พหุนามครับ

[คนอยากเก่ง]

1.$f(x)=n^2+kn+41$ จงหาค่า k ที่ทำให้พหุนามนี้ แทนด้วยจำนวนนับใดๆ แล้วเป็นจำนวนเฉพาะ

2.$\dfrac{a-b}{c} +\dfrac{b-c}{a} +\dfrac{c-a}{b} = \dfrac{-(a-b)(b-c)(c-a)}{abc}$ พิสูจน์ให้ดูได้ไหมครับ โดยที่ a+b+c=0

3.จงหา 5 หลักสุดท้ายของ

$9^{9^{9^{9^{...9^9}}}}$ (9 มี 1001 ตัว)<---เพิ่งเพิ่มโจทย์ครับ ไม่ตรงกับหัวข้อ แหะๆ เคยมีคนเอามาลงแต่ไม่มีวิธีทำอ่าครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

1.$f(x)=n^2+n+41$ จงหาค่า k ที่ทำให้พหุนามนี้ แทนด้วยจำนวนนับใดๆ แล้วเป็นจำนวนเฉพาะ

2.$\dfrac{a-b}{c} +\dfrac{b-c}{a} +\dfrac{c-a}{b} = \dfrac{-(a-b)(b-c)(c-a)}{abc}$ พิสูจน์ให้ดูได้ไหมครับ

3.จงหา 5 หลักสุดท้ายของ

$9^{9^{9^{9^{...9^9}}}}$ (9 มี 1001 ตัว)<---เพิ่งเพิ่มโจทย์ครับ ไม่ตรงกับหัวข้อ แหะๆ

ข้ิอเเรกนี่ k อยู่ไหนครับ
ข้อสอง ขอเงื่อนไขครับ
ส่วนข้อ 3 ก็เคยมีคนมาลงเเล้วครับ

[คนอยากเก่ง]

ขอโทษครับ แก้แล้วครับ

[so dem a com]

ข้อ 2 เอามาจากมาราธอน ม.ต้นหรอครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

1.$f(x)=n^2+kn+41$ จงหาค่า k ที่ทำให้พหุนามนี้ แทนด้วยจำนวนนับใดๆ แล้วเป็นจำนวนเฉพาะ

2.$\dfrac{a-b}{c} +\dfrac{b-c}{a} +\dfrac{c-a}{b} = \dfrac{-(a-b)(b-c)(c-a)}{abc}$ พิสูจน์ให้ดูได้ไหมครับ โดยที่ a+b+c=0

3.จงหา 5 หลักสุดท้ายของ

$9^{9^{9^{9^{...9^9}}}}$ (9 มี 1001 ตัว)<---เพิ่งเพิ่มโจทย์ครับ ไม่ตรงกับหัวข้อ แหะๆ เคยมีคนเอามาลงแต่ไม่มีวิธีทำอ่าครับ

เเต่ ข้อ 2 ไม่ต้องมี $a+b+c=0$ ก็ได้นะครับ
กระจาย $$\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}=\frac{a^2b+b^2c+c^2a-(ab^2+c^2b+a^2c)}{abc}$$
ส่วน $$-\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{abc}=\frac{a^2b+b^2c+c^2a-(ab^2+c^2b+a^2c)}{abc}$$ เหมือนกัน ดังนั้น $$\dfrac{a-b}{c} +\dfrac{b-c}{a} +\dfrac{c-a}{b} = \dfrac{-(a-b)(b-c)(c-a)}{abc}$$

[fuukun]

ข้อสามเคยลงหลายรอบแล้วอ่ะค่ะ แต่ยังไม่มีคนแสดงวิธีทำอ่ะค่ะ
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=13285

[จูกัดเหลียง]

