Mathcenter Forum - มาแล้ว คณิตศาสตร์โอลิมปิก สอวน. ครั้งที่ 2 ที่ ม.อุบลฯ

Mathcenter Forum (https://www.mathcenter.net/forum/index.php)

- ข้อสอบโอลิมปิก (https://www.mathcenter.net/forum/forumdisplay.php?f=28)

ข้อ 5 วันแรก ผมได้ 4332 ครับ. เลขสวยทีเดียว แต่ไม่รู้ว่าถูกหรือเปล่า ใครมีเฉลยช่วยดูที

ผมเข้าใจปัญหาถูกหรือเปล่า ช่วยดูทีนะครับ. :cool:

$\fbox{โยนลูกเต๋าลูกหนึ่ง 6 ครั้งจงหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่ทำให้แต้มรวมเท่ากับ 21
} $

จำนวนวิธี ดังกล่าวจะได้จากจำนวนคำตอบของสมการ $a+b+c+d+e+f=21 \quad , 1 \leq a, b, c, d, e, f \leq 6 $

สมมติให้ฟังก์ชันก่อกำเนิด $G(x) = (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^6 $
ส.ป.ส ของ x²¹ จะคือคำตอบนั่นเอง (ถูกเปล่าหว่า :rolleyes: )

$G(x) = x^6(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^6 = x^6(1-x^6)^6(1-x)^{-6} $

ถ้าให้ $F(x) = (1-x^6)^6 = \Sigma f_n x^n \quad , H(x) = (1-x)^{-6} = \Sigma h_n x^n $

จะได้ว่า ส.ป.ส ของ x²¹ ใน G(x) จะคือ ส.ป.ส ของ x¹⁵ ใน [ F(x) ] [ H(x) ] นั่นเอง

พิจารณา ส.ป.ส ของ x¹⁵ ใน $F(x)H(x) = \Sigma f_n h_{15 - n} $

$f_n = {6 \choose \frac{n}{6}} \quad , n = 0, 6, 12, \cdots $
$h_n = {6+n-1 \choose n} $

$\Sigma f_n h_{15 - n} = f_0h_{15} + f_6h_9 + f_{12}h_3 = {6 \choose 0}{20 \choose 15} - {6 \choose 1}{14 \choose 9} + {6 \choose 2}{8 \choose 3} = 4332 $

ข้อ 5 ผมก็ได้ 4332 เหมือนคุณ gon ครับ ( ข้อนี้ ดูเหมือนถามง่ายๆ แต่ใช้แนวคิดอลังการมาก ไม่รู้เหมือนกันว่า ถ้าไม่ใช้ generating function หรือ inclusion-exclusion formula มาช่วย จะทำไงดี)

ข้อ 11 ที่คุณ gools บอกว่าไม่มีคำตอบ ผมว่า x = 2²⁵⁴⁸-1 ก็สอดคล้องกับโจทย์ นะครับ แต่ผมไม่รู้ว่า เป็นตัวน้อยสุดหรือเปล่า ใครที่ expert ทาง number theory ช่วยมาชี้แจงแถลงไขด้วยครับ

อ้างอิง:

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
ข้อ 16 ผลบวกของรากของสมการจะเท่ากับ - สปส. หน้าเทอม x²⁰⁰³

ข้อนี้ ต้องตอบว่า (-ส.ป.ส. หน้าเทอม x²⁰⁰³)/( ส.ป.ส. หน้าเทอม x²⁰⁰⁴) รึป่าวครับ รบกวนคุณ nooonuii ช่วย check ด้วยครับ

ท้ายสุด อยากจะบอกว่า เห็นกระทู้นี้แล้ว ตื้นตันในพลังสามัคคีจริงๆนะเนี่ย ;)

อืมแม่นแหล่วครับ ผมลืมดู สปส หน้าเทอม x²⁰⁰⁴ ไปเลย :( แก้แล้วครับ

อ้างอิง:

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
ข้อ 11 ที่คุณ gools บอกว่าไม่มีคำตอบ ผมว่า x = 2²⁵⁴⁸-1 ก็สอดคล้องกับโจทย์ นะครับ แต่ผมไม่รู้ว่า เป็นตัวน้อยสุดหรือเปล่า

จาก x²⁰⁰⁵ + 1 = (x + 1)(x²⁰⁰⁴ - x²⁰⁰³ + ... + x² - x + 1)
และ x²⁰⁰⁴ - x²⁰⁰³ + ... + x² - x + 1 เป็นจำนวนคี่เสมอ
ดังนั้น 2²⁵⁴⁸ จะหาร x²⁰⁰⁵ + 1 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ 2²⁵⁴⁸ หาร x + 1 ลงตัว
นั่นคือคำตอบ x = 2²⁵⁴⁸ - 1 ของคุณ passer-by เป็นคำตอบที่น้อยที่สุดแล้วครับ :)

