าเขามีลวดหนามยาว 400 ม. และต้องการปลูกส้มหนึ่งต้นต่อที่ดินทุกๆ 5 ตร.ม. เขาจะปลูกส้มได้มากที่สุดกี่ต้น 4. กำหนดให้ v (t) = t2 - 4t + 10 เป็นความเร็วของการเคลื่อนที่ของวัตถุ ณ เวลา t และมีหน่วยเป็นเมตรต่อวินาที ขณะที่ t=0 วัตถุเคลื่อนที่ได้ระยะทาง 43 ม. เมื่อความเร่งของวัตถุเท่ากับ 0 ม./วินาที 2 ความเร็วและระยะทางมีค่าเท่ากับเท่าไร |
ปัญหาที่ถามมา เป็นแคลคูลัสเบื้องต้นธรรมดาที่หาอ่านได้ตามหนังสือเรียนระดับมัธยมปลาย ครับ ขอสรุปให้สั้น ๆ ดังนี้
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ f(x) เมืื่อ เปลี่ยนจาก x ไปเป็น x + h คือ \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \) ซึ่งสามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่ง คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ f(x) เมืื่อ เปลี่ยนจาก x1 ไปเป็น x2 คือ \(\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\) อย่างข้อ 1) โจทย์ให้มาว่า s(t) = 2t - 3 อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยเมื่อ t เปลี่ยนจาก 2 ไปเป็น 2.2 คือ \(\frac{s(2.2)-s(2)}{2.2-2}\) แต่ s(2) = 2(2) - 3 และ s(2.2) = 2(2.2) - 3 เอาไปแทนค่าก็จบครับ ส่วนอัตราการเปลี่ยนขณะที่ x ใด ๆ ในเบื้องต้นเมื่อเริ่มเรียน จะหาจากนิยาม คือ \(\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) ซึ่งเมื่อเรียนต่อไปก็จะาออกมาเป็นสูตรการหาอนุพันธ์ ต่าง ๆ เช่น \(\frac{dx}{dx} = 1\) \(\frac{d(cx)}{dx} = c\) ลองดูตัวอย่างจากในแบบเรียนนะครับ. :) |
ขอทำต่อจากพี่กรนะครับ :D
1.อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย \( \displaystyle{\frac{s(2.2)-s(2)}{0.2}=\frac{1.4-1}{0.2}=2} \) อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยทันที \( \displaystyle{s\prime (t)=2} \) นั่นคือ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย กับ อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยทันที เท่ากัน 2.โดยสูตรพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่า จะได้ \( \displaystyle{A(a)\ =\ \frac{\sqrt{3}}{4}a^2} \) A คือ พื้นที่ และ a คือความยาวด้าน อัตราส่วนการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่คือ \( \displaystyle{\frac{A(4.4)-A(4)}{0.4}\ =\ \frac{4.84\sqrt{3}-4\sqrt{3}}{0.4}=2.1\sqrt{3}} \) 3.ให้ ด้านหนึ่งยาว x อีกด้านจะยาว 200 - x (เพื่อที่จะให้เส้นรอบรูปยาวรวมกันได้ 400 ม.) ให้ A คือพื้นที่ นั่นคือ A(x)=x(200-x) ปลูกส้มให้ได้มากที่สุดก็ต่อเมื่อสร้างพื้นที่ได้มากที่สุด นั่นคือ \( \displaystyle{A\prime (X)\ =\ 0\ \ } \) นั่นคือ -2x + 200 = 0 x = 100 นั่นคือสามารถปลูกส้มได้ \( \displaystyle{\frac{(100)(100)}{5}=2000\ \ }\)ต้น 4.เมื่อ t = 0 นั่นคือยังไม่ได้เริ่มเดินทางทีก็ได้ระยะทาง \( \displaystyle{\frac{4}{3}} \) ม. แล้ว ผมเข้าใจว่า เริ่มต้นที่ \( \displaystyle{\frac{4}{3}} \) ม. นะครับ จาก \( \displaystyle{v(t)\ =\ t^2-4t+10} \) จะได้ความเร่งคือ \( \displaystyle{v\prime (t)\ =\ 2t-4} \) ความเร่งเท่ากับ 0 นั่นคือ 2t-4=0 t = 2 จะได้ ความเร็วคือ \( \displaystyle{v(2)\ =\ (2)^2-4(2)+10\ = 6\ \ } \)เมตร/วินาที ผ่านไป 2 วินาที ก็จะได้ระยะทาง 6(2) = 12 เมตร แต่เริ่มต้นที่ \( \displaystyle{\frac{4}{3}} \) ดังนั้นระยะทางจริงคือ \( \displaystyle{12+\frac{4}{3}\ = \ \frac{40}{3}} \) เมตร ข้อไหนผิด ช่วงท้วงติงด้วยครับ :D |
ข้อสุดท้าย ใช้ s=vt ไม่ได้นะคะ มันเป็นการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งค่ะ ต้อง อินทิเกรต ความเร็วเพื่อหาระยะทาง
S(t)=$\int_\,v(t)dt$ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 00:35 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha