ช่วยคิดโจทย์คอมบินาทอริกหน่อยนะคะ

[nono123]

1.ถ้านำคำที่เกิดจากการเรียงอักษรในคำว่า ARRANGE มาเรียงตามลำดับพจนานุกรม โดยมีคำว่า AAEGNRR อยู่ในลำดับแรก อยากทราบว่า ARRANGE อยู่ในลำดับที่เท่าไร
2.


ขอบคุณมากๆๆๆค่ะ

[กระบี่ทะลวงด่าน]

ใช่ สอวน.ไหมครับ

[nono123]

ใช่ค่ะ ทำไม่เป็นอะ

[Amankris]

1
ค่อยๆนั่งไล่นะครับ

2
ทำได้หลายวิธี อาจจะลองหาตัวแรกๆดูแล้ว Induction ก็ได้ครับ

[nooonuii]

ถ้าจะพิสูจน์ตรงๆลองพิสูจน์ว่า

$$\dfrac{1}{k+1}\binom{n}{k}=\dfrac{1}{n+1}\binom{n+1}{k+1}$$ สำหรับ $k=0,1,...,n$

[Thgx0312555]

1 AAEGNRR / ARRANGE

ขั้น1 ใส่ A ลง
มีคำที่ A อยู่หน้า = $\frac{6!}{2!} = 360$ คำ

ขั้น2 ใส่ R ลง
พิจารณาคำที่อยู่หน้าคำนี้
จะเกิดคำได้ $4 x \frac{5!}{2!} = 240$ คำ (คำที่ 1-240)
ดังนั้นคำที่ขึ้นต้นด้วย AR อยู่คำที่ 241-360

ขั้น3 ใส่ R อีกตัว
พิจารณาคำที่อยู่หน้าคำนี้ (ขึ้นต้นด้วย AR)
จะเกิดคำได้ $4 x 4! = 96$ คำ (คำที่ 241-336)
ดังนั้นคำที่ขึ้นต้นด้วย ARR อยู่คำที่ 337-360

ขั้น4 ใส่ A
ขึ้นต้นด้วย ARRA มีได้ 3! = 6 คำ (คำที่ 337-342)

ขั้น5 ลัดๆ NGE อยู่หลังกว่า NEG GEN GNE ENG EGN
เป็นตัวที่ 342 ครับ

[เทพเวียนเกิด]

2. $(1+x)^n $ = $\binom{n}{0}$ + $\binom{n}{1}x$ + ... + $\binom{n}{n}$ $x^n$
อินทิเกรตทั้งสองข้างได้
$$\frac{(1+x)^{n+1}-1}{n+1} = \binom{n}{0}x + \binom{n}{1}\frac{x^2}{2} + ... + \binom{n}{n}\frac{x^{n+1}}{n+1} $$
เเทน x=1
$$\frac{(1+1)^{n+1}-1}{n+1} = \binom{n}{0} + \binom{n}{1}\frac{1}{2} + ... + \binom{n}{n}\frac{1}{n+1} $$
$$= \frac{2^{n+1}-1}{n+1}$$