โจทย์เลขเรื่อง log,เลขยกกำลัง,ตรีโกณ ครับ

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ porbaabin

9. จงหาเซตคำตอบของสมการ $cos(2arccos(1-x)) = x^2$

ข้อนี้ผมเช็คขอบเขตของค่า $x$ จากนิยามของฟังก์ชั่นอินเวอร์สของตรีโกณ
ใน$\arccos x$ เรากำหนดว่า $-1\leqslant x \leqslant 1$
จาก $arccos(1-x)$ จะได้ว่า $-1\leqslant 1-x \leqslant 1$
เอา -1 คูณเข้าไปจะได้ $-1\leqslant x-1 \leqslant 1$
$0 \leqslant x \leqslant 2$

ให้ $arccos(1-x)=A \rightarrow \cos A=1-x$

$cos(2arccos(1-x)) =\cos 2A = x^2$

$2\cos^2A-1=x^2$

$2(1-x)^2-1=x^2$

$2-4x+2x^2-1=x^2$

$x^2-4x+1=0$....ใช้สูตรสำเร็จในการแก้สมการกำลังสอง

ได้ $x=2\pm \sqrt{3} $ แต่ $2+\sqrt{3}>2$ จึงใช้ไม่ได้ เหลือคำตอบเดียวคือ
$x=2-\sqrt{3}$

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ porbaabin

4. จงหาค่าของ $log_3 (\sqrt[6]{27\sqrt[6]{81}})^{\frac{1}{11}}$

ข้อนี้น่าจะลองแปลงจากด้านในก่อน
$\sqrt[6]{27\sqrt[6]{81}}$

$=(27)^{\frac{1}{6}} (\sqrt[6]{81})^{\frac{1}{6}}$

$=(3^3)^{\frac{1}{6}} ((3^4)^{\frac{1}{6}})^{\frac{1}{6}}$

$=3^{\frac{1}{2}} ((3^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{6}}$

$=3^{\frac{1}{2}} (3^{\frac{1}{9}})$

$=3^{\frac{1}{2}+\frac{1}{9}} = 3^{\frac{11}{18} }$

$log_3 (\sqrt[6]{27\sqrt[6]{81}})^{\frac{1}{11}}$

$=log_3 (3^{\frac{11}{18} })^{\frac{1}{11}}$

$=log_3 (3^{\frac{1}{18} })$

$=\frac{1}{18} $

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ porbaabin

5. กำหนดให้ $log_{100} x = 1 - log\sqrt{10^{logx} + 15}$ จงหาค่าของ $x^2 + 1$

$log_{100} x = 1 - log\sqrt{10^{logx} + 15}$

$\frac{1}{2}log_x = 1 -\frac{1}{2} log(10^{logx} + 15)$

$log_x +log(10^{logx} + 15)= 2$

และ $10^{logx}=x$

$log_x +log(x+ 15)= 2$

$log (x(x+15))=2$

$log (x^2+15x)=2$

$x^2+15x=100$

$x^2+15x-100=0$

$(x-5)(x+20)=0$

$x=-20,5$ แต่จากนิยามของลอการิธึม จะได้ว่า $log_{100} x$ และ $log(x+ 15)$ เมื่อ
$x>0$ และ $x>-15$ ดังนั้น $x>0$ จึงเหลือค่าเดียวคือ $x=5$

ค่าของ$x^2+1$ เมื่อ $x=5$ คือ $26$

[yellow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ porbaabin

14. จากจุด $P$ ริมฝั่งแม่น้ำ มองเห็นยอดต้นไม้ซึ่งอยู่ฝั่งตรงข้ามเป็นมุมเงย $x^๐$ จากจุด $Q$ ซึ่งอยู่ฝั่งเดียวกันกับต้นไม้และอยู่ริมฝั่งพอดี และอยู่ในแนวเดียวกันกับเส้นตรงที่ต่อจากโคนต้นไม้ไปยังจุด $P$ จะเห็นยอดไม้เป็นมุมเงย $y^๐$ ถ้าจะยะจากริมฝั่ง $P$ ถึงริมฝั่ง $Q$ ยาว $a$ ฟุตแล้ว จงหาความสูงของต้นไม้ (ตอบในรูปของ $a,x,y$)

ให้ต้นไม้สูง h

ระยะจากจุด P ถึงโคนต้นไม้ = $h cot X$

ระยะจากจุด Q ถึงโคนต้นไม้ = $h cot Y$

$(h cot X)^2 + (h cot Y)^2 = a^2$

$h =\sqrt{\frac{a^2 }{(cot^2 X) + (cot^2 Y)} }$

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ porbaabin

15. จากจุด $2$ จุดบนพื้นระนาบ ห่างจากเสาอากาศโทรทัศน์เป็นระยะ $a$ และ $b$ ฟุตตามลำดับ ($a>b$) โดยที่จุด $2$ จุด และฐานของเสาโทรทัศน์อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน มุมเงยของยอดเสาโทรทัศน์จากจุด $2$ จุด คือ $x^๐$ และ $y^๐$ ตามลำดับ ถ้า $x + y = 90^๐$ จงหาความสูงของเสาโทรทัศน์

