จำนวนคำตอบ m,n

[-Math-Sci-]

คู่อันดับ (m,n) ของจำนวนเต็มบวกทั้งหมด ซึ่ง $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{20}$

ตอบ 15 รึเปล่าครับ

[กิตติ]

ลองอ่านดูเผือได้ไอเดีย

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

โจทย์แนวนี้ใช้วิธีคิดเดียวกันได้หมดครับ เคยเอามาออกเป็นข้อสอบ Putnam เมื่อหลายสิบปีมาแล้ว

ข้อสอบนี้เป็นการแข่งขันชิงทุน Putnam ของนักศึกษาระดับปริญญาตรีในอเมริกาครับ

แต่ตอนนี้ข้อสอบลดระดับลงมาที่ระดับม.ต้นเท่านั้นเพราะเด็กเริ่มรู้เทคนิคการหาคำตอบกันเยอะขึ้น

ขออธิบายรูปทั่วไปให้ดูนะครับ เจอโจทย์รูปแบบนี้เมื่อไหร่ก็ใช้ได้ทันที

สมมติเรามีสมการในรูป

$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{p}{q}$

จัดรูปโดยการคูณไขว้จะได้สมการ

$pmn=q(m+n)$

$p^2mn=pq(m+n)$

$(pm)(pn)=q(pm+pn)$

$(pm)(pn)-q(pm+pn)+q^2=q^2$

$(pm-q)(pn-q)=q^2$

จากตรงนี้ก็แยกกรณีโดยการพิจารณาตัวประกอบของ $q^2$

สำหรับข้อนี้จัดรูปแล้วจะได้

$(2m-5)(2n-5)=25$

เมื่อลองเช็คคำตอบตามเงื่อนไขโจทย์จะได้คำตอบคือ

$(m,n)=(3,15),(15,3)$ เท่านั้น

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ลองอ่านดูเผือได้ไอเดีย

ขอบคุณครับ