|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#1
22 มกราคม 2006, 10:32
|
||||
|
||||
ช่วยพิสูจน์ โจทย์จำนวนเชิงซ้อน ให้ดูหน่อยครับ
กำหนดให้ $ z_{ 1 } , z_{ 2 } , z_{ 3 } $ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งมีสมบัติว่า
l$ z_{ 1 } $l = l$ z_{ 2 } $l = l$ z_{ 3 } $l = 1 และ $ z_{ 1 } $ + $ z_{ 2 } $ + $ z_{ 3 } $ = 0 ให้ Re(z) แทนส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน z จงพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้ ก. Re($ z_{ 1 } $$ z_{ 2 } $) = -1/2 ข. l$ z_{ 1 } $ - $ z_{ 2 } $l = ึ3 
|
|
#2
22 มกราคม 2006, 11:01
|
||||
|
||||
|
ข้อนี้ถ้าเราทราบว่า คุณสมบัติทั้งสองข้อสรุปได้ว่า \( z_1 , z_2 ,z_3 \) เป็นรากที่สามของ 1 แล้วจะคิดได้ไม่ยากครับ แต่ถ้าไม่ทราบคุณสมบัติ เรามีวิธีแสดงได้ดังนี้
จาก\( z_1 + z_2 +z_3 = 0 \) จะได้ว่า \( \overline{z_1} + \overline{z_2} + \overline{z_3} = 0 \) ด้วย จัดรูปใหม่เป็น \( z_1 + z_2 = -z_3 \) และ \( \overline{z_1} + \overline{z_2} = - \overline{z_3} \) เอาสองสมการคูณกันจะได้ \( (z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2}) = z_3 \overline{z_3} \) กระจายเทอมจะได้ว่า \( \mid z_1 \mid ^2 +z_2 \overline{z_1} +z_1\overline{z_2}+ \mid z_2 \mid ^2 = \mid z_3 \mid ^2 \) สังเกตุเทอมตรงกลางว่า \( z_2 \overline{z_1} = \overline{z_1\overline{z_2}} \) ดังนั้น \( 2Re(z_1\overline{z_2} ) = -1 \rightarrow z_1\overline{z_2} = -\frac{1}{2} \) ดังนั้นข้อ ก. ถูก ต่อไปข้อ ข. จะพิจารณาดังนี้ \( \mid z_1 - z_2 \mid ^2 = (\overline{z_1} - \overline{z_2})(z_1-z_2) \) กระจายเทอมฝั่งขวาและใช้ผลจากข้อ ก. จะได้ ว่า \( \mid z_1 - z_2 \mid ^2 = 3 \) ดังนั้น \( \mid z_1 - z_2 \mid = \sqrt{3} \)
__________________
PaTa PatA pAtA Pon!
|
|
#3
22 มกราคม 2006, 11:07
|
||||
|
||||
เอาคร่าวๆนะครับ
 ข้อนี้ทำได้โดยมอง $z_1,\ z_2,\ z_3$ เป็นจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยโดยที่ $z_1+z_2=-z_3$ ให้ $\varphi$ เป็นมุมระหว่าง $z_1$ และ $z_2$ ดังนั้น $\varphi=2\pi/3$ (ทำไม??) การคำนวณส่วนที่เหลือตามมาไม่ยากครับ ป.ล. ช้าไปหกนาทีคงไม่เป็นไรนะครับ อ้อ สังเกต ไม่มีสระอุนะครับคุณ m@gpie
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 22 มกราคม 2006 11:11 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum
|
|
#4
22 มกราคม 2006, 18:36
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
|
|
#5
22 มกราคม 2006, 19:00
|
||||
|
||||
|
อ้อ จริงด้วยครับ คุณ warut สรุปได้แต่เพียงว่า มุมระหว่าง \( z_1 , z_2 , z_3 \) เป็น \( \frac{2\pi}{3}\) รึเปล่าครับ
แต่หนังสือเฉลยข้อสอบเอนท์ ทุกเล่ม สรุปว่า เป็นรากที่สามหมดเลยครับ ซึ่งผมก็ติดใจมานานแล้วว่าทำไม แต่ วิธีคิดของผมมีปัญหารึเปล่าครับ
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! 22 มกราคม 2006 19:02 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ M@gpie
|
|
#7
22 มกราคม 2006, 21:09
|
||||
|
||||
|
ขยายความจากด้านบนนะครับ
หากมอง $z_1,\ z_2,\ z_3$ เป็นเวกเตอร์ เราจะได้ $|z_1+z_2|^2=|z_1|^2+|z_2|^2+2|z_1||z_2|\cos{\varphi}$ แทนค่าแล้วแก้สมการจะได้ $\varphi=2\pi/3$ (ซึ่งจะได้ตามมาว่ามุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสามเป็น $2\pi/3$) ดังนั้น $z_1\overline{z_2}=e^{i\varphi}\overline{e^{i\varphi\pm2\pi/3}} =e^{i\varphi}\overline{e^{i\varphi}}\overline{e^{\pm2\pi/3}}=\overline{e^{\pm2\pi/3}}$ และ $Re{(\overline{e^{\pm2\pi/3}})}=-1/2$ ข้อย่อยหลังทำแบบคุณ M@gpie ครับ แต่หากจะมองง่ายๆก็ลองวาดรูปดูครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. 22 มกราคม 2006 21:20 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum
|
| |
|
|
