โจทย์ชวนคิดเกี่ยวกับเซ็ต

[warut]

ให้ A เป็น subset อันนึงของ N = { 0, 1, 2, 3, ... }
กำหนดให้ A + A = { a + b | a, b ฮ A } และ A - A = { a - b | a, b ฮ A }
ถามว่า ถ้า A + A = N แล้วจำเป็นไหมว่า A - A จะต้องเท่ากับ Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }

[gon]

ถ้ามีอะไรที่มันเกี่ยวข้องกับ ขนาดของเซตอนันต์ อันนี้ผมคงตอบไม่ถูกแน่ ๆ เพราะไม่มีความรู้เรื่องนี้
แต่เท่าที่ดูแบบง่าย ๆ ถ้า A + A = N แสดงว่า A = N ดังนั้น A - A = Z เห็น ๆ
แต่ถ้าให้เดา คงตอบว่าไม่ ไม่งั้นคุณ warut คงไม่มาตั้ง สรุปผมตอบว่าจำเป็น

[warut]

อธิบายเพิ่มอีกนิดนึงนะครับ เพื่อให้เข้าใจโจทย์เพิ่มขึ้น

ให้ A = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, ... } คือขาด 3 ไปตัวเดียว
จะเห็นว่า A + A = N แม้ว่า A น N (และในกรณีนี้ A - A = Z อีกด้วย)

ไม่ครับ...ข้อนี้ไม่เกี่ยวกับเรื่อง cardinality อะไรยากๆพวกนั้นหรอกครับ

จากเงื่อนไขดังกล่าว สรุปได้ว่า
1) A เป็นเซตอนันต์
2) A ต้องมี 0 และ 1 เป็นสมาชิก

สมมติว่า "ไม่จำเป็น" ไม่งั้นคุณ warut คงไม่เอามาถาม ดังนั้นจะมี -m และ m ที่ไม่อยู่ใน A-A แต่ยังทำให้ A+A = N ได้
หรือจะมี A ที่ผลต่างของสมาชิกใดๆ ไม่เท่ากับ m และยังทำให้ A+A = N ได้

สรุปว่า หากผมสร้างเซต A ดังกล่าวขึ้นมาได้ ก็แสดงว่ามัน "ไม่จำเป็น" ลองเลือก m = 10 มาทดสอบ พบว่า

ผลบวกของสมาชิก 2 ตัวใดๆในเซต {0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 13} U {20n, 20n+1, 20n+2, 20n+4, 20n+6, 20n+7, 20n+8, 20n+9, 20n+13} สร้างตัวเลขได้ตั้งแต่ 0 - 19 และ 20n - (20n+19)

รายละเอียดของตัวเลขที่สร้าง ตั้งแต่ 20n - (20n+19) เป็นดังนี้
20n, 20n+1, 20n+2, (20n+2)+1, 20n+4, (20n+4)+1, 20n+6, 20n+7, 20n+8, 20n+9, (20n+9)+1, (20n+9)+2, (20n+8)+4, (20n+7)+6, (20n+7)+7, (20n+7)+8, (20n+7)+9, (20n+8)+9, (20n+9)+9, (20n+13)+6

ดังนั้น A = U {20n, 20n+1, 20n+2, 20n+4, 20n+6, 20n+7, 20n+8, 20n+9, 20n+13} เมื่อ n = 0, 1, 2, 3, ... จึงทำให้ A+A = N ได้

เนื่องจาก ผลต่างของตัวเลข 2 ตัวใดๆใน {20n, 20n+1, 20n+2, 20n+4, 20n+6, 20n+7, 20n+8, 20n+9, 20n+13} ไม่มีค่าใดเป็น 10
ผลต่างของตัวเลข 2 ตัวใดๆ ที่ค่า n ติดกันก็ไม่เป็น 10 รวมทั้งในกรณีที่ n ไม่ติดกันจะได้ ผลต่างมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 20 อีกด้วย