ง่ายกว่าที่คิดแฮะ ตอนนี้เหลือแต่ใครจะอึดแจง 128 สับเซตอย่างเป็นระบบ (ข้อ 8) กะเรียงคนอย่างเป็นระบบ (ข้อห้าวันที่สอง)

คำตอบข้อ 11

x ไม่ใช่เลขคู่ เพราะจะทำให้ 2 หาร x²⁵⁴⁸ ไม่ลงตัว ดังนั้น เราจะหาเลขคี่ x (หรือ x+1, x-1 เป็นเลขคู่) ที่สอดคล้องเงื่อนไข เนื่องจาก
\[x^{2005}-(-1)^{2005}=(x+1)(x^{2004}-x^{2003}+...+1)=k\cdot2^{2548}\]
เพราะว่า $x^{2004}-x^{2003}+...+1=x^{2003}(x-1)+...+(x-1)+1$ เป็นเลขคี่ จึงทำให้ $2^{2548}|(x+1) $
ตามเงื่อนไขโจทย์ x>0 จะได้ว่า x=2²⁵⁴⁸-1 เป็นค่า x ที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องเงื่อนไขโจทย์

Edit1: ช้าไปนิดเดียว คุณ warut post คำตอบแล้ว omg...
Edit2: ลืมวงเล็บไปหนึ่งคู่ ...whew...

อ้างอิง:

ข้อความเดิมของคุณ Rovers:
8. จัดเรียงสมาชิกในแต่ละสับเซตของ S = {1,2,3,4,5,6,7} ที่ไม่ใช่เซตว่างจากมากไปน้อย ใส่เครื่องหมายบวกและลบสลับกันหน้าสมาชิกแต่ละตัวของสับเซต โดยเริ่มจากเครื่องหมายบวกหน้าจำนวนที่มากที่สุดในสับเซตนั้น หาผลบวกของจำนวนเหล่านั้น (เช่น สับเซต T={7,4,2} เราได้ 7-4+2 = 5 เป็นผลลัพธ์ของสับเซต T) จงหาผลบวกของผลลัพธ์ของทุกสับเซต S

สมมติให้ผลบวกของผลลัพธ์ของทุกสับเซตของเซ็ต {1, 2, 3, 4, 5, 6} คือ x

เพื่อหาผลบวกของผลลัพธ์ของทุกสับเซตของ S เราจะแยกประเภทของสับเซตที่ไม่ใช่เซ็ตว่างของ S ออกเป็น 3 ประเภทดังนี้

1. สับเซ็ตที่ไม่มีเลข 7 อยู่ สำหรับกรณีนี้จะได้ผลบวกของผลลัพธ์เท่ากับ x
2. สับเซ็ต {7} สำหรับกรณีนี้จะได้ผลบวกของผลลัพธ์เท่ากับ 7
3. สับเซ็ตที่เหลือ ซึ่งก็คือสับเซ็ตที่มีเลข 7 อยู่แต่ไม่ใช่ {7} ซึ่งมีอยู่ 2⁶ - 1 = 63 สับเซ็ต ดังนั้นผลบวกของผลลัพธ์ในกรณีนี้คือ 7*63 - x (คงมองออกนะครับ ผมก็ไม่รู้จะอธิบายยังไงเหมือนกัน)

ดังนั้นผลบวกของผลลัพธ์ของทุกสับเซตของ S จึงมีค่าเท่ากับ x + 7 + (7*63 - x) = 7*64 = 448 ครับ :)

อ้างอิง:

ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
ข้อ 5 ผมก็ได้ 4332 เหมือนคุณ gon ครับ ( ข้อนี้ ดูเหมือนถามง่ายๆ แต่ใช้แนวคิดอลังการมาก ไม่รู้เหมือนกันว่า ถ้าไม่ใช้ generating function หรือ inclusion-exclusion formula มาช่วย จะทำไงดี)

เท่าที่ผมเช็คดูได้ความว่าไม่ว่าจะทำแบบไหน (generating function, recurrence relation, etc.) ข้อนี้ก็เป็น pure calculation ครับ ถ้าใครมีสูตรหรือเทคนิคที่ช่วยให้ทำได้ง่ายๆล่ะก็จะถือว่าเป็นการค้นพบที่น่าสนใจมากครับ :D

อ้างอิง:

ข้อความเดิมของคุณ warut:
เท่าที่ผมเช็คดูได้ความว่าไม่ว่าจะทำแบบไหน (generating function, recurrence relation, etc.) ข้อนี้ก็เป็น pure calculation ครับ ถ้าใครมีสูตรหรือเทคนิคที่ช่วยให้ทำได้ง่ายๆล่ะก็จะถือว่าเป็นการค้นพบที่น่าสนใจมากครับ

