กฏโลปิตาล ข้อนี้ทำไงครับ ผมทำไม่ได้

[kingkongcharoen_tor]

$\lim_{x \to \infty} \left({\frac{sinx}{x}}\right) ^\frac{1}{x^2} $

(แต่เป็น x เข้าสู่ 0 นะครับ ผมพิมพ์ไม่เป็น)

''งง......

[Amankris]

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$

[Yuranan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kingkongcharoen_tor

$\lim_{x \to \infty} \left({\frac{sinx}{x}}\right) ^\frac{1}{x^2} $

(แต่เป็น x เข้าสู่ 0 นะครับ ผมพิมพ์ไม่เป็น)

''งง......

คำตอบเป็น $$\frac{1}{\sqrt[6]{e} }$$ นะครับ

[Amankris]

ข้อนี้ ผมทำแล้วยาวมากเลย -__-"

[Mathopolis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuranan

คำตอบเป็น $$\frac{1}{\sqrt[6]{e} }$$ นะครับ

ทำอย่างไรหรือครับ รบกวนไกด์ให้หน่อยครับ

[kongp]

ใช้ ท.บ. ด้านแคลคูลัส วิเคราะห์ให้ง่ายครับ พวกบทพิสูจน์ต่างๆ บางท่านว่าเป็น Advanced Calculus

[Mathopolis]

นึกไม่ออกเลยครับ รบกวนแนะนำละเอียดกว่านี้ได้ไหมครับผม T^T

[Amankris]

$\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^\frac{1}{x^2}$

Hide

$\begin{array}{rcl}\displaystyle
L&=&\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x^2}\cdot\ln\frac{\sin x}{x}\right)\\
&&\\
L&=&\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{(2x)^2}\cdot\ln\frac{\sin2x}{2x}\right)\\
&&\\
&=&\frac{1}{4}\cdot\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x^2}\cdot\ln\frac{\sin x\cos x}{x}\right)\\
&&\\
&=&\frac{1}{4}\cdot\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x^2}\cdot\ln\frac{\sin x}{x}\right)+\frac{1}{4}\cdot\lim_{x\to0}\left(\frac{\ln\cos x}{x^2}\right)\\
&&\\
&=&\frac{1}{4}L+\frac{1}{4}\cdot\lim_{x\to0}\left(\frac{-\tan x}{2x}\right)\\
&&\\
3L&=&\lim_{x\to0}\left(\frac{-\sec^2x}{2}\right)\\
&&\\
&=&-\frac{1}{2}\\
&&\\
L&=&-\frac{1}{6}\\
&&\\
\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^\frac{1}{x^2}&=&e^{-\frac{1}{6}}
\end{array}$

[Mathopolis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

Hide

$\begin{array}{rcl}\displaystyle
L&=&\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x^2}\cdot\ln\frac{\sin x}{x}\right)\\
&&\\
L&=&\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{(2x)^2}\cdot\ln\frac{\sin2x}{2x}\right)\\
&&\\
&=&\frac{1}{4}\cdot\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x^2}\cdot\ln\frac{\sin x\cos x}{x}\right)\\
&&\\
&=&\frac{1}{4}\cdot\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x^2}\cdot\ln\frac{\sin x}{x}\right)+\frac{1}{4}\cdot\lim_{x\to0}\left(\frac{\ln\cos x}{x^2}\right)\\
&&\\
&=&\frac{1}{4}L+\frac{1}{4}\cdot\lim_{x\to0}\left(\frac{-\tan x}{2x}\right)\\
&&\\
3L&=&\lim_{x\to0}\left(\frac{-\sec^2x}{2}\right)\\
&&\\
&=&-\frac{1}{2}\\
&&\\
L&=&-\frac{1}{6}\\
&&\\
\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^\frac{1}{x^2}&=&e^{-\frac{1}{6}}
\end{array}$

ตอนนี้ผมทำออกละครับ แต่ว่าคนละวิธี
แต่ว่าขออภัยในความโง่อีกครั้งนะครับ
พอดีสะดุดตาตรงบรรทัดที่2น่ะครับ เราสามารถเปลี่ยน x เป้น 2x ได้เลยเหรอครับ? และรบกวนขอเหตุผลนิดนึงครับ

[The Cro_no]

ได้คับ เหมือนเราให้ x = 2u x-->, u--> 0