แสดงว่าไม่มีผลต่างของตัวเลข 2 ตัวใดๆใน U {20n, 20n+1, 20n+2, 20n+4, 20n+6, 20n+7, 20n+8, 20n+9, 20n+13} เลยที่เป็น 10 ดังนั้น 10 และ -10 ไม่เป็นสมาชิกของ A-A

A-A จึงไม่จำเป็นต้องเท่ากับ Z

[nooonuii]

ขอเล่นด้วยคนครับ

1. จงสร้างฟังก์ชันชนิด 1-1 และทั่วถึงจากเซตต่อไปนี้ไปยังเซตของจำนวนจริง R

(0,1), (0,1], [0,1), [0,1]

2. ถามต่อสำหรับคนที่รู้จักวิชา topology ครับ ว่า เราสามารถสร้าง homeomorphism จากเซตเหล่านี้ไปยัง R ได้หรือไม่

1) หากพิจารณาเฉพาะโดเมนในช่วงของ (0,1) มีหลายฟังก์ชันเช่น tan(pi(x-0.5)), (x-0.5)/(x(x-1)) (ฟังก์ชันเศษส่วน ที่เขียนในรูปผลคูณของ พหุนามดีกรีหนึ่ง มีมากมายเลยครับ เช่น (x-0.5)/(x^2m-1 (x-1)^2n-1) เมื่อ m,n เป็นสมาชิกของ {1, 2, 3, ...} )

[warut]

คุณคิดด้วยคน ตอบได้ถูกต้องแล้วครับ ตัวอย่างก็ดีด้วย แถมยังอธิบายละเอียดดีมากเลยครับ
จะได้เป็นประโยชน์กับผู้สนใจทุกๆคน

คราวนี้ขอถามต่อนะครับ ตอนนี้เรารู้แล้วว่าถ้า A + A = N แล้ว A - A ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ Z
ถามต่อว่า แล้วเป็นไปได้ไหมที่ผลต่างของ Z กับ A - A จะเป็นเซ็ตอนันต์

ส่วนคำถามของคุณ nooonuii นี่คิดว่าเป็นโจทย์มาตรฐานที่จะพบเห็นได้เสมอๆในการเรียน
ระดับสูง ซึ่งถ้าผมเคยมีความรู้อยู่บ้าง มันก็คงโดนผมจับลงหม้อถ่วงก้นมหาสมุทรไปหมดแล้ว
แต่นั่นก็ไม่ใช่เหตุผลที่จะมาหยุดผมไม่ให้มาเสนอหน้าออกความเห็นต่อไปนี้ได้หรอกครับ

ข้อ 1. เนื่องจากทุกเซ็ตมี cardinality เท่ากันหมดก็แสดงว่าจะต้องมีฟังก์ชัน 1-1 และ onto
ที่ map จากเซ็ตหนึ่งไปยังอีกเซ็ตหนึ่งแน่ๆ แต่จะหา explicit function ออกมาได้มั้ย (นอกจาก
กรณี (0, 1) ที่คุณคิดด้วยคนทำไปแล้ว) แล้วถ้าหาได้ มันจะมีหน้าตาเป็นไง นี่สิ...ไม่รู้ครับ

ข้อ 2. (0, 1) @ R ด้วยฟังก์ชันของคุณคิดด้วยคน ส่วน (0, 1] ไม่ homeomorphic กับ R
ด้วยเหตุผลทำนองว่า ถ้าเราเอาจุดๆหนึ่งออกไปจาก R มันจะไม่เป็น connected set
อีกต่อไป แต่ในกรณีของ (0, 1] ถ้าเราเอาจุด {1} ออกไปมันก็ยังเป็น connected set อยู่
ส่วนอีก 2 กรณีที่เหลือก็คงทำคล้ายๆกรณีหลังมั้งครับ มั่วได้เต็มที่แค่นี้แหละครับ
ผู้อ่านโปรดใช้วิจารณญาณประกอบด้วย

ใครทำได้ก็มาทำให้ดูหน่อยนะครับ ถ้าไม่มีใครทำคุณ nooonuii ก็ช่วยมาเฉลยให้ด้วยนะครับ
เพราะผมก็อยากรู้คำตอบของทั้งสองข้อจริงๆ

