เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ

[monoguy]

ผมค้นในเว็บบอร์ดแล้ว แต่หาไม่เจอว่ามีการถามกันไปบ้างหรือยัง ก็เลยตั้งกระทู้ถามครับ

ให้ a เป็นจำนวนจริง และพิจารณาปัญหานี้เฉพาะบนจำนวนจริงเท่านั้น ไม่ใช่จำนวนเชิงซ้อนนะครับ
ถามง่ายๆ ครับว่า $(a)^\frac22$ กับ $(a^2)^\frac12$ และ $(\sqrt{a})^2$ เท่ากันหรือไม่

เหตุที่ถามปัญหานี้เพราะว่า มีบทความใน mathcenter นี้ใช้ทฤษฏีบทคล้ายๆ กันนี้เขียนบทความที่ผมเข้าใจว่าผิดหลักทางคณิตศาสตร์ กล่าว คือ ในความเห็นของผมและจากการค้นคว้า พบว่า ทั้งสามอันข้างบนจะเท่ากันหมด เมื่อ $a^\frac12$ หาค่าได้เท่านั้น แต่ในบทความไม่ได้สนใจส่วนนี้เลย

ผมเลยอยากให้ท่านๆ ทั้งหลายช่วยกันไขความกระจ่างส่วนนี้หน่อยว่าผมเข้าใจผิดไปเองหรือเปล่าครับ

[Onasdi]

ถ้า $a\ge 0$ ทั้งสามอันจะเท่ากันครับ เพราะเรารู้ว่า $(a^m)^n=a^{mn}$ สำหรับ $a\ge 0$
แต่ถ้าสมมติ $a=-1$ จะได้

• $a^\frac{2}{2}=a=-1$
• $(a^2)^\frac{1}{2}=1^\frac{1}{2}=1$
• $(a^\frac{1}{2})^2=a=-1$

[ดินสอจัง : )]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

ถ้า $a\ge 0$ ทั้งสามอันจะเท่ากันครับ เพราะเรารู้ว่า $(a^m)^n=a^{mn}$ สำหรับ $a\ge 0$
แต่ถ้าสมมติ $a=-1$ จะได้

• $a^\frac{2}{2}=a=-1$
• $(a^2)^\frac{1}{2}=1^\frac{1}{2}=1$
• $(a^\frac{1}{2})^2=a=-1$

$(a^\frac{1}{2})^2=a=-1$

มันหาค่าได้หรอครับ แปลกๆนะ

(ผมก็อูส่ารื้อฟื้น) 5555

[หยินหยาง]

#3
ระวังหน่อยนะเดี๋ยวจะแปลกที่รื้อขึ้นมา ต้องดูบริบทด้วยนะครับ มันอาจไม่เหมือนที่เคยเห็นเร็วๆนี้ก็ได้นะ

แต่ถ้าจะให้รัดกุมหน่อยก็ตรง $a\ge 0$ ก็เปลี่ยนเป็น $a>0$ แต่พอเข้าใจเจตนาของคนที่อธิบายได้

[Keehlzver]

ก็นั่นแหละครับ สำหรับจำนวนจริง $a$ เราจะได้ว่า $a^{\frac{1}{2}}$ จะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อ $a\geq 0$ ฉะนั้นแล้ว
$(a^m)^{n}=a^{mn}$ ก็ต่อเมื่อ $a^m$ หาค่าได้ ในกรณีที่คุณถามมามันคือกรณีที่ $n=\frac{1}{2}$ และ $m=2$ แต่ว่าถ้า $a=-1$ มันทำให้ $(-1)^{\frac{1}{2}}$ หาค่าไม่ได้ เลยไปอ้างสมบัติ $(a^m)^{n}=a^{mn}$ ไม่ได้ครับ

ก็สรุปว่า $(a^m)^{n}=a^{mn}$ ก็ต่อเมื่อ $a^m$ หาค่าได้ ในกรณีที่เป็นรากที่ 2,4,6 ก็พิจารณาแบบเดียวกัน

