อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
12. จงสร้างการดำเนินการทวิภาค * บนช่วงเปิด (0,1) ซึ่งทำให้ G = ( (0,1) , * ) เป็น group โดยที่สมาชิก $x\in G$ มี inverse คือ $1 - x$
|
ขอแก้มือข้อ 12. อีกทีครับ
แนวคิดที่ผมใช้คราวนี้คือ เลือกเอา
homeomorphism $f: (0,1) \to \mathbb R$ มาใช้เป็น group homomorphism $f: ((0,1),*) \to (\mathbb R,+) $ ซึ่งจะทำให้เราได้ว่า $$ x*y = f^{-1}(f(x)+f(y)) $$ อย่างเช่น ถ้าให้ $$ f(x)= \frac{2x-1}{2x(1-x)} $$ ดังนั้นเราได้ $$ f^{-1}(y) = \cases{ \frac{y-1+ \sqrt{y^2+1} }{2y} & , y \ne 0 \\ \frac12 & , y=0 } $$ ถ้าใครว่างจะลอง (ใช้ symbolic package) หาเป็น explicit formula สำหรับ $x*y$ ในกรณีนี้ดูก็ได้นะครับ
หรือจะให้ $f(x)= \tan(x-\frac12)\pi$ ก็ใช้ได้เช่นกันครับ
ยังไงคุณ nooonuii ช่วย ปรับปรุง/แก้ไข คำอธิบายของผม ให้เป็นภาษาคณิตศาสตร์ (ขั้นสูง) ที่ถูกต้องด้วยนะครับ