ช่วยเฉลยหน่อยครับ2: x!+y!=z!

[poon suankularb 130]

1.จงหาผลเฉลยของสมการ x!+y!=z!
แล้วถ้าใครมี ข้อสอบ imo ปี2541 ช่วยโพสให้ด้วยครับ ขอบคูณครับ

Edit หัวข้อให้ชัดเจนกว่าเดิมครับ

[Necron]

ผมไม่แน่ใจนะครับ
x=1
y=0
z=2

1+1=2

[noghmi]

x=0 y =0 z=2 ก็ได้นี่ครับ

[Mastermander]

Set (x,y,z)=
(1,1,2)
(1,0,2)
(0,1,2)
(0,0,2)

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ poon suankularb 130:
1.จงหาผลเฉลยของสมการ x!+y!=z!

กรณีที่ 1: $x=y$
แบ่งเป็น 3 กรณีย่อยคือ

กรณีที่ 1.1: $z=x+1$
แก้สมการแล้วจะได้คำตอบคือ $(x,y,z)=(1,1,2)$

กรณีที่ 1.2: $z=x+2$
แก้สมการแล้วจะได้คำตอบคือ $(x,y,z)=(0,0,2)$

กรณีที่ 1.3: $z\ge x+3$
เอา $x!$ หารตลอดสมการโจทย์ เราจะได้ว่า $$2=\frac{z!}{x!}\ge(x+1)(x+2)(x+3)$$ ดังนั้นในกรณีนี้จึงไม่มีคำตอบ

กรณีที่ 2: $x\ne y$
โดยไม่เสียนัยเราสมมติให้ $y>x$ แล้วแยกพิจารณาเป็น 2 กรณี

กรณีที่ 2.1: $y=x+1$
ดังนั้น $z\ge x+2$ และเราจึงได้ว่า $$ \frac{x!+y!}{x!} = x+2 = \frac{z!}{x!} \ge (x+1)(x+2) $$ นั่นคือ $1\ge x+1$ ดังนั้น $x=0$ ซึ่งจะนำเราไปสู่คำตอบ $(x,y,z)=(0,1,2),(1,0,2)$

กรณีที่ 2.2: $y\ge x+2$
ดังนั้น $z\ge x+3$ และเราจึงได้ว่า $$ 1+ \frac{y!}{x!} = \frac{z!}{x!} $$ แต่ทั้ง $\frac{y!}{x!}$ และ $\frac{z!}{x!}$ ต่างก็เป็นจำนวนคู่ ดังนั้นในกรณีนี้จึงไม่มีคำตอบ

สรุปว่ามีทั้งหมด 4 คำตอบดังที่คุณ Mastermander เขียนไว้นั่นเองครับ

[Mastermander]

\( (0.5)!+(0.5)!=(-0.5)! \)