Algebra คืออะไร
 

อยากทราบมากๆว่า Algebra เนี่ย มันเป็นคณิตศาสตร์แนวไหนอ่ะครับ
มันแตกแขนงออกมาจากเรื่องใด หรือว่าเป็นเรื่องเฉพาะของมันเลยอ่ะครับ

ขอบคุณมากครับ

ถ้าตามศัพท์ มันแปลว่า พีชคณิต ครับ. ไม่แน่ใจว่ามันมีรากศัพท์มาจากคำเดียวกับว่า Algorithm หรือเปล่า ถ้าจะให้ความหมายของมันในปัจจุบัน น่าจะให้ได้ยากนะครับ. มันน่าจะเหมือนกับวิชา Trigonometry ซึ่งเดิมเราหมายถึงวิชาว่าด้วยเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม แต่ต่อมามันพัฒนาไปไกลจนคำเดิมไม่ครอบคลุมแล้ว

Algebra ก็น่าจะเป็นไปทางเดียวกับครับ. คำว่าพีชคณิต หมายถึงอะไร น่าจะหมายถึง กระบวนการบวกลบคูณหาร คนในยุคก่อนที่บอกว่าสมัยเด็ก ๆ เรียนพีชคณิต เขาก็รวมความหมายถึง เนื้อหาในหลาย ๆ เรื่องที่เราเรียนตอน มัธยม เช่น พหุนาม , แก้สมการ

ในตำราที่เขียนว่า Algebra ในยุคช่วงปี 1960 - 19?? ก็จะรวมหลาย ๆ เรื่องเข้าไว้ด้วยกัน ตั้งแต่พื้น ๆ คือ เรื่องอัตราส่วน , การแปรผัน แล้วก็เกือบทุกเรื่องที่เรียนในมัธยมครับ. ผมก็ไม่รู้ว่าเขาเอาเกณฑ์อะไรในการใส่เนื้อหา คงใส่ได้หมดตามใจอยากใส่

แต่ต่อมามันพัฒนาไปหลายอย่างที่ได้ยินกันบ่อย ๆ เช่น Linear Algebra ก็ค่อนข้างจะเน้นไปทางนำเมตริกซ์มาประยุกต์ใช้ ซึ่งผมก็ไม่รู้ล่ะครับ ว่าจะให้ความหมายกับมันอย่างไรดี

พีชคณิต(Algebra) แปลตามพจนานุกรมภาษาอังกฤษ จะหมายถึง วิชาซึ่งว่าด้วยการใช้สัญลักษณ์เพื่อแทนปริมาณต่างๆ

ปัจจุบัน Algebra เป็นวิชาหลักของคณิตศาสตร์ครับ มีวิชาในกลุ่มนี้เยอะแยะเลยทีเดียว
1. Abstract Algebra พีชคณิตนามธรรม เป็นวิชาว่าด้วยการศึกษาการดำเนินการแบบนามธรรม(ต่อยอดการดำเนินการที่เราเคยรู้จักในจำนวนจริง เช่น การบวก การคูณ เป็นต้น)
2. Universal Algebra คล้ายๆพีชคณิตนามธรรม แต่จะศึกษาพวกความสัมพันธ์ประเภทการเปรียบเทียบค่า เช่น คุณสมบัติมากกว่า น้อยกว่า ในจำนวนจริง หรือ การหารลงตัว ในจำนวนเต็ม
3. Linear Algebra พีชคณิตเชิงเส้น เป็นวิชาว่าด้วยการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ตอนนี้เป็นส่วนหนึ่งของพีชคณิตนามธรรมไปเรียบร้อยแล้ว
4. Homological Algebra อันนี้ยังไม่เคยเรียนครับ คร่าวๆคือเป็นแขนงวิชาย่อยที่แตกมาจากพีชคณิตนามธรรม จะเอาไว้ช่วยศึกษาวิชา Algebraic Topology อีกที(ดูวิชาลูกผสมข้างล่าง)
5. Lie Algebra เป็นสาขาย่อยของพีชคณิตนามธรรมที่ใส่คุณสมบัติบางอย่างเพิ่มเติมเข้าไป เอาไปประยุกต์ใช้ใน Quantum Theory ของฟิสิกส์ ต้นกำเนิดมาจากการแก้สมการเชิงอนุพันธ์บางประเภทมั้งครับ
6. Boolean Algebra พีชคณิตแบบบูล คนที่เรียน computer science น่าจะคุ้นเคยกันดี อันนี้ก็เป็นสาขาย่อยของพีชคณิตนามธรรม เอาไปประยุกต์ได้หลายอย่างเหมือนกัน ที่เห็นชัดก็คือการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้า
7. K-Theory อันนี้ชื่อไม่มี Algebra แต่ก็เป็นวิชาที่แตกย่อยมาจากพีชคณิตนามธรรม วิชานี้เอาไปอธิบาย String Theory ในฟิสิกส์ทฤษฎี
(Theoretical Physics)