ไม่ว่าจะเป็น generating function หรือวิธีอื่นทาง combinatorics ก็ยังเป็น เพียงแค่ tool ที่มาช่วย solve ซึ่งก็ไม่ใช้เทคนิคลัดอะไรอย่างที่คุณ warut ว่านั่นแหละครับ
แต่ก็ยังดีกว่ามาไล่พิจารณาทีละกรณี หรือ solve แบบ Brute force calculation แน่นอน 100%
แวบแรกที่ผมเห็นข้อนี้ ผมสังเกตว่า โจทย์ต้องการ sum= 21 ซึ่งเป็นกึ่งกลางระหว่าง 6(min of sum) และ36 (max of sum) ก็นึกว่าต้องมีเทคนิคซักอย่างมาช่วยแน่ๆ ที่ไม่ต้องใช้ความรู้อย่าง generating function หรืออะไรทำนองนี้ แต่ก็มืดแปดด้าน สุดท้ายก็ต้องกลับมาสู่วิธีทาง combinatorics นี่แหละครับ

ส่วนข้อ 8 ที่คุณ warut เฉลย พาลให้ผมนึกถึง คำถามข้อหนึ่ง
" ถ้านำจำนวนเต็มบวก 9 ตัว บรรจุในเมตริกซ์มิติ 3x3 โดยแต่ละ entry ต่างกันหมด จะได้ 9! เมตริกซ์ หาผลบวกของ determinant ของเมตริกซ์ทั้ง 9!เมตริกซ์ "
แม้จะคิดไม่เหมือนกับข้อ 8 ซะทีเดียว แต่ก็ให้อารมณ์คล้ายๆกัน และคำตอบข้อนี้ก็แค่เลขหลักเดียวซะด้วย

โอ๊ยโย้ยโหยว...ผมชุ่ยอีกแล้ว คุณ passer-by ช่างสังเกตจัง ถ้าเป็นค่ากลางเนี่ยมีสูตรครับ แต่ในกรณีนี้คงไม่มีประโยชน์สำหรับผู้ทำสอบหรอก จะมีประโยชน์แต่ก็สำหรับผู้ออกข้อสอบไว้เช็คคำตอบมากกว่าครับ โยนลูกเต๋าลูกหนึ่ง $n$ ครั้ง สูตรสำหรับหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่ทำให้แต้มรวมเป็นค่ากลางมีดังนี้ครับ $$ \sum_{k=0}^{\lfloor 5n/12\rfloor} (-1)^k{n \choose k}{n+\lfloor5n/2\rfloor-6k-1 \choose n-1} $$ ซึ่งก็คืออันที่คุณ gon ค้นพบนั่นเองครับ :)

ข้อโยนลูกเต๋า ใช้หลักการรวมเข้าและหักออก กับ Stars and Bar ก็ได้ครับ

จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 $ คือ $ {20 \choose 5} $
จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 $ เมื่อมี $ x_i $ 1 ตัวที่กำหนด มีค่ามากกว่า 6 คือ $ {6 \choose 1} {14 \choose 5} $
จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 $ เมื่อมี $ x_i $ 2 ตัวที่กำหนด มีค่ามากกว่า 6 คือ $ {6 \choose 2} {8 \choose 5} $
$ \therefore $ จำนวนวิธีที่ต้องการคือ $ {20 \choose 5} - {6 \choose 1} {14 \choose 5} + {6 \choose 2} {8 \choose 5} = 4332 $

คิดไปคิดมาปรากฎว่าผมยังมองไม่ออกน่ะครับว่า ${6\choose1}{14\choose5}$ กับ ${6\choose2}{8\choose5}$ มันมาได้ยังไง แล้วทำไมอันนึงมันถึงหักออก ส่วนอีกอันรวมเข้าล่ะครับ ขอโทษนะครับถ้านี่เป็นคำถามโง่ๆ

จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 $ โดยที่ $ 0 < x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 < 7 $
= จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 $ โดยที่ $ 0 < x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 $
- จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 $ โดยที่มี $ x_i > 6 $

จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 $ โดยที่ $ 0 < x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 $ คิดตาม Stars and Bar จะได้จำนวนวิธีเป็น $ {20 \choose 5} $ วิธี

จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 $ โดยที่มี $ x_i > 6 $ คิดดังนี้

จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 $ โดยที่ $ x_1 > 6 $ หาได้ด้วยการหัก 6 ออกจาก 21 แล้วนำไปรวมกับ $ x_1 $ เลย จากนั้นคิดตาม Stars and Bar จะได้จำนวนวิธีเป็น $ {14 \choose 5} $ วิธี