[skybaron]

เลขชี้กำลังคูณกัน น่าจะต้องทำเป็นต้องเป็นเศษส่วนอย่างต่ำก่อน

$a = -1$

$(a^\frac{1}{2} )^2 = -1$

ผิดถูกตรงไหน เชิญท่านผู้รู้ชี้แนะด้วยครับ


ปล. ลองกับ wolfram alpha ก็ได้ เหมือนผมครับ

[Keehlzver]

เพื่อความเข้าใจลองตอบคำถามข้อนี้ดู

1.ถ้า $a=-1$ จงหาค่าของ $a^{\frac{4}{6}}$ ใช่ 1 หรือเปล่า?
2.$(\sqrt{-1})^2=\sqrt{(-1)^2}$ จริงหรือไม่

[PP_nine]

ขอกระโดดไปถึงจำนวนเชิงซ้อนเลยละกัน ติดใจมานานแล้ว

อยากถามว่า เมื่อไหร่เราจะมองเลขชี้กำลังว่าเป็น "รากที่..." หรือ "ยกกำลัง..." ไปเลย

อย่างเช่น $(-1)^{2/3}=(e^{i \pi})^{2/3}=e^{i(2\pi/3)}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

แต่ $(-1)^{1/3}=-1$ เพราะหมายถึงรากที่สาม ซึ่งถ้าคิดแบบข้างบนจะได้คำตอบไม่ตรงกัน

หรือว่าแยกกรณีแบบที่ผมทำก็ถูกแล้ว มึนงงจริง

[Amankris]

#8
$(-1)^{\frac{1}{3}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$

[Keehlzver]

สรุปว่าข้อ 1 ของผมตอบแบบที่คุณ pp_nine ทำครับ เป็น $e^{\frac{2\pi i}{3}}$
ข้อข้างล่างตอบว่าไม่เท่าครับ ข้างซ้ายได้ -1 ข้างขวาได้ 1

ถ้า $a$ เป็นจำนวนจริงใดๆแล้ว $\sqrt{a^2}=|a|$
ถ้า $a\geq 0,b\geq 0$ แล้ว $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$

[ดินสอจัง : )]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

#3
ระวังหน่อยนะเดี๋ยวจะแปลกที่รื้อขึ้นมา ต้องดูบริบทด้วยนะครับ มันอาจไม่เหมือนที่เคยเห็นเร็วๆนี้ก็ได้นะ

แต่ถ้าจะให้รัดกุมหน่อยก็ตรง $a\ge 0$ ก็เปลี่ยนเป็น $a>0$ แต่พอเข้าใจเจตนาของคนที่อธิบายได้

งงอะครับ ขยายความหน่อย

[monoguy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ก็นั่นแหละครับ สำหรับจำนวนจริง $a$ เราจะได้ว่า $a^{\frac{1}{2}}$ จะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อ $a\geq 0$ ฉะนั้นแล้ว
$(a^m)^{n}=a^{mn}$ ก็ต่อเมื่อ $a^m$ หาค่าได้ ในกรณีที่คุณถามมามันคือกรณีที่ $n=\frac{1}{2}$ และ $m=2$ แต่ว่าถ้า $a=-1$ มันทำให้ $(-1)^{\frac{1}{2}}$ หาค่าไม่ได้ เลยไปอ้างสมบัติ $(a^m)^{n}=a^{mn}$ ไม่ได้ครับ

ก็สรุปว่า $(a^m)^{n}=a^{mn}$ ก็ต่อเมื่อ $a^m$ หาค่าได้ ในกรณีที่เป็นรากที่ 2,4,6 ก็พิจารณาแบบเดียวกัน

นั่นแหล่ะครับ ผมถึงได้ถาม คุณลองดูที่ url นี่สิ http://www.mathcenter.net/review/rev...iew10p01.shtml
ไม่ได้มีการบอกเงื่อนไขเลยว่าใช้ได้เมื่อไหร่