แต่ตอนนี้ขอตัวไปดู "8 เทพอสูรมังกรฟ้า" ก่อนล่ะ

เป็นไปได้ครับ ที่ผลต่างของ A-A กับ Z จะเป็นเซตอนันต์ ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดก็คือ เซต A ที่ผมได้สร้างไว้แล้วนั่นเอง แต่ผมได้กล่าวเฉพาะค่า -10 และ 10 เท่านั้นที่ไม่ได้รวมอยู่ใน Z

หากเราพิจารณา A = U {20n, 20n+1, 20n+2, 20n+4, 20n+6, 20n+7, 20n+8, 20n+9, 20n+13} ให้ดีๆจะพบว่า ค่าของ
(20n+9)+1, (20n+9)+2, (20n+8)+4, (20n+7)+6, (20n+7)+7, (20n+7)+8, (20n+7)+9, (20n+8)+9, (20n+9)+9, (20n+13)+6 ล้วนเป็นค่าที่เกิดจาก ผลรวมของสมาชิก 2 ตัวของ A ทั้งสิ้น หรือพูดง่ายๆก็คือ ค่าเหล่านี้ไม่ได้เป็นสมาชิกของเซต A นั่นเอง

และรูปแบบของค่าที่ไม่ได้เป็นสมาชิกของเซต A เหล่านี้คือ
{20n, 20n+1, 20n+2, 20n+3, 20n+4, 20n+5, 20n+6, 20n+7, 20n+8, 20n+9} + 10 + 20m เมื่อ m = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

แสดงให้เห็นว่า หากเราเลือกสมาชิกของเซต A ออกมาหนึ่งตัว สมมติว่าเป็น a จะได้ว่า a + 10 + 20m เมื่อ m = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... ล้วนไม่เป็นสมาชิกของเซต A ทั้งสิ้น จึงไม่มีผลต่างของสมาชิก 2 ตัวใดๆในเซต A ที่มีค่าเป็น 10 + 20m เมื่อ m = 0, 1, 2, 3, ... และค่าดังกล่าวนี้มีเป็นอนันต์ จึงสรุปได้ว่า ผลต่างของ A-A กับ Z เป็นเซตอนันต์ได้

แก้ไขข้อความบางส่วนเป็น

หากเราพิจารณา A = U {20n, 20n+1, 20n+2, 20n+4, 20n+6, 20n+7, 20n+8, 20n+9, 20n+13} ให้ดีๆจะพบว่า ค่าของ
(20n+9)+1, (20n+9)+2, (20n+8)+4, (20n+1)+2, (20n+7)+7, (20n+7)+8, (20n+7)+9, (20n+8)+9, (20n+9)+9, (20n+13)+6 ล้วนเป็นค่าที่เกิดจาก ผลรวมของสมาชิก 2 ตัวของ A ทั้งสิ้น หรือพูดง่ายๆก็คือ ค่าเหล่านี้ไม่ได้เป็นสมาชิกของเซต A นั่นเอง

และรูปแบบของค่าที่ไม่ได้เป็นสมาชิกของเซต A เหล่านี้คือ
{20n, 20n+1, 20n+2, 20n+13, 20n+4, 20n+5, 20n+6, 20n+7, 20n+8, 20n+9} + 10 + 20m เมื่อ m = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

[warut]

คุณคิดด้วยคนตอบได้ครบถ้วนสมบูรณ์แบบแล้วครับ

เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้นผมช่วยเขียนเป็น diagram ให้ดังนี้ครับ

