โจทย์หัดแต่งเองครับ ไม่ยาก

[จูกัดเหลียง]

$a^a<1,(a-2)<-1 \rightarrow a^a(a-2)<-1$ เเล้วผมก็บวก $1$ เข้าไปครับ

[ShanaChan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ลอง เขียน Soln มาเลยดีกว่าครับ
ผมอ่านไม่ค่อยเข้าใจ
เพราะ ผมทำหลายรอบเเล้วมันยังได้เป็น $0$ อีก หรือผมจะสมมุติว่า $a=b=c=d$ จะได้ค่าสูงสุด

เอาง่ายๆนะครับ ผมขี้เกียจเขียน Solution เต็ม
เลยให้ Hint เพิ่ม
Consider a sequence $A_n=a,b,c,d,a$ which can't be strictly-decreasing
Hence there exist a natural number i such that $A_i<=A_{i+1}$
when $A_1=a$ and so on.

[nooonuii]

Hint:

26. สมมติว่า $\min\{a-b^2,b-c^2,c-d^2,d-a^2\}>\dfrac{1}{4}$

แล้วลองหาข้อขัดแย้ง

[Amankris]

#196
แน่ใจหรือเปล่า ที่สรุปมาแบบนั้น (ติดลบนะครับ)

[จูกัดเหลียง]

#199
ก็ไม่ค่อยเเน่ใจอ่ะครับ เเต่ผมลองเเทน $a=\frac{1}{2}$ มันก็โอเคนะครับ 555+

ปล. สมมุติ $a\ge b\ge c\ge d$ $d-a^2$ มีค่าน้อยที่สุด
เเละ สมมุติ $\frac{1}{4}<d-a^2$ $\rightarrow \frac{1}{4}<a-a^2\rightarrow (2a-1)^2<0$ ขัดเเย้ง
ดังนั้น $max(d-a^2)=\frac{1}{4}$

[Amankris]

#200
คุณแทนค่าไปมันก็ต้องจริงสิครับ ก็เค้าให้พิสูจน์นี่นา

แต่ที่คุณทำมาน่ะ มันใช้ได้หรือเปล่า

[จูกัดเหลียง]

#201 เด๋วลองใหม่ครับ เเต่ยังไม่ได้คิด
ข้อ. 26 ผมลองอีกวิธีได้เเล้วนนะครับ ลองมั่วๆอีก 555+
WLOG $1\ge a\ge b\ge c\ge d\ge 0$
โดย A.M.-G.M
$(1-a)+a\ge 2\sqrt{a-a^2}\ge 2\sqrt{d-a^2}\rightarrow d-a^2\leq \frac{1}{4}$

[ShanaChan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

#201 เด๋วลองใหม่ครับ เเต่ยังไม่ได้คิด
ข้อ. 26 ผมลองอีกวิธีได้เเล้วนนะครับ ลองมั่วๆอีก 555+
WLOG $1\ge a\ge b\ge c\ge d\ge 0$
โดย A.M.-G.M
$(1-a)+a\ge 2\sqrt{a-a^2}\ge 2\sqrt{d-a^2}\rightarrow d-a^2\leq \frac{1}{4}$

โจทย์ ตัวแปรเป็น cyclic ไม่ได้เป็น symmetry
เลยสมมุติอย่างที่ว่ามาไม่ได้นะครับ
ในห้องสอบ คะแนนอาจลดหายไปเยอะ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

$a^a<1,(a-2)<-1 \rightarrow a^a(a-2)<-1$ เเล้วผมก็บวก $1$ เข้าไปครับ

คุณ Amankris เขาคงอยากบอกว่า จำนวนบวกคูณจำนวนลบเครื่องหมายมันกลับข้างได้ครับ

[Keehlzver]

พอลองๆมารื้อฟื้นดูแล้ว ข้อ min ของพี่ Noonuii อาจจะสมมติได้ว่า $a\geq b$ และ $c\geq d$ หรือ สมมติ min,max เท่ากับตัวใดตัวหนึ่ง เพราะโจทย์ข้อนั้นมันไม่สมมาตร

สมมติ $min\left\{\,a-b^2,b-c^2,c-d^2,d-a^2\right\} > \frac{1}{4}$
ดังนั้น $a-b^2+b-c^2+c-d^2+d-a^2 > 1$ หรือ $a+b+c+d > 1+a^2+b^2+c^2+d^2$
แต่จากโคชี $2\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2} \geq a+b+c+d >1+a^2+b^2+c^2+d^2$
ทำให้ได้ว่า $2\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2} > 1+a^2+b^2+c^2+d^2$
ซึ่งสมมูลกับ $(\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}-1)^2 < 0$ ขัดแย้ง

[จูกัดเหลียง]

เเล้ว จะดูว่ามัน Symetric ยังไงอ่ะครับ
ปล. #204 คือผมไมรู้อะ่ครับว่า กรณีอสมการ(ติดลบ)คูณกันเเล้วมันจะกลับข้าง 555+

[ShanaChan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

เเล้ว จะดูว่ามัน Symetric ยังไงอ่ะครับ
ปล. #204 คือผมไมรู้อะ่ครับว่า กรณีอสมการ(ติดลบ)คูณกันเเล้วมันจะกลับข้าง 555+