นอกจากนี้ก็มีวิชาลูกผสมอีกหลายวิชา เอามาให้ดูเล่นๆครับ ถ้าอยากรู้จักอย่างลึกซึ้งจริงๆคงต้องเรียนอีกเยอะทีเดียว

1. Algebraic Topology วิชาว่าด้วยการศึกษาโครงสร้างทางพีชคณิตของวัตถุในวิชา Topology (ตัวอย่างง่ายๆคือรูปทรงในเรขาคณิต พวกที่มีรูจะน่าสนใจเป็นพิเศษ) วิชานี้ก้าวล้ำจินตนาการไปเยอะทีเดียวครับ
2. Algebraic Number Theory เป็นการศึกษาวิชาทฤษฎีจำนวนโดยใช้พีชคณิต จะว่าไปแล้วก็คือทฤษฎีจำนวนที่ต่อยอดมาจากเซตของจำนวนเต็ม (เปลี่ยนจากเซตของจำนวนเต็มเป็นเซตใดๆที่มีคุณสมบัติใกล้เคียงกับจำนวนเต็ม เช่น Z[i] = เซตของจำนวนเชิงซ้อนซึ่งอยู่ในรูป a+bi เมื่อ a,b เป็นจำนวนเต็ม เรียกว่า Gaussian Integers)
3. Algebraic Geometry อันนี้ก็ศึกษาเรขาคณิตโดยใช้พีชคณิตเข้ามาช่วย ยังไม่ทราบรายละเอียดเท่าไหร่(ปีหน้าค่อยเรียน :D ) แต่เห็นแว้บๆว่ามีพวก Elliptic curve ซึ่ง Andrew Wiles เอาไปใช้พิสูจน์ Fermat's Last Theorem ด้วย
4. Algebraic Varieties อันนี้ศึกษาพีชคณิตโดยใช้อย่างอื่นมาร่วมด้วย เช่น Topology เป็นต้น ต่างกับ Algebraic Topology ตรงที่วิชานี้จะเน้นพีชคณิตมากกว่า ที่ผมเรียนตอนนี้ยังเป็นแค่หัวข้อพิเศษทางพีชคณิตอยู่เลย แต่ก็เห็นมีคนเขียนหนังสือมาให้อ่านแล้วคิดว่าคงจะพัฒนาเป็นวิชาเร็วๆนี้ หรือที่อื่นอาจจะมีการเรียนการสอนเป็นวิชาไปแล้วมั้งครับ

สุดยอดวิชาที่นักคณิตศาสตร์กำลังศึกษาและพัฒนาอยู่ก็คือ Category Theory เป็นวิชาว่าด้วยการจัดหมวดหมู่วัตถุทางคณิตศาสตร์ทุกชนิด คล้ายๆกับอนุกรมวิธาน(Taxonomy) ในชีววิทยาครับ

โอ้ ข้อมูลแน่นจริงๆคับ คุณ nooonuii เรียนที่ไหนเหรอคับ pure math รึเปล่าคับ ปีไรคับ(ไม่ได้จะจีบนะ :D อยากรู้เฉยๆ)

ผมเรียน math อยู่ครับคุณเปาบุ้นจิ้น(ใช่ป่ะ) มาเรียนที่ีนี่ได้เกือบปีแล้วกำลังเรียนอยู่ที่ University of Maryland ครับ

เนื้อหาแน่นมาก ๆ ครับ. นี่สินักพีชคณิตตัวจริง อนาคตอันใกล้เราก็จะได้ นักพีชคณิต มาเขียนตำราให้ปวดหมองเล่นกัน ภาษาอังกฤษเรียกว่าอะไรนะ Algebranist หรือเปล่า.

เรียกว่่า Algebraicist ครับ :D

Sorry they are called algebraist.

อืมใช่จริงๆด้วยคับ Algebraist ตกอังกฤษครับผม ขอบคุณครับ

ขอบพระคุณทุกท่านมากๆครับ ที่ให้ความกระจ่าง

ขอถามคุณ nooonuii เรื่องเรียนต่อ math หน่อยนะครับ คืออยากทราบว่าอย่างที่
คุณ nooonuii ไปต่อทาง algebra เนี่ย ยังต้องมีการเรียนและ/หรือสอบทางด้าน
analysis อีกมั้ยครับ หรือว่าพอไปถึงก็เรียนดิ่งเข้า algebra อย่างเดียวเลย

อ้อ...อีกเรื่องคือที่พูดถึง Algebraic Varieties นี่ใช่อันที่ต้องมีเรียนเกี่ยวกับที่เค้า
เรียก Nullstellensatz รึเปล่าครับ หรือมันคนละเรื่องกันเลย ผมคิดว่า Algebraic
Varieties เนี่ยมันเป็นส่วนหนึ่งของ Algebraic Geometry มั้งครับ :rolleyes:
แหะๆ...ผมก็พยายามจะแจมนะเนี่ยแต่ยังสับสนอยู่มาก แล้วไปถึงปีแรกนี่ก็เริ่มเรียน
Algebraic Varieties เลยเหรอครับ...เก่งจัง :D

คุณnooonuii
ไม่เห็นยอมมาตอบเลยฮะ ผมก็อยากรู้เหมือนกัน
ช่วยตอบเป็นวิทยาทานให้กับรุ่นน้องๆด้วยนะครับ

อ่า โทษทีครับ ผมคิดว่าไม่มีคำตอบเพิ่มเติมเลยไม่ได้เข้ามาอ่าน

จริงๆต้องเรียนทั้งสาย analysis และ topology ด้วยครับ เพราะต้องเอาไปสอบ qualify อย่างเทอมที่แล้ว(เพิ่งสอบเสร็จเมื่อวานครับ)ผมก็เรียน ทั้ง Abstract Algebra, Complex Analysis, Topology

ส่วน Algebraic Variety น่าจะเป็นส่วนหนึ่งของ Algebraic Geometry ครับ ซึ่งผมอาจจะเรียนปีหน้าเพราะต้องเรียนวิชาพื้นฐานก่อน ผมก็ยังไม่รู้รายละเอียดซักเท่าไหร่ครับแต่คิดว่าน่าจะสนุกครับ :)

ขอบคุณสำหรับคำตอบครับ สงสัยต้องเรียนอย่างนี้เหมือนกันหมดเป็นสากล

Algebra is one of the broad parts of mathematics, together with
number theory, geometry and analysis.

In its most general form, algebra is the study of mathematical symbols and
the rules for manipulating these symbols;[3]
it is a unifying thread of almost all of mathematics.[4]
It includes everything from elementary equation solving to the study of abstractions
such as groups, rings, and fields.
The more basic parts of algebra are called elementary algebra;
the more abstract parts are called abstract algebra or modern algebra.

Abstract algebra is a major area in advanced mathematics,
studied primarily by professional mathematicians.

Wiki