ให้ตัวเลขข้างล่างนี้แทนเลขตั้งแต่ 20n ถึง 20n + 19 (เช่น 4 แทน 20n + 4 เป็นต้น)
\[\matrix{\underline{0}&\underline{1}&\underline{2}&3&\underline{4}
&5&\underline{6}&\underline{7}&\underline{8}&\underline{9}\\
10&11&12&\underline{13}&14&15&16&17&18&19}\]
เลขที่ขีดเส้นใต้แทนเลขที่อยู่ใน A
ส่วนเลขที่ไม่ได้ขีดเส้นใต้หมายถึงเลขที่ไม่ได้อยู่ใน A (แต่อยู่ใน A + A)
จะเห็นได้ชัดว่าไม่มีทางที่จะเกิดผลต่างของเลข 2 จำนวนใน A ที่เท่ากับ 10, 30, 50, ... ได้เลย

ป.ล. ผมเพิ่งมาสังเกตเห็นว่าเราไม่จำเป็นต้องให้ 20n + 8 อยู่ใน A ก็ได้ครับ

[nooonuii]

ข้อ 2) คุณ warut ตอบได้เคลียร์แล้วครับ

เราเรียกจุดซึ่งเมื่อตัดออกจาก topological space ใดๆแล้วทำให้เซตใหม่ที่ได้เป็น disconnected set ว่า cut point ครับ ซึ่งคุณสมบัตินี้จะ preserve ภายใต้ฟังก์ชันต่อเนื่อง
จึงสามารถใช้จำแนก topological space ได้

จะเห็นว่าสามเซตนี้ [0,1) , (0,1], [0,1] มีจุดปลายที่ไม่เป็น cut point อยู่ ในขณะที่ทุกจุดใน R จะเป็น cut point ทั้งหมด ดังนั้นเราจะได้ว่าทั้งสามเซตนี้ไม่ homeomorphic กับ R ครับ

สำหรับเซต [0,1] เราอาจจะใช้ความจริงที่ว่าเซตนี้เป็น compact set ก็ได้ครับ ในขณะที่ R ไม่ใช่ compact set

ส่วนข้อ 1) กำลังรอคุณ คิดด้วยคน มาเฉลยครับ คิดว่าคงแอบไปซุ่มคิดอยู่แน่ๆ

คุณ warut ครับ ปัญหา A-A มันมีเหตุผลที่ง่ายกว่า การหาตัวอย่างมาค้านไหมครับ หรือพอจะมีตัวอย่างที่ง่ายกว่ารึเปล่า

ฟังก์ชันสำหรับ map จาก [0,1) หรือ (0,1] ไปยัง R ยังไม่ได้เขียนออกมาว่าสมการเป็นยังไง แต่พอจะอธิบาย ถึงหน้าตาของกราฟคร่าวๆที่คิดออก สำหรับกรณี [0,1) ได้ดังนี้ (สำหรับกรณี (0,1] ก็ทำคล้ายๆกัน)
1. เริ่มจากวาดกราฟของฟังก์ชัน
g(x) = -x/(x-0.5) ในช่วงโดเมน [0,0.5) และเรนจ์ [0, infinity)
และ h(x) = x/(x-0.5) ในช่วงโดเมน (0,0.5) และเรนจ์ (0, -infinity)
2. ตัดกราฟของฟังก์ชัน g(x) และ h(x) ออกเป็นส่วนๆ ให้ค่อยๆเล็กลงไปทีละครึ่ง ดังนี้
ชิ้นส่วนของกราฟ g(x) ชิ้นที่ n จะอยู่ในช่วงโดเมน [ 0.5(1 - 0.5ⁿ) , 0.5(1 - 0.5^{n + 1}) )
ชิ้นส่วนของกราฟ h(x) ชิ้นที่ n จะอยู่ในช่วงโดเมน ( 0.5(1 - 0.5ⁿ) , 0.5(1 - 0.5^{n + 1}) ]
เมื่อ n = 0, 1, 2, 3, ...
จะได้จำนวนชิ้นส่วนของกราฟ g(x) และ h(x) เป็นอนันต์
3. สมมติว่า g_m และ h_n คือชิ้นส่วนของกราฟ g(x) และ h(x) ชิ้นที่ m และ n ตามลำดับ เมื่อ m,n = 0, 1, 2, 3, ...
ก็ให้เรานำชิ้นส่วนต่างๆของกราฟ g(x) และ h(x) มาวางเรียงสลับกันจากตำแหน่ง 0 บนเส้นจำนวน ไปหา 1 ดังนี้
g₀, h₀, g₁, h₁, g₂, h₂, g₃, h₃, ...
โดยชิ้นส่วนของกราฟ h(x) ทุกอันให้กลับซ้ายขวาด้วย ก็จะได้กราฟของฟังก์ชันที่เราต้องการ

