อนุกรม เล็กๆครับ

[A.DreN@l_ine]

คือมันอาจจะง่ายสำหรับ สมาชิกในบอร์ดนี้อะนะครับ
แต่ผมคิดไม่ออกจริงๆ ขอ Guide หน่อยครับ หรือซ่อน Solution ก็ได้
ให้ A,B,C,D,E,F เป็นลำดับเลขคณิต โดย A ไม่เท่ากับ B จงหาค่า x,y จากระบบสมการ

AX+BY = C
DX+EY = F

IF
1/(y+z) + 1/(z+x) + 1/(x+y) เป็นลำดับเลขคณิตแล้ว จงพิสูจน์ว่า $x^2,y^2,z^2$ เป็นลำดับเลขคณิต

ขอโทษเรื่อง Latex ด้วยนะครับพอดีเน็ตช้าแล้วมันไม่ขึ้น

[Amankris]

ข้อแรก แก้สมการปกติครับ ให้สังเกตลำดับเลขคณิต

ข้อสอง ไม่เข้าใจโจทย์ครับ โจทย์บอกลำดับไหนครับ

[กิตติ]

ข้อ1

Hide

$AX+BY = C$......(1)
$DX+EY = F$.......(2)
$AEX+BEY=CE$
$BDX+BEY=BF$
$x=\frac{CE-BF}{AE-BD} $

$A,B,C,D,E,F$เป็นลำดับเลขคณิต
$F-E=E-D=D-C=C-B=B-A=m$
$x=\frac{CE-BF}{AE-BD}=\frac{(A+2m)(A+4m)-(A+m)(A+5m)}{A(A+4m)-(A+m)(A+3m)} $
$=\frac{3m^2}{-3m^2} $
$=-1 $

$Y=\frac{C+A}{B}= \frac{2A+2m}{A+m} =2$

[กิตติ]

ข้อ2 เข้าใจว่าโจทย์น่าจะเป็น
$\frac{1}{(y+z)} , \frac{1}{(z+x)} ,\frac{1}{(x+y)} $ เป็นลำดับเลขคณิตแล้ว จงพิสูจน์ว่า $x^2,y^2,z^2$ เป็นลำดับเลขคณิต

Hide

เราจะได้ว่า$\quad 2\left(\, \frac{1}{(z+x)}\right)= \frac{1}{(y+z)} +\frac{1}{(x+y)}$

$\quad 2\left(\, \frac{1}{(z+x)}\right)= \frac{(x+y)+(y+z)}{(x+y)(y+z)} $

$\quad 2\left(\, (x+y)(y+z)\right)= (z+x)\left\{\,(x+y)+(y+z)\right\} $

$\quad 2\left(\, (xy+yz+xz+y^2)\right)=\left\{\,(z+x)(x+y)+(z+x)(y+z)\right\} $

$\quad 2\left(\, (xy+yz+xz+y^2)\right)=\left\{\,(xz+x^2+xy+zy)+(zy+xy+z^2+xz)\right\} $

$\quad 2y^2=x^2+z^2 \rightarrow y^2=\frac{x^2+z^2}{2} $

หรือเขียนเป็น$y^2-x^2=z^2-y^2$

ได้ตามโจทย์ต้องการ

[udoen]

ขอเสริมข้อ1อีกวิธีน่ะครับ จากลำดับเลขคณิตจะได้
ิ B-A=C-B
2B-A=C นำมาเทียบกับ Ax+By=C
จะได้ x=-1,y=2 ก็ได้เหมือนกันครับ