ทฤษฏีจำนวน ช่วยหน่อยนะคะ

[YoonA]

เพิ่งสมัครสมาชิกใหม่อะ ลองฝึก latex ด้วย เอามาจากหนังสือ สอวน. บางข้อคิดไม่ได้อะค่ะ
1. จงแสดงว่า ถ้า $a$ เป็นจำนวนเต็มคู่ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มคี่แล้ว $(a,b) = (\dfrac{a}{2},b) $
2. จงแสดงว่า $(a^n,b^n) = (a,b)^n$ $\forall n \in \mathbb{N}$
3. จงพิสูจน์ว่า ถ้ามีจำนวนเต็ม $x,y$ ที่ทำให้ $ax+by = (a,b)$ แล้ว $(x,y) = 1$
4. ให้ $a,b,c \in \mathbb{Z} $ และ $d= (a,b)$ จงพิสูจน์ว่า $a\left|\,\right. bc$ก็ต่อเมื่อ $\dfrac{a}{d} \left|\,\right. c$
5. จงแสดงว่า ถ้า $(a,b) = c$ แล้ว $(a^2,b^2) = c^2$

[YoonA]

ปลุกหน่อยค่ะะะะะ ๆ

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ YoonA

เพิ่งสมัครสมาชิกใหม่อะ ลองฝึก latex ด้วย เอามาจากหนังสือ สอวน. บางข้อคิดไม่ได้อะค่ะ
1. จงแสดงว่า ถ้า $a$ เป็นจำนวนเต็มคู่ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มคี่แล้ว $(a,b) = (\dfrac{a}{2},b) $
2. จงแสดงว่า $(a^n,b^n) = (a,b)^n$ $\forall n \in \mathbb{N}$
3. จงพิสูจน์ว่า ถ้ามีจำนวนเต็ม $x,y$ ที่ทำให้ $ax+by = (a,b)$ แล้ว $(x,y) = 1$
4. ให้ $a,b,c \in \mathbb{Z} $ และ $d= (a,b)$ จงพิสูจน์ว่า $a\left|\,\right. bc$ก็ต่อเมื่อ $\dfrac{a}{d} \left|\,\right. c$
5. จงแสดงว่า ถ้า $(a,b) = c$ แล้ว $(a^2,b^2) = c^2$

ลองทำเองดูก่อนนะ ไม่ยาก ๆ

[YoonA]

ทำไม่ได้อะค่ะ TT

[ShanaChan]

ให้ d=(a,b) x=da, y=db (a,b)=1
อันนี้เป็นการเริ่มต้นที่ดีของโจทย์หลายๆข้อ
รวมถึงข้อที่ยากกกว่านี้หลายเท่าด้วยนะ ^^