ในทำนองเดียวกันกับ จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 $ โดยที่ $ x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 > 6 $ ก็เป็น $ {14 \choose 5} $ วิธี

ดังนั้น จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 $ โดยที่มี $ x_i $ 1 ตัวที่กำหนด มีค่ามากกว่า 6 คือ $ {6 \choose 1}{14 \choose 5} $ วิธี

จำนวนวิธีที่นับได้นี้ ดูเหมือนว่าจะเป็นจำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 $ โดยที่มี $ x_i > 6 $ แต่มันไม่ใช่ เพราะเรามีการนับเกิน เช่น กรณีที่ $ x_1 = 7, x_2 = 8 $ จะถูกนับซ้ำ 2 ครั้ง

ครั้งหนึ่งคือ นับในกรณีที่ $ x_1 > 6 $
และอีกครั้งในกรณีที่ $ x_2 > 6 $

จึงต้องหักกรณีที่นับซ้ำออกไป นั่นก็คือ

จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 $ โดยที่ $ x_1, x_2 > 6 $ หาได้ด้วยการหัก 12 ออกจาก 21 แล้วนำไปรวมกับ $ x_1, x_2 $ ตัวละ $ 6 $ เลย จากนั้นคิดตาม Stars and Bar จะได้จำนวนวิธีเป็น $ {8 \choose 5} $ วิธี

ในทำนองเดียวกันกับ จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 $ โดยที่ $ x_1, x_3 > 6, x_1, x_4 > 6, x_1, x_5 > 6 \ldots $ ก็เป็น $ {8 \choose 5} $ วิธี

ดังนั้น จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 $ โดยที่มี $ x_i $ 2 ตัวที่กำหนด มีค่ามากกว่า 6 คือ $ {6 \choose 2}{8 \choose 5} $ วิธี

จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 $ โดยที่มี $ x_i > 6 $
= จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 $ โดยที่มี $ x_i $ 1 ตัวที่กำหนด มีค่ามากกว่า 6
- จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 $ โดยที่มี $ x_i $ 2 ตัวที่กำหนด มีค่ามากกว่า 6
= $ {6 \choose 1}{14 \choose 5} - {6 \choose 2}{8 \choose 5} $

ดังนั้น จำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของ $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 21 $ โดยที่ $ 0 < x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 < 7 $
= $ {20 \choose 5} - {6 \choose 1}{14 \choose 5} + {6 \choose 2}{8 \choose 5} = 4332 $

หรือหากจะดูจากเฉลยของกร แล้วตีความหมายจาก $ {20 \choose 15} - {6 \choose 1}{14 \choose 9} + {6 \choose 2}{8 \choose 3} $ ก็ได้ จะได้ผลลัพธ์เดียวกัน :)

โอ้ว...คราวนี้เคลียร์จริงๆแล้ว ขอบคุณมากครับ แย่จัง...ผมออกความเห็นอะไรผิดๆเกี่ยวกับข้อนี้ไปเยอะเลย ก็ไม่เคยเรียน combinatorics นี่นา :p

sin 18ฐ = ึ5+1 นี่ พิสูจน์ยังไงครับ :D

sin 18^ฐ =1/(ึ5+1) นะครับ
การพิสูจน์เท่าที่คิดออกตอนนี้ ทำได้ 2 วิธีครับ
วิธีที่ 1: ให้ 5q=3q+2q=90^ฐ
ดังนั้น 2q=90^ฐ- 3q
take cos both sides จะได้
cos 2q=sin 3q
เมื่อจัดรูปใหม่ จนสุดท้ายจะได้ 4x³ -2x²-3x+1=0 เมื่อ x= sinq และหลังจากแก้สมการจะได้

$ \huge x=sin(18^{\circ}) =\frac{\sqrt{5}-1}{4}=\frac{1}{\sqrt{5}+1}$

วิธีที่ 2 ซึ่งไม่ต้องแก้สมการกำลังสาม ก็คือสร้างรูปสามเหลี่ยมที่มีเงือนไขเหมือนโจทย์ข้อ 3 วันแรก จากนั้นก็ใช้วิธีของผม กับคุณ nongtum มา mix รวมกัน ก็จะได้วิธี derive sin18^ฐ อีกอารมณ์หนึ่ง
จากคุณ nongtum จะได้ AB/BC= 1/(2sin18^ฐ) (ใช้สมบัติสามเหลี่ยมหน้าจั่วมาอธิบาย)
และจากผม จะได้ AB/BC= (1+ึ5)/2 (โดย law of sine ผสมกับแก้สมการกำลังสองนิดหน่อย ดังอธิบายไปแล้ว)
ก็จะ derive sin18^ฐ ได้ตามต้องการ