ถามเรื่องการหารลงตัว

[erk12th]

เช่น มีจำนวนนับกี่จำนวนที่มีค่าระหว่าง $100$ กับ $1000$ และหารด้วย $7$ ลงตัว แล้วเรามาใช้สูตร
$n=\frac{a_n-a_1}{7}+1$ เมื่อ n คือจำนวนที่ $7$ หารลงตัวทั้งหมด และ $a_1$ คือจำนวนแรกที่ $7$ หารลงตัว $a_n$ คือ จำนวนสุดท้ายที่ $7$ หารลงตัว สูตรมีที่มายังไง หาวิธีอื่นได้มั้ย มีบทพิสูจน์มั้ยครับ

[nooonuii]

เป็นความรู้เรื่องลำดับเลขคณิต เพราะจำนวนที่หารด้วย $7$ ลงตัวจะเป็นลำดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ $7$

ข้อนี้ผมใช้สูตร $\left[\dfrac{999}{7}\right]-\left[\dfrac{100}{7}\right]$ ซึ่งมาจาก

$\spadesuit$ จำนวนของจำนวนนับตั้งแต่ $1$ ถึง $n$ ที่หารด้วย $k$ ลงตัวมีอยู่ทั้งหมด $\left[\dfrac{n}{k}\right]$ จำนวน

พิสูจน์ เขียน $n=kq+r$ เมื่อ $0\leq r<k$ จะได้ว่า จำนวนนับตั้งแต่ $1$ ถึง $n$ ที่หารด้วย $k$ ลงตัว คือ

$k,2k,...,qk$ ซึ่งมี $q$ จำนวน แต่

$q\leq q+\dfrac{r}{k} $

$~= \dfrac{n}{k}$

$~<q+1$

จึงได้

$\left[\dfrac{n}{k}\right] =q$

[วะฮ่ะฮ่า03]

function floor 1000/7-floor 100/7 = 142-14=128

[art_clex]

ใช้วิธีการนับตัว index
ตัวที่หารด้วย 7 ลงตัวจะอยู่ในรูป 7k เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม
และ ตัวแรกที่ที่อยู่ระหว่าง 100 -1000 คือ 7x(100/7 ปัดขึ้น เพื่อให้มันมากกว่า 100) = 7(15) และตัวสุดท้ายคือ 7x(100/7 ปัดลงเพื่อให้มันไม่เกิน 1000)= 7(142) ดังนั้นตัวเลขที่หารเจ็ดลงตัวระหว่าง 100-1000 เท่ากับจำนวนตัวเลข 15 ถึง 142 ซึ่งมีทั้งหมด

142-15+1 =...

[Real Matrik]

ถ้าไม่อยากจำสูตรอาจสังเกตอย่างนี้ก็ได้ครับ
จำนวนระหว่าง $100$ ถึง $1000$ ที่หารด้วย $7$ ลงตัว เขียนