อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133
NT
1.ให้pเป็นจำนวนเฉพาะที่หารด้วย4แล้วไม่เหลือเศษ3 จงแสดงว่ามีจำนวนเต็ม a,b ที่ทำให้
$a^2+b^2$ หารด้วยpลงตัว โดยที่ a,b หารด้วยpไม่ลงตัว
|
ใช้ Lemma จากในนี้ครับ
พิสูจน์ ช่วยหน่อยครับ
นั่นคือ สำหรับจำนวนเฉพาะใดๆ,
$$\Big[ \Big( \frac{p-1}{2} \Big) ! \Big] ^2 \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} \pmod{p}$$
แต่เพราะ $p \equiv 1 \pmod{4}$ เท่านั้น แสดงว่า
$$\frac{p+1}{2} \equiv 1 \pmod{2}$$
ดังนั้น
$$\Big[ \Big( \frac{p-1}{2} \Big) ! \Big] ^2 \equiv -1 \pmod{p}$$
$$\Big[ \Big( \frac{p-1}{2} \Big) ! \Big] ^2 +1^2 \equiv 0 \pmod{p}$$
แสดงว่ามีจำนวนเต็ม $a=\Big( \dfrac{p-1}{2} \Big) !$ และ $b=1$ ที่โจทย์ต้องการ
ส่วนในกรณีที่ $p=2$ ก็ใช้ $a=b=1$ ได้ครับ (ลืมไปว่าโจทย์ไม่ได้กำหนดว่าเป็นจำนวนเฉพาะคี่
)