มาเตรียมพร้อมซักนิด ก่อนสอบสมาคมกันดีกว่า :)

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ '' ALGEBRA ''

$4.)กำหนดให้ \frac{sinx+siny+sinz}{sin(x+y+z)}=2= \frac{cosx+cosy+cosz}{cos(x+y+z)} จงหาค่าของ sinx siny + siny sinz + sinz sinx และ cosx cosy + cosy cosz +cosz cosx$

ให้ $$sinx+siny+sinz=2sin(x+y+z)...........(1) , cosx+cosy+cosz=2cos(x+y+z)............(2)$$
โดยกำหนดให้ $s=sinxsiny+sinysinz+sinzsinx,t=cosxcosy+cosycosz+coszcosx$และ $p=x+y+z$
นำ $(1)^2+(2)^2$ ได้ $$(sin^2x+cos^2x)+(sin^2y+cos^2y)+(sin^2z+cos^2z)+2s+2t=4(sin^2p+cos^2p) \Leftrightarrow 3+2s+2t=4 \Leftrightarrow s+t=\frac{1}{2} ........(3) $$
พิจารณา $$t-s=(cosxcosy-sinxsiny)+(cosycosz-sinysinz)+(coszcosx-sinzsinx)$$
$$=cos(x+y)+cos(y+z)+cos(z+x)=cos(p-x)+cos(p-y)+cos(p-z)$$
$$=cosp(cosx+cosy+cosz)+sinp(sinx+siny+sinz)=2(sin^2p+cos^2p)=2$$
จะได้ $t+s=\frac{1}{2},t-s=2\Rightarrow s=-\frac{3}{4} ,t=\frac{5}{4} $
ดังนั้น$sinxsiny+sinysinz+sinzsinx=-\frac{3}{4}$ และ $cosxcosy+cosycosz+coszcosx=\frac{5}{4}$

['' ALGEBRA '']

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ลองทำข้อนี้ดู ถึกพอสมควรเลยครับ
ไม่ทราบว่ามีเฉลยอ่ะป่าว คิดได้ $1002$ อ่ะครับ (ไม่ค่อยแน่ใจ)
มาเพิ่มวิธีทำครับ จากการสังเกต จะพบว่า
$a_2=3^1$
$a_{4}=3^2$
$a_{8}=3^3$... นั่นคือ $a_{2^k}=3^k$
$a_{100}=a_{2^6+36}$ คืออีก 36พจน์ถัดไปจาก $a_{64}=3^6$
พิจารณาพจน์ถัดจาก $3^6$ จะได้
$3^0+3^6,3^1+3^6,...,3^5+3^6,..$ เปรียบเหมือนการเลือกเลขยกกำลัง จาก $0-5$ ทีละ $1,2,3,4,5$ ตัวตามลำดับ (ไม่คิดเลข 6 แต่เวลาตอบต้องรวมด้วยนะ)
ดังนั้นจะได้ว่า อีก 36 พจน์เลือกตามลำดับจากน้อยไปมากได้ดังนี้
$0,1,2,3,4,5$ 6 ตัว
$(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5)$ 5ตัว
$(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)$ 4ตัว
$(2,3),(2,4),(2,5)$ 3ตัว
$(3,4),(3,5)$ 2ตัว
$(4,5)$ 1ตัว
$(0,1,2),(0,1,3),(0,1,4),(0,1,5)$ 4ตัว
$(0,2,3),(0,2,4),(0,2,5)$ 3ตัว
$(0,3,4),(0,3,5)$ 2ตัว
$(0,4,5)$ 1ตัว
$(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5)$ 3ตัว
$(1,3,4),(1,3,5)$ 2ตัว ถึงตรงนี้จะครบ 36 ตัวพอดี
ดังนั้น ตัวที่ $100$ คือ $3^1+3^3+3^5+3^6=1002$ ครับ

เฉลยมันเป็น 729 อ่ะคับ
ส่วนข้ออื่นๆ ถูกหมดแร้วอ่ะคับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ '' ALGEBRA ''

เฉลยมันเป็น 729 อ่ะคับ
ส่วนข้ออื่นๆ ถูกหมดแร้วอ่ะคับ

$729=3^6$ นะครับ ซึ่งจะตรงกับเลขตัวที่ 64 นะครับ

[กิตติ]

ข้อที่ 0.1
จงหาค่าสูงสุดของ $\frac{cosec^2x - tan^2x}{cot^2x + tan^2x -1} $

เล่นเอาผมมึนไปหลายวัน ช่วงนี้สมองไม่ค่อยแล่นเลย
ผมคิดได้ $\frac{5}{3}$
$\frac{cosec^2x - tan^2x}{cot^2x + tan^2x -1} $

$=\frac{(cot^2x+1) - tan^2x}{cot^2x + tan^2x -1} $

$=\frac{1+tan^2x - tan^4x}{tan^4x - tan^2x+1} $

ให้ $tan^4x - tan^2x=S$

$=\frac{1- S}{S +1} $

$=-\frac{S+1-2}{S +1} $

$=\frac{2}{S +1}-1$

หาค่ามากที่สุดของ $\frac{2}{S +1}$ ก็จะได้ค่ามากที่สุดของ $\frac{2}{S +1}-1$

ซึ่งต้องหาค่าของ $S+1$ ที่น้อยที่สุด
ให้ $\tan^2x=k$
$S+1=k^2-k+1=(k-\frac{1}{2} )^2+\frac{3}{4} $
ค่าน้อยที่สุด เกิดขึ้นเมื่อ $k-\frac{1}{2}=0 \rightarrow \tan x=\pm \frac{1}{\sqrt{2} } $
ได้ค่าน้อยที่สุดคือ $\frac{3}{4}$

