พิสูจน์สูตรสถิติ เรื่องมัธยฐาน

GunUltimateID · #1 02 เมษายน 2009, 14:32

มีข้อมูล $x_1 , x_2 ,x_3,...,x_n$
ค่า c ที่ทำให้ $\sum_{n = 1}^{n} \left|\,\right.x_n-c\left|\,\right.$ มีค่าน้อยที่สุด
คือ c = มัธยฐานของข้อมูลนั้น

พิสูจน์ยังไงหรอครับ

Love math · #2 02 เมษายน 2009, 15:28

หาตำแหน่งของมัธยฐานโดยใช้สูตร
(n+1)/2

Onasdi · #3 02 เมษายน 2009, 16:08

ผมจะพิสูจน์กรณี $n=3$ ให้ดูนะครับ เผื่อจะได้ไอเดีย

ให้ $x_1\le x_2\le x_3$ ต้องการหา $c$ ที่ทำให้ $|c-x_1|+|c-x_2|+|c-x_3|$ มีค่าน้อยที่สุด
ผมจับคู่พจน์แรกกับพจน์ที่สามครับ ก็คือหา $c$ ที่ทำให้ $|c-x_1|+|c-x_3|$ มีค่าน้อยที่สุด
สังเกตว่า $|c-x_1|+|c-x_3|$ คือผลรวมของระยะห่างจาก $c$ ไปยัง $x_1$ และ $x_3$
นึกภาพนะครับ ถ้า $c$ อยู่ระหว่าง $x_1$ กับ $x_3$ จะได้ $|c-x_1|+|c-x_3|$ เป็นค่าคงที่เสมอ ค่าคงที่นั้นคือ $x_3-x_1$
แต่ถ้า $c\notin [x_1,x_3]$ จะเห็นว่า $|c-x_1|+|c-x_3|$ มีค่ามากกว่า $x_3-x_1$ เสมอ
ดังนั้นค่า $c$ ที่ทำให้ $|c-x_1|+|c-x_3|$ มีค่าน้อยที่สุด คือ $c$ ที่อยู่ในเซต $[x_1,x_3]$
ชัดเจนว่าค่า $c$ ที่ทำให้ $|c-x_2|$ มีค่าน้อยที่สุด คือ $x_2$

ดังนั้นคำตอบคือ $c=x_2$

gon · #4 02 เมษายน 2009, 23:58

มีได้หลายค่านะครับ อย่าลืม

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=691

ปล. ใช้ IE ดูจะเห็นสัญลักษณ์แบบเก่าที่ไม่ได้ใช้ Latex ครับ.

GunUltimateID · #5 03 เมษายน 2009, 14:22

ขอบคุณครับ