ทำแบบนี้รึเปล่าครับ

[devilzoa]

ทำแบบนี้รึเปล่าครับ ช่วยดูให้ที (สงสัยจะทำผิดแน่เลย)

[M@gpie]

คิดเลขผิดตอนสุดท้ายนิดหน่อยนะครับ ทำแบบนี้ต้องระวังตรงที่ $2m^2+m+3 > 0$ ด้วยนะครับ แต่เนื่องจากอสมการเป็นจริงเสมอ เลยโชคดีไป
โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันพหุนามกำลังสอง $f(x)=ax^2+bx+c,\; \; \; a\neq 0, \; \; a,b,c \in \mathbb{R}\; \; $ จะได้ว่า
\[ a>0, \; \; b^2-4ac <0 \Leftrightarrow f(x) > 0, \; \forall x \in \mathbb{R} \]
\[ a<0, \; \; b^2-4ac <0 \Leftrightarrow f(x) < 0, \; \forall x \in \mathbb{R} \]

ก็เมื่อเราให้ $a=2m^2+m+3, \; \; b=-3m, \; \; c=1 $ จะได้ว่า
\[ 2m^2+m+3> 0, \; \; 9m^2-4(2m^2+m+3)(1)<0 \Leftrightarrow m\in (-2,6)\]

[devilzoa]

อ๋อ คือว่าถ้าทำแบบที่ผมทำต้องพิจารณาที่ a เพิ่มด้วยแล้วเอามาอินเตอร์เซค กับช่วงที่ได้ด้วยใช่ไหมครับ...

[devilzoa]

ถามข้อนี้หน่อยครับ ถ้า$p+q+r=0$ และกำหนดให้
$M=(\frac{q-r}{p}+\frac{r-p}{q}+\frac{p-q}{r})$
$N=(\frac{p}{q-r}+\frac{q}{r-p}+\frac{r}{p-q})$ แล้ว $MN$ เท่ากับเท่าใด

[gon]

ข้อความเดิมของคุณ devilzoa:
ถามข้อนี้หน่อยครับ ถ้า$p+q+r=0$ และกำหนดให้
$M=(\frac{q-r}{p}+\frac{r-p}{q}+\frac{p-q}{r})$
$N=(\frac{p}{q-r}+\frac{q}{r-p}+\frac{r}{p-q})$ แล้ว $MN$ เท่ากับเท่าใด

ข้อนี้เห็นหลายรอบจนผมจำคำตอบได้แล้วครับ.
รู้สึกจะเป็นข้อสอบ สอวน.มั้ง ในเว็บเราน่าจะมีอยู่ ลองหาดูก่อนครับ รวมข้อสอบ

click

ใน MY MATHS "เรียนพีชคณิตจากโจทย์ปัญหา" ก็ลงไปแล้วครับ

[nooonuii]

ต้นกำเนิดของโจทย์ข้อนี้น่าจะมาจากโจทย์โอลิมปิกรัสเซียครับ
แนวคิดของโจทย์ข้อนี้คือคูณกระจายแล้วใช้เอกลักษณ์ $a^3+b^3+c^3=3abc$ ครับ

[devilzoa]

$!?!$ คูณกระจายแล้วไม่เห็นเจอ $p^3+q^3+r^3$ เลยครับ(คูณไปแล้วงงเลย)

!!!!!!!!

หนังสือ my math อยู่ที่ห้องสมุดโรงเรียนผมแล้วครับ

[gon]

ข้อความเดิมของคุณ devilzoa:
$!?!$ คูณกระจายแล้วไม่เห็นเจอ $p^3+q^3+r^3$ เลยครับ(คูณไปแล้วงงเลย)

!!!!!!!!

หนังสือ my math อยู่ที่ห้องสมุดโรงเรียนผมแล้วครับ

นั่นวิธีของ nooonuii เขาครับ เราอาจจะไม่จำ้ต้องทำแบบนั้นก็น่าจะได้ เดี๋ยวจะลองแก้ให้ดูนะครับ รอสักครู่

[gon]

ว้า ! ต้องใช้จริงๆซะด้วย

สมมติให้ x = $\frac{p}{q-r}, y = \frac{q}{r-p}, z = \frac{r}{p-q}$
ดังนั้น $MN = (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})(x + y + z)$
= $3 + x(\frac{1}{y} + \frac{1}{z}) + y(\frac{1}{z} + \frac{1}{x}) + z(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$

พิจารณาค่าของ $ x(\frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = \frac{p}{q-r}(\frac{r-p}{q} + \frac{p-q}{r}) = \frac{p}{q-r}\frac{r^2 - pr + pq - q^2}{qr} = \frac{p}{q-r}\frac{(q-r)(p-q-r)}{qr} $
$= \frac{p}{q-r}\frac{(q-r)(2p -(p+q+r))}{qr} = \frac{2p^2}{qr}$

ในทำนองเดียวกัน $y(\frac{1}{z} + \frac{1}{x}) = \frac{2q^2}{rp} , z(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{2r^2}{pq}$

ดังนั้น $x(\frac{1}{y} + \frac{1}{z}) + y(\frac{1}{z} + \frac{1}{x}) + z(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{2p^2}{qr} + \frac{2q^2}{rp} + \frac{2r^2}{pq} = 2(\frac{p^3 + q^3 + r^3}{pqr}) = 2(\frac{3pqr}{pqr}) = 6 $

นั่นคือ $MN = 3 + 6 = 9$

really

โรงเรียนอะไรครับ วิสัยช่า่งยอดเยี่ยมจริง ๆ

[devilzoa]

วิธีทำข้อนี้มีแบบเดียวใช่ไหมครับ คือ ผมไปกำหนดให้ $x=\frac{q-r}{p},y=\frac{r-p}{q},z=\frac{p-q}{r}$ น่ะครับ

!!!!!!!!!!!

โรงเรียนเทพศิรินทร์ นนทบุรีครับ พอดีช่วงนี้ปิดเทอมแล้ว เลยยืมไม่ได้ครับ คืนโรงเรียนหมดครับ แฮะๆ ขอบคุณครับสำหรับวิธีทำ