[warut]

ขอบคุณครับคุณ nooonuii ที่ช่วยมาอธิบายเพิ่มอย่างละเอียด เป็นการกระทุ้ง
ต่อมความจำของผมและยังเพิ่มพูนความรู้ใหม่ๆให้อีกด้วย ว่างๆผมว่าจะไปขุด
โจทย์ประเภทแบบฝึกหัด-การบ้านที่ผมยังทำไม่ได้อีกเป็นตันๆมาขอคำชี้แนะจาก
คุณ nooonuii ดีกว่า...โอกาสทองมาถึงแล้วต้องรีบฉกฉวยไว้

ตอบคุณคิดด้วยคนเรื่องโจทย์ของผมนะครับ โจทย์อันนี้เป็นโจทย์ที่นักคณิตศาสตร์
เค้าถกกันเมื่อปลายปีที่แล้วน่ะครับ ผมเห็นว่ามันไม่ต้องใช้ความรู้ขั้นสูงอะไรก็ทำได้
เพียงแต่ต้องคิดหน่อยเท่านั้นเอง และโจทย์นี่ก็คงไม่ใช่โจทย์มาตรฐานทั่วไป...คง
ไม่มีใครเห็นมาก่อน แต่ที่เพิ่งเอามาถามส่วนหนึ่งเป็นเพราะลังเลครับ...กลัวว่าจะ
ไม่มีใครเล่น (=โจทย์เป็นหมัน) โชคดีที่ยังมีคุณคิดด้วยคนมาติดกับคนนึง

คนถามโจทย์นี้คือ Robin Champman ครับ ถามเสร็จก็มีคนตอบเยอะแยะเลย
ทุกคนก็ใช้วิธียกตัวอย่างค้านหมด อันที่ง่ายที่สุดน่าจะเป็น modulo 12 อันนี้ครับ
\[A=\{x\in N\mid x\equiv0,1,2,4,5,9\pmod{12}\}\]
ซึ่งเราจะพบว่า
\[\{x\in\mathbb Z\mid x\equiv6\pmod{12}\}\notin A-A\]

ส่วนเรื่องการหา bijection ระหว่าง (0, 1] กับ R นี่ผมลองพยายามทำดูโดยใช้
Schröder-Bernstein Theorem ผลออกมายุ่งยากไม่สวยเลย มันเกี่ยวข้องกับ
กระบวนการที่ต้องทำซ้ำวนไปเรื่อยๆ คล้ายๆกับของคุณคิดด้วยคนมั้ง (แต่ผมยัง
ไม่ได้อ่านละเอียดนะครับ) เลยต้องยอมแพ้ไป...ปวดหัว

[aaaa]

แนวคิดข้อ 1) ของคุณ nooonuii ผมว่าน่าจะแบ่งช่วง
\[
(0,1]=\bigcup_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\right]:=\bigcup_{n=1}^\infty I_n
\]
และ
\[
\mathbb{R}^+=\bigcup_{n=1}^\infty\left(n-1,n\right]:=\bigcup_{n=1}^\infty J_n
\]
แล้วหา bijective maps \( f_n:I_n\to J_n\)

[warut]

โอ้ว...สุดยอด ขอบคุณคุณ aaaa มากๆครับที่แวะมาช่วยชี้ทางสว่างให้

เสร็จแล้วเราก็ใช้ bijection ที่ส่ง R⁺ ไปยัง R เช่น log (มี rational function
ที่ทำหน้าที่อันนี้ได้บ้างเปล่า?) ก็เป็นอันเรียบร้อย

ที่มันต้องยุ่งยากแบบนี้ก็เพราะ (0, 1] ไม่ homeomorphic กับ R