ค่ามากที่สุดของ $\frac{2}{S +1}$ คือ $\frac{8}{3}$

ค่าสูงสุดของ $\frac{cosec^2x - tan^2x}{cot^2x + tan^2x -1} $ เท่ากับ $\frac{5}{3} $ ที่ค่าของ $\tan x=\pm \frac{1}{\sqrt{2} }$

['' ALGEBRA '']

#19 ถูกแล้วคับ
วิธีของคุณกิตติเข้าใจง่ายกว่าของผมเยอะเลย

['' ALGEBRA '']

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

$729=3^6$ นะครับ ซึ่งจะตรงกับเลขตัวที่ 64 นะครับ

ขอโทษทีคับจิงๆมันต้องตอบ 981

$1,3,4,9,10,12,13\Longleftrightarrow3^0,3^1,3^0+3^1,3^2,3^0+3^2,3^1+3^2,3^0+3^1+3^2$

$ตัวที่2^3-1คือ3^0+3^1+3^2$

$แสดงว่าตัวที่2^6-1คือ3^0+3^1+3^2+3^3+3^4+3^5\star \star ถ้า2^7-1=ตัวที่127มันจะเกินลำดับที่100$

$จะได้ตัวที่64คือ3^6$

$และตัวที่2^5-1คือ3^0+3^1+3^2+3^3+3^4$

$ตัวที่32คือ3^5$
$ตัวที่33คือ3^0+3^5$
$ตัวที่34คือ3^1+3^5$
$ตัวที่35คือ3^0+3^1+3^5$
$ตัวที่36คือ3^2+3^5$
$\therefore ตัวที่100=ตัวที่64+ตัวที่36=3^6+(3^2+3^5)=981 $

[skygoe]

ผม ไป มั่ย ดั่ย อ่าครับบบบบ T^T

[-InnoXenT-]

$x^2+y^2+xy+3x+6y+6=0$

$y^2+(x+6)y+x^2+3x+6=0$

$y = \frac{-x-6\pm \sqrt{x^2+12x+36-4x^2-12x-24}}{2}$

$y = \frac{1}{2}(\pm\sqrt{12-3x^2}-x-6)$

จำนวนเต็มที่เป็นไปได้สำหรับ $x$ คือ $-2,-1,0,1,2$

ดังนั้น คู่อันดับที่เป็นไปได้คือ $(-2,-2),(-1,-4),(-1,-1),(1,-5),(1,-2),(2,-4)$ ส่วน $0$ เป็นไปไม่ได้เพราะจะทำให้ $y$ ไม่ใช่จำนวนเต็ม

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ '' ALGEBRA ''

ขอโทษทีคับจิงๆมันต้องตอบ 981

$1,3,4,9,10,12,13\Longleftrightarrow3^0,3^1,3^0+3^1,3^2,3^0+3^2,3^1+3^2,3^0+3^1+3^2$

$ตัวที่2^3-1คือ3^0+3^1+3^2$

$แสดงว่าตัวที่2^6-1คือ3^0+3^1+3^2+3^3+3^4+3^5\star \star ถ้า2^7-1=ตัวที่127มันจะเกินลำดับที่100$

$จะได้ตัวที่64คือ3^6$

$และตัวที่2^5-1คือ3^0+3^1+3^2+3^3+3^4$

$ตัวที่32คือ3^5$
$ตัวที่33คือ3^0+3^5$
$ตัวที่34คือ3^1+3^5$
$ตัวที่35คือ3^0+3^1+3^5$
$ตัวที่36คือ3^2+3^5$
$\therefore ตัวที่100=ตัวที่64+ตัวที่36=3^6+(3^2+3^5)=981 $

ขอบคุณมากครับ มาลองคิดดูใหม่แล้ว ผมไม่ได้เรียงจากน้อยไปมากครับ แค่ไล่ตัวเลขเฉยๆ
จริงๆจะต้องเรียงแบบนี้
$0,1,(0,1),2,(0,2),(1,2),(0,1,2),3...$
สุดท้ายก็จะได้ตัวที่ 36 คือ $(2,5)$ ดังนั้น ตัวที่ 100 คือ $3^2+3^5+3^6=981$ เท่ากันครับ

[BLACK-Dragon]

1.) จงหาค่าของ $\sin \dfrac{2\pi}{11}\sin \dfrac{4\pi}{11}\sin \dfrac{6\pi}{11}\sin \dfrac{8\pi}{11}\sin \dfrac{10\pi}{11}$

2.) จงหาค่าของ $\tan \dfrac{3\pi}{11}+4\sin \dfrac{2\pi}{11}$

Credit: คุณ Gon เคยเขียนไว้ในบทความ ทฤษฎีและสมการตรีโกณมิติ