มาแลกเปลี่ยน วิธีคิดกันนะครับ

[jabza]

1. จำนวนตั้งแต่1 ถึง 1,000,000 มีตัวเลข0กี่ตัว
ปล. มาแลกเปลี่ยนวิธีคิดกัน อยากได้วิธีที่ลัดกว่าผม

ปล.2 อยากเลื่อนยศเป็นอย่างอื่นไวๆ

[CmKaN]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

1. จำนวนตั้งแต่1 ถึง 1,000,000 มีตัวเลข0กี่ตัว
ปล. มาแลกเปลี่ยนวิธีคิดกัน อยากได้วิธีที่ลัดกว่าผม

ปล.2 อยากเลื่อนยศเป็นอย่างอื่นไวๆ

ไม่รู้ถูกรึเปล่าน่ะครับ ขอเดาดูมีศูนย์ทั้งหมด $111115$

[jabza]

อยากจะถามคุณCmKaN ว่า คิดวิธีไหนครับ บอกแนวคิดด้วยครับ เพราะจะได้รู้ว่าใช้สูตรเดียวกับผมรึป่าว

[Mathophile]

ข้อ 1. แบ่งพิจารณาเป็นกรณีเลข 1 หลัก , 2 หลัก , ... จนถึง 6 หลักครับ
กรณีเลข 1 หลัก มีเลขศูนย์ 0 ตัว (อันนี้เห็นชัดครับ)

กรณีเลข 2 หลัก มีเลขศูนย์ 9 ตัว (อันนี้ยังพอชัดอยู่)

กรณีเลข 3 หลัก อันนี้เริ่มเห็นไม่ชัดแล้วครับ จะดูทีละหลักแล้วล่ะครับ

หลักหน่วย (ย้ำนะครับว่าดูที่หลักหน่วยเท่านั้น) ทุก ๆ 10 จำนวน จะพบเลขศูนย์ 1 ตัว
เพราะฉะนั้น ทุก ๆ 100 จำนวน จะพบเลขศูนย์ 10 ตัว
หลักสิบ ทุก ๆ 100 จำนวน จะพบเลขศูนย์ 10 ตัว (100 - 109 ที่เหลือไม่พบแล้ว)
ดังนั้น รวมทุกหลัก ทุก ๆ 100 จำนวนจะพบเลขศูนย์ 10 + 10 = 20 ตัว
แต่เลข 3 หลักมีทั้งหมด 900 จำนวน จึงมีเลขศูนย์ทั้งหมด 9 $\times$ 20 จำนวน (ไม่คูณเลยเพราะว่าจะให้เห็นอะไรบางอย่างครับ)

ต่อมาที่กรณีเลข 4 หลัก (เริ่มเหนื่อยและ... ) ก็คิดเหมือนเลข 3 หลักครับ

หลักหน่วย ทุก 10 จำนวน พบ 1 ตัว (xxx0 ที่เหลือไม่พบ) => ทุก 1000 จำนวน พบ 100 ตัว
หลักสิบ ทุก 100 จำนวน พบ 10 ตัว (xx00-xx09 ที่เหลือไม่พบ) => ทุก 1000 จำนวน พบ 100 ตัว
หลักร้อย ทุก 1000 จำนวน พบ 100 ตัว (x000-x099 ที่เหลือไม่พบ)
เพราะฉะนั้น รวมทุกหลัก มีเลขศูนย์ทั้งหมด 9 $\times$ (100+100+100) = 9 $\times$ 300 ตัว (อย่าลืมว่าเลข 4 หลักมีทั้งหมด 9000 จำนวน)

ตอนนี้เราได้ถึง 4 หลักแล้ว และก็สังเกตว่า
1 หลักมี 0 ตัว
2 หลักมี 9 ตัว = 9 $\times$ 1 ตัว
3 หลักมี 9 $\times$ 20 ตัว
4 หลักมี 9 $\times$ 300 ตัว
.
.
.
ฉะนั้นเราก็น่าจะเดาทางออกว่า
5 หลักมี 9 $\times$ 4000 ตัว
6 หลักมี 9 $\times$ 50000 ตัว
ส่วน 7 หลักมีแค่ 6 ตัวครับ (ก็คือเลข 10$^6$)

เพราะฉะนั้น จำนวนเลขศูนย์ทั้งหมดก็คือ
$= 0 + 9\times 1 + 9\times 20 + 9\times 300 + 9\times 4000 + 9\times 50000 + 6$
$= 0 + 9 + 180 + 2700 + 36000 + 450000 + 6$
$= 488895$ ตัว (ไม่เหมือนกับของ CmKaN ง่ะ )