ลองวาดรูปออกมาก่อน ผมวาดได้แบบนี้ ไม่รู้ว่าตรงตามโจทย์หรือเปล่า



จะได้ว่า $h=b \tan y = a \tan x$

$\cos (x^๐+y^๐)=\cos 90^๐=0$
ดังนั้น $\cos x^๐ \cos y^๐=\sin x^๐ \sin y^๐$

$\sin (x^๐+y^๐)=\sin 90^๐=1$
$\sin x^๐ \cos y^๐ +\cos x^๐ \sin y^๐ =1$
จาก $b \tan y = a \tan x \rightarrow a \sin x^๐ \cos y^๐ =b \cos x^๐ \sin y^๐ $ นำไปแทนในสมการข้างต้น
$(\frac{b}{a} +1)\cos x^๐ \sin y^๐ =1$

$\cos x^๐ \sin y^๐ =\frac{a}{a+b} $.....(1)
และจะได้ต่อว่า $\sin x^๐ \cos y^๐ =\frac{b}{a+b}$.......(2)
จับ (1) มาหารด้วย (2) จะได้ว่า

$\frac{\cos x^๐ \sin y^๐ }{\sin x^๐ \cos y^๐}=\frac{a}{b} $
จัดเทอมอีกที

$\frac{\cos x^๐ }{\sin x^๐ }\frac{\sin y^๐ }{\cos y^๐} =\frac{a}{b}$
จากที่หาไว้ตอนแรก $\cos x^๐ \cos y^๐=\sin x^๐ \sin y^๐$
จะได้ว่า $\frac{\cos x^๐ }{\sin x^๐ } =\frac{\sin y^๐ }{\cos y^๐}$ นำไปแทน
จะได้ว่า
$(\frac{\sin y^๐ }{\cos y^๐ })^2=\frac{a}{b}$

$\frac{\sin y^๐ }{\cos y^๐ }=\sqrt{\frac{a}{b}} $

จากที่หาไว้ก่อน คือ $h=b \tan y = b \frac{\sin y^๐ }{\cos y^๐ } $

$h= b \times \sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{ab} $

ความสูงของเสาโทรทัศน์ คือ $\sqrt{ab}$

[กิตติ]

คุณyellowมาแล้ว....
ในส่วนที่ผมทำไป หากมีตรงไหน ผมตกหล่นหรือคิดผิดไปก็ช่วยบอกด้วยแล้วกัน ผมคิดว่าผมคงช่วยได้เท่านี้ ส่วนที่เหลือคงมีอีกหลายท่านช่วยได้
จากที่ดูว่าคุณprobaabin ที่เพิ่งเป็นสมาชิกใหม่ เขียนกระทู้แรก โดยใช้ภาษาlatex ผมว่าเขียนได้ค่อนข้างดี จริงๆคุณน่าจะหัวดีใช่น้อยอยู่แล้ว ขอเพียงอดทน ฝึกฝนอย่างสม่ำเสมอ ผมเชื่อว่าในอนาคต คุณน่าจะเก่งกว่าผมได้โดยไม่ยาก ขอให้เชื่อมั่นครับ

[porbaabin]

ผมขอขอบคุณพี่ๆทุกคนมากนะครับ แล้วผมจะพยายามทำความเข้าใจกับวิธีทำในแต่ละข้อที่พี่ๆช่วยคิดมานะครับ

แล้วก็เนื้อหาภายในกระทู้ที่เป็นภาษาlatex นี่ ก่อนผมจะตั้งกระทู้ผมกด แสดงผลข้อความก่อนส่ง หลายสิบรอบอยู่เหมือนกัน พิมพ์เสร็จข้อนึงก็กดแสดงผลข้อความ ตรงไหนเบี้ยวหรือเลขอยู่ผิดที่ก็ลองจัดๆคำแล้วก็ย้ายไปย้ายมาหลายรอบจนได้เหมือนในเรบแรกครับ

[lek2554]

ข้อ 15 ผมเสนออีกแนวหนึ่งครับ



จากรูป $tany=\dfrac{h}{b}=\dfrac{a}{h}$

[กิตติ]

วิธีของพี่เล็ก สุดยอดครับ.ท่าทางจะต้องเปลี่ยนฉายาว่า กระบี่เดียวปลิดชีพ
ข้อกำหนดของโจทย์ตั้งยืดยาว ไม่เอามาใช้ก็ได้คำตอบเท่ากัน
นับถือกระบวนท่าของพี่ท่าน

[Amankris]

#14
ครับ ถ้าเจ้าของกระทู้ ต้องการนำไปพัฒนาต่อยอดก็เป็นเรื่องที่ดีครับ


ผมอาจมองโลกในแง่ร้ายไปหน่อย

ก็ต้องขอบคุณ คุณ กิตติ แล้วกันครับ ที่ทำให้เห็นมุมมองอีกด้านบ้าง

[porbaabin]

ขอบ คุณ ทุกๆ ๆๆ คน ม๊าก นร๊ๆ คัฟ ^^