ดูง่ายคือ ถ้าเราสลับ 2 ตัวแปรใดๆ แล้วยังมีรูปเหมือนเดิมก็ถือเป็น symmetric (มั้งนะ)

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ShanaChan

ดูง่ายคือ ถ้าเราสลับ 2 ตัวแปรใดๆ แล้วยังมีรูปเหมือนเดิมก็ถือเป็น symmetric (มั้งนะ)

อย่างเช่น ถ้าเป็น $a^2+b^2,b^2+c^2,c^2+a^2$ ก็ Symetric .ใช่ไหมครับ
ขอบคุณมากๆครับ

[Keehlzver]

ไม่เข้าใจว่าทำไมถึงไม่มีคนอธิบายต่อซักที

นิยาม $f(a,b)=a^2+b^2$
$f(b,c)=b^2+c^2$
$f(c,a)=c^2+a^2$

แบบ 3 ตัวข้างบนมีสมมาตรในตัวแปรครับ แต่เป็นสมมาตรในตัวแปรแบบ 2 ตัวแปร

ถ้าเป็น $f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2,a+b+c$ ก็ยังมีสมมาตรในตัวแปรแต่ว่าเป็นสมมาตรแบบ 3 ตัวแปร
แต่ว่า ถ้าเป็น $f(a,b,c)=a^2+b^2-c^2$ แบบนี้ไม่มีสมมาตรในตัวแปรครับ

เวลาต้องการเช็คความมีสมมาตรในตัวแปรทำได้โดยการนิยามฟังก์ชันนั้นๆ ผมสมมติเป็น $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ ก็ต้องลอง check การเรียงสับเปลี่ยนของตัวแปรทุกชุด ซึ่งก็คือการเรียงสับเปลี่ยนของตัวแปรในชุด $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ ซึ่งจะมี $n!$ กรณีที่ต้อง check เมื่อ check แล้ว ถ้าเราได้ว่า $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(x_{2},x_{1},...,x_{n})=f(x_{3},x_{1},...,x_{n})=...=f(x_{n},x_{n-1},...,x_{1})$ คือเท่ากันทั้งหมด (หน้าตาเหมือนเดิม) ทุกการเรียงสับเปลี่ยนของตัวแปร ก็สรุปว่ามันสมมาตรครับ

ผมจะขอยกตัวอย่างแบบ 3 ตัวแปรที่ใช้กันบ่อยๆ เช่น $f(a,b,c)=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$ ฟังก์ชันตัวนี้มีสมมาตรใน 3 ตัวแปร เพราะว่า $f(a,b,c)=f(a,c,b)=f(b,a,c)=f(b,c,a)=f(c,a,b)=f(c,b,a)$ เหมือนตัวเริ่มต้นทุกประการ จะเห็นว่าต้อง check 3!=6 กรณี และถ้าเป็นแบบ 4 ตัวแปร ก็ต้อง check 4!=24 กรณี เป็นต้น

ในทางปฏิบัติจริงๆ ผมจะชอบลองสลับ 2 ตัวใดๆดูแล้วอีกตัวคงเดิม ส่วนใหญ่จะดูสมมาตรขึ้นอยู่กับประสบการณ์ครับ เผอิญว่าโจทย์ส่วนใหญ่เป็นแบบ 3 ตัวแปรเราเลยดูสมมาตรไม่ยาก หรือที่ผมทำเวลาเจอแบบที่ยุ่งยากวุ่นวาย ผมจะใช้โปรแกรมช่วย fix ค่าเอาไว้ครับ เช่นแทน $a=1,b=2,c=3$ แล้วให้มันคำนวณค่าออกมาสมมติว่าได้ $6$ ละกัน ต่อไปก็ต้องให้โปรแกรม fix ค่าใหม่ คือ $a=2,b=1,c=3$ แล้วดูผลที่ได้ออกมาว่าเท่ากับ $6$ อีกหรือไม่ การ fix ค่าก็ต้องลองค่าที่ดูง่ายๆ เช่น 0, 1 หรือจำนวนลบก็ใช้ได้เหมือนกัน ต้องลองผ่านโจทย์เยอะๆเท่านั้นครับ

ลืมบอกไปว่าฟังก์ชันที่มีสมมาตรนำมาบวกกันหรือคูณกันยังคงให้สมมาตร และฟังก์ชันบางตัวที่ไม่มีสมมาตรบวกกันอาจสมมาตรหรือไม่สมมาตรก็ได้ครับ เช่น $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ และ $\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}$ ซึ่งไม่มีสมมาตรแต่เป็น cyclic สองตัวนี้บวกกันได้ $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-3$ มีสมมาตรในตัวแปร เป็นต้นครับ

ลืมบอกไปว่ากรณีโจทย์ข้อ min ของพี่ Noonuii สลับ $a,b$ ก็เปลี่ยนแบบเห็นๆแล้ว ดังนั้นมันไม่สมมาตรครับ

[จูกัดเหลียง]

#209 ขอบคุณ มากๆเลยครับ เเจ่มเเจ้งเลย