แล้ว jabza คิดยังไงหรอครับ ลองเอามาแลกเปลี่ยนกันดูครับ (ไม่รู้ว่าวิธีนี้ลัดพอหรือเปล่านะ ยาวซะขนาดนี้)

อ่านแล้วอาจจะงง ๆ หน่อยนะครับ (ผมก็มึนเหมือนกันก่อนจะออกมาเป็นแบบนี้ได้) ลองช่วยกันเช็คหน่อยคับว่าวิธีนี้ใช้ได้หรือเปล่า

[jabza]

ผมก็คิดวิธีเดียวกับพี่Mathophileครับ ซึ่งวิธีนี้คุณพ่อบอกว่าเป็น อนุกรมของม.ปลายครับ แต่ผมได้ไปเจอที่http://www.sudipan.net อะครับ ซึ่งมีคนถาม และได้มีคนตอบวิธีนึง ซึ่งผมไม่ค่อยเข้าใจซักเท่าไหร่ และอีกอย่างเค้าเขียนมาเป็นภาษาEnglish(ไอ้เราก็ไม่ค่อยจะเก่งภาษาอะนะ) โชคดีที่คุณพ่อช่วยแปลให้เข้าใจ แต่ก็ยังไม่ค่อยเข้าใจอยู่ดี ลองดูวิธีคิดของเค้านะครับ
Hello
I got "496,571" number of zero between 1-1,000,000. I am not so sure.

x| range Equations for number of zeroes
1 | 1-10 x
2 | 11-100 10(x-1)
3 | 101-1000 100(x-1)-10(x-2)
4 | 1001-10,000 1,000(x-1)-100(x-2)-10(x-3)
5 | 10,001-100,000 10,000(x-1)-1000(x-2)-100(x-3)-10(x-4)
6 | 100,001-1,000,000 100,000(x-1)-10,000(x-2)-1,000(x-3)-100(x-4)-10(x-5)

Substitue x into each equations.
Sum of these number will get an answer. Hope you understand.

[Mathophile]

วิธีที่บอกมานี้จะลองเก็บไปศึกษาดูครับ (เพราะผมก็ไม่เข้าใจเหมือนกัน คำตอบก็ไม่ตรงกันอีก...)

ปล. น้อง jabza ตอบไวจังแฮะ

[Hamaichi]

ผมก็เพิ่งเข้ามาได้ไม่กี่วัน มาร่วมด้วยช่วยกันคิดคับ แต่ตอนนี้ยังคิดไม่ออก อิอิ

[passer-by]

ผมขอเสนออีกวิธีนึงแล้วกัน อาจจะซับซ้อนสักหน่อย แต่มีไอเดียบางอย่างแฝงอยู่ครับ

แต่ก่อนจะตอบ ผมขอเริ่มจากคำถามนี้ก่อนครับ

ตั้งแต่ 1 ถึง 999,999 มี เลข 1 กี่ตัว

คำถามแบบนี้ สามารถ คำนวณได้แบบง่ายๆ โดยพิจารณา รหัสเลข 6 หลัก (ขึ้นต้นด้วย 0 ได้) และกำหนดให้่หลักซ้ายสุด คือหลักที่ 1 ไล่ไปเรื่อยๆจนถึงขวาสุดคือหลักที่ 6

ถ้าเรานับว่่า มี เลข 1 อยู่หลักที่ 1 กี่จำนวน , มีเลข 1 อยู่หลักที่ 2 กี่จำนวนไปเรื่อยๆ จนถึงหลักที่ 6 เมื่อนำมารวมกันก็จะได้คำตอบเทียบเท่า จำนวนเลข 1 ตั้งแต่ 1 ถึง 999,999 ครับ (ลองคิดดูนะครับ ว่าทำไมถึงเทียบเท่ากัน)

ดังนั้นตั้งแต่ 1 ถึง 999,999 มี เลขหนึ่ง $6 \times 10^5$ ตัว

เช่นเดียวกัน ถ้าผมเปลี่่ยนคำถามเป็น " ตั้งแต่ 1 ถึง 999,999 มีเลข 5 กี่ตัว" ก็จะคำนวณในลัักษณะเดียวกัันครับ

สรุปว่า ตั้งแต่ 1 ถึึง 999,999 มีเลข 1-9 รวมกัน $ 9(6 \times 10^5) =54 \times 10^5 $ ตัว

จากนั้นเมื่่อหักออกจากจำนวนตัวเลขทั้งหมดที่ใช้ตั้งแต่ 1 ถึง 999,999 ก็จะเหลือจำนวนเลข 0 ทั้ง
หมดครับ ซึ่งจะเท่ากับ $ (9+180+2700+...+5,400,000)- (54 \times 10^5) = 488,889 $ ตัว

เมื่อรวมกับเลข 0 ของ 1 ล้าน ก็จะได้ว่ามี 0 อยู่ $ 488,889+6=488,895 $ ตัว

[TOP]

โจทย์แนวนี้หากต้องการนับเร็ว ต้องนับไล่ไปทีละหลักอย่างที่คุณ passer-by อธิบายไว้ แต่ก็อาจจะนับลงไปตรงๆได้ดังนี้

จำนวนที่มีเลขศูนย์อยู่ที่หลักหน่วยได้แก่ (1-100000)0 มีจำนวนทั้งสิ้น 100000 จำนวน
จำนวนที่มีเลขศูนย์อยู่ที่หลักสิบได้แก่ (1-9999)0(0-9) และ 1000000 มีจำนวนทั้งสิ้น 9999x10 + 1 = 99991 จำนวน
จำนวนที่มีเลขศูนย์อยู่ที่หลักร้อยได้แก่ (1-999)0(0-99) และ 1000000 มีจำนวนทั้งสิ้น 999x100 + 1 = 99901 จำนวน
จำนวนที่มีเลขศูนย์อยู่ที่หลักพันได้แก่ (1-99)0(0-999) และ 1000000 มีจำนวนทั้งสิ้น 99x1000 + 1 = 99001 จำนวน
จำนวนที่มีเลขศูนย์อยู่ที่หลักหมื่นได้แก่ (1-9)0(0-9999) และ 1000000 มีจำนวนทั้งสิ้น 9x10000 + 1 = 90001 จำนวน
จำนวนที่มีเลขศูนย์อยู่ที่หลักแสนได้แก่ 1000000 มีำจำนวนทั้งสิ้น 1 จำนวน

ดังนั้น มีเลขศูนย์อยู่ทั้งสิ้น 100000+99991+99901+99001+90001+1 = 488895 ตัว

[หยินหยาง]

find 0 from $1-10^n$
formular $\sum_{k = 1}^{n} 9(k-1) 10^{k-2} + n$
or short formular 9*(54321)+6 = 488895 (for this case)

[jabza]

ขอขอบคุณ พี่passer-by และพี่TOPและพี่หยิงหยางนะครับและพี่ๆอื่นๆอีกหลายท่าน(ถ้าพิมพ์คงพิมพ์ไม่หมด)
ที่ช่วยมาแลกเปลี่ยนวิธีคิดกัน หวังว่าคราวหน้าผมมีโจทย์อะไรให้พี่ๆช่วยแก้อีกนะครับ

[RedfoX]

งั้นผมลองนะครับ ถ้าจะเขียน 1-5555 ต้องเขียน เลขศูนย์กี่ตัว
พิจารณา 1-5000
จำนวนที่มีศูนย์อยู่หลักหน่วยมี 500 จำนวน
จำนวนที่มี ศูนย์อยู่หลักสิบมี 501 จำนวน
จำนวนที่มี ศูนย์อยู่หลักร้อยมี 501 จำนวน
รวมมี 1502 จำนวน
ต่อมา พิจารณา 555 ต่อ
ศูนย์อยู่หลักหน่วยมี 55 จำนวน
ศูนย์อยู่หลักสิบมี 30 จำนวน
รวมมี 85 จำนวน

เพราะฉะนั้นมีทั้งหมด 1587 จำนวน
รู้สึกจะผิดนะครับ TT

[RedfoX]

ตกลง 1-5555 นี่ใช้เลขศูนย์กี่ตัวครับนี่

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RedfoX

ตกลง 1-5555 นี่ใช้เลขศูนย์กี่ตัวครับนี่

วันนี้ว่าง มานั่งนับเล่นๆ นับได้ 1605 ตัว

[Top Chitsanupong]

ตอบ110000ตัวเพราะ1-10=1 1-100=11 1-1000=110 1-10000=1100 1-100000=11000 1-1000000=110000 ครับ

สนุกดีนะครับ