ข้อเเรก ไม่มี $k$ ที่สอดคล้องครับ
Soln เป็นเเบบ บรรยายนะครับ = =

my_soln

ถ้าให้ $k-$เลขคู่ จะได้ $k=2m $~$\forall m\in \mathbf{Z} $
เเละได้ $n^2+kn+41 =n^2+2mn+41$ พบว่าที่ $n=41$ จะเเยก ต.ป.กได้
ถ้าให้ $k-$เลขคี่ จะได้ $k=2i+1 \forall i \in \mathbf{Z}$
เเละได้ $n^2+kn+41 =n^2+2ni+n+41$ พบว่าที่ $n=41$ จะเเยก ต.ป.กได้เช่นกัน
ดังนั้น ไม่มี $k$ ใดๆที่สอดคล้อง

[Canegie]

ตอบ 1,-1 มั่วนิดหน่อย

อ้างอิง:
1.f(x)=${n^2}+kn+41$ จงหาค่า k ที่ทำให้พหุนามนี้ แทนด้วยจำนวนนับใดๆ แล้วเป็นจำนวนเฉพาะ

${n^2}+kn+41$ = ${n^2+kn+1+(40)}$
ดังนั้น ${n^2+kn+1}$ ต้องหาร 2,5 ไม่ลงตัว ไม่งั้นพหุนามนี้จะไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
$n=\frac{k\pm \sqrt{k^2-4}}{2} $
k จึงต้องเท่ากับ 1 เพื่อไม่ให้มีจำนวนนับใดแทนแล้ว ได้คำตอบเป็นจำนวนจริง

[กิตติ]

ข้อ1....ผมเห็นด้วยกับคุณจูกัดเหลียงว่าไม่มีค่า $k$ ตามที่โจทย์ต้องการ มองง่ายๆว่า
$n^2+kn+41=n(n+k)+41$......ถ้า $n=41$ หรือ $n+k=41$ ก็จะดึงตัวร่วมออกมาได้แล้ว เราก็จะเขียนอยู่ในรูปสองจำนวนคูณกัน ซึ่งก็ไม่ใช่จำนวนเฉพาะแล้ว

[คนอยากเก่ง]

ขอบคุณทุกท่านครับ แต่ขอถามอีกครับ
1.ถ้ามีพหุนามแบบข้อ 1 แต่ แทนแล้ว เป็นจำนวนเฉพาะหมด จะพิสูจน์อย่างไรครับ ขอตัวอย่างด้วยครับ(พหุนามเฉพาะ)
2. ข้อ 3 ผมคิดไม่ออก ช่วยด้วยครับ

รบกวนทุกท่านด้วยครับ

[LightLucifer]

คิดว่า $n^2-79n+1601$ ใช่ไหมครับ??
ที่จริงแล้วมันมีคนพิสูจน์แล้วว่ามันไม่มีพหุนามแบบนั้นครับ

[คนอยากเก่ง]

ไม่มีใช่ไหมครับ
เพราะ
n(n-79)+1601
ลอง n-79=1601
n=1680
=1680(1601)+1601
=1601*1681
=ไม่เฉพาะ
$1681=41^2$

[LightLucifer]

ครับ
แต่พหุนามใน #11
ถ้าแทน $n=1,2,3,...,79$ ก็จะเป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมดครับ

[กิตติ]

โจทย์ข้อ3เห็นอยู่ในห้องของข้อสอบโอลิมปิกนี่ครับ...ไหนวันนี้โผล่มาอยู่ห้องคณิต ม.ต้น
คุ้นๆว่าเคยเห็นเป็นข้อสอบในหนังสือของซีรีย์ของชุมนุมคณิตศาสตร์เตรียมอุดม ปีไหนจำบ่ได้...หรือว่าผมเริ่มเลอะเลือนไปแล้ว

[BLACK-Dragon]

ข้อ 3 พิมพ์ไม่ไหวอ่ะครับ(ไม่ค่อยสบาย)

คิด $9^9$ ลงท้ายด้วย 9

$9^{9^9}$ ลงท้ายด้วย 89

$9^{9^{9^9}}$ ลงท้ายด้วย 289

.
.
.