สงสัยเรื่องค่าต่ำสุด

[WiZz]

ในวิชาสถิติ เค้าบอกว่า S |x_i - b|จะมีค่าน้อยที่สุดเมื่อ b=Median อยากรู้ว่าเค้าพิสูจน์ยังงัยอะคับ

[gon]

ข้อความข้างต้นที่เขียนมาแปลความไม่ถูกต้องนะครับ. ที่ถูกเขียนได้ 2 แบบคือ

1) S | x_i - Me | มีค่าน้อยที่สุด หรือ
2) S | x_i - a |ณ S | x_i - Me | ทุกจำนวนจริง a

เช่น ถ้ามี 2 ตัว คือ 1, 5 จะได้ว่า Me = 3 และ S | x_i - Me | = 2 + 2 = 4

ในขณะเดียวกันถ้าเลือก a = 2 ก็จะได้ว่า S | x_i - a |= 1 + 3 = 4

หรือ เลือก a = 4 จะได้ S | x_i - a |= 3 + 1 = 4
หรือ เลือก a = 2.5 จะได้ S | x_i - a |= 1.5+ 2.5 = 4

กล่าวคือโดยทั่วไป ถ้าเลือก a = k - 1 เมื่อ 1 ฃ k ฃ 5 ก็จะได้ว่า S | x_i - a |= k - 1 + 5 - k = 4

[gon]

ส่วนการพิสูจน์ รู้สึกว่าจะเขียนให้สวยลำบาก ใครมีแนวคิดที่จะเขียนให้สวย ๆ ก็ช่วยเขียนด้วยล่ะกันนะครับ.

ในที่นี้จะพิสูจน์กรณีเฉพาะอย่างง่าย กล่าวคือ เมื่อ n เป็นจำนวนคี่บวก คือ n = 5 จะได้ ดังรูป

[gon]

ต่อ

[gon]

New Proof. !!!

ความรู้พื้นฐาน อสมการสามเหลี่ยม | a + b | ฃ | a | + | b |

โดยไม่เสียนัยสำคัญจะสมมติให้ x₁ ฃ x₂ ฃ ... ฃ x_n

กรณีที่ 1 : n ฮ คี่
ในที่นี้ Me = x_{(n + 1)/2}

RHS. : S | x_i - Me | = (Me - x₁) + (Me - x₂) + ... + (Me - x_{(n - 1)/2}) + (Me - x_{(n + 1)/2}) + (x_{(n + 3)/2} - Me)+ (x_{(n + 5)/2} - Me) + ... + (x_n - Me)
= (x_n - x₁) + (x_{n - 1} - x₂) + ... + (x_{(n + 3)/2} - x_{(n - 1)/2})

Note : Me - x_{(n + 1)/2} = 0

LHS. | x₁ - a | + | x_n - a | = | a - x₁ | + | x_n - a | ณ | x_n - x₁ | = x_n - x₁

สรุป : (1) | x₁ - a | + | x_n - a | ณ x_n - x₁
ทำนองเดียวกัน (2) | x₂ - a | + | x_{n - 1} - a | ณ x_{n - 1} - x₂
......................
((n-1)/2) | x_{(n - 1)/2} - a | + | x_{(n + 3)/2} - a | ณ x_{(n + 3)/2} - x_{(n - 1)/2}

Note : พจน์กลางไม่มีคู่ให้จับ คือ | x_{(n + 1)/2} - a | = | x_{(n + 1)/2} - a | ทิ้งไว้แบบนี้ล่ะ

(1) + (2) + ... + ((n-1)/2) :
S | x_i - a | = (x_n - x₁ ) + (x_{n - 1} - x₂ ) + ... + (x_{(n + 3)/2} - x_{(n - 1)/2} ) + | x_{(n + 1)/2} - a | = S| x_i - Me | + | x_{(n + 1)/2} - a | ณ S| x_i - Me |

กรณีที่ 2 n ฮ คู่ ก็พิสูจน์ในทำนองเดียวกัน ง่ายกว่าด้วยซ้ำ เพราะครบคู่พอดี

[WiZz]

ขอบคุณมากนะครับ นึกไม่ถึงว่าจะพิสูจน์แบบนี้ได้นะคับ
ตอนแรกผมนึกว่าจะใช้การ diff มาพิสูจน์ แต่คิดเท่าไหร่ก้อยังไม่ออกคับ

[nooonuii]

ผมก็พยายามคิดแบบวิธีของพี่ gon ครับแต่ติดกลางทางเลยหยุดคิดไป ส่วนที่บอกว่าจะเอาแคลคูลัสมาคิดผมว่าคงยากครับเพราะโจทย์เป็นค่าสัมบูรณ์ซึ่งแคลคูลัสใช้ไม่ค่อยได้ผล หรือถ้าจะใช้ก็ต้องถอดค่าสัมบูรณ์ออกซึ่งยุ่งกว่าวิธีของพี่ gon แน่ๆ