ช่วยหาค่าx ในสมการยกกำลัง 3

[toofutoofu]

ช่วยหาค่า x จากสมการกำลัง 3 ยังไงตัวอย่างโจทย์ 0.02x^3.6x^2.5x+150=0 จะหาค่า x ยังไงครับ

[gon]

สมการที่เขียนไม่ใช่สมการกำลัง 3 แล้วครับ. เป็นกำลัง 6 ต่างหาก เพราะคูณกันยาวเีหยียด ต้องแก้ไขโจทย์ให้ถูกก่อนครับ.

[toofutoofu]

ขอแก้โจทย์นะครับเป็น 0.02x^3 + 0.6x^2 - 31.5x + 150 ช่วยหาค่าX ให้ด้วยครับ

[M@gpie]

จากการ ขี้โกง จิ้มเครื่องคิดเลข จะได้คำตอบเป็น
x=23.47792932... , -58.90138351... , 5.423454197...
ซึ่งอาจจะหาไม่ได้ง่ายๆ แบบพหุนามทั่วๆไปน่ะคับ

[warut]

\[-10+50\sin\left(\frac{1}{3}\sin^{-1}\left(\frac{101}{125}\right)\right)=
5.4234541971\dots\]\[-10+50\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{1}{3}\sin^{-1}\left(\frac{101}{125}\right)\right)=
23.4779293150\dots\]\[-10-50\sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{1}{3}\sin^{-1}\left(\frac{101}{125}\right)\right)=
-58.9013835121\dots\]

[M@gpie]

นั่นไงแล้ว รบกวนคุณwarut แสดงวิธีหามา หน่อยได้รึเปล่าครับ
ใช้วิธีของคาร์ดานรึเปล่า??? แต่ทำไมมี arccos ออกมาด้วย

[toofutoofu]

ช่วยหาวิธีคิดให้ด้วยครับ และถ้าคิดแล้วเขียนเป็นวิธีแต่ละขั้นตอนจะดีมากเลยครับ(ถ้าไม่ใช้คอมในการหาคำตอบนะ)

[warut]

ข้อนี้ใช้ sine จะได้คำตอบสวยกว่าใช้ cosine ผมเลยกลับขึ้นไปเปลี่ยนคำตอบแล้วครับ

จากสมการโจทย์เอา 50 คูณตลอดจะได้\[x^3+30x^2-1575x+7500=
0\]ให้ \(x=y-10\) เพื่อกำจัดเทอมกำลังสอง จะได้\[y^3-1875y+25250=
0\]ให้ \(y=50\sin t\) และใช้สูตร \(\sin 3t=3\sin t-4\sin^3t\) จะได้\[\sin3t=
\frac{101}{125}\]แทนค่าย้อนกลับก็จะได้คำตอบตามที่แสดงข้างบนครับ

ถ้าใช้ Cardano's formula ก็จะได้อะไรแบบนี้เหมือนกันครับ เพราะสมการนี้เป็นกรณีที่มีรากจริง 3 ราก (casus irreducibilis) ซึ่งจะไปติดอยู่ในรูปของรากที่สามของจำนวนเชิงซ้อน ทำให้ต้องกระจายออกด้วยฟังก์ชันตรีโกณฯ (ถ้าใครที่สนใจประวัติคณิตศาสตร์คงทราบดีว่า นี่คือจุดที่ทำให้มีการยอมรับการใช้จำนวนเชิงซ้อนอย่างเป็นทางการครับ เพราะมันไม่อาจเลี่ยงได้)

การแก้สมการกำลังสามไม่เหมือนการแก้สมการกำลังสองนะครับ กรณีกำลังสองพอเรารู้สูตร -b ฑ ... อะไรนั่นแล้ว ก็ไม่มีอะไรน่าสนใจอีก แต่สำหรับกำลังสามถ้าแค่อ่านวิธีทำแล้วเข้าใจทั้งหมด จำสูตรได้ แต่ไม่เคยลงมือทำ คงยากที่ได้สัมผัสกับความลึกล้ำของมันจริงๆ ตั้งแต่เล่นที่บอร์ดนี้มาผมว่าผมแก้สมการกำลังสามไปเป็นสิบๆครั้งแล้วล่ะ หลายคนอาจคิดว่าผมใช้คอมพ์ อันที่จริงผมใช้คอมพ์เฉพาะแค่บวก ลบ คูณ หาร แล้วก็เช็คคำตอบเท่านั้นเอง เพราะถ้าใช้คอมพ์แก้ตรงๆคำตอบมักออกมาน่าเกลียดมากครับ

ส่วนสมการกำลังสี่แบบที่ไม่มีคำตอบง่ายๆ ผมเคยลงมือทำจริงๆแค่ครั้งเดียวเพราะมันหนักหนาสาหัสจริงๆครับ

[toofutoofu]

ขอขอบคุณ นะครับทุกคนนะครับที่แสดงความคิดและที่ให้คำตอบ

[gon]

สมการกำลัง 5 บางรูปแบบก็แก้ติดตรีโกณสวย ๆ ได้นะครับ. เช่น
\[x^5 - 10x^3 + 20x - 8 = 0 \]
รากของสมการ คือ \[2\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{20}, 2\sqrt{2}\cos\frac{7\pi}{20}, 2\sqrt{2}\cos\frac{9\pi}{20}, 2\sqrt{2}\cos\frac{15\pi}{20}, 2\sqrt{2}\cos\frac{17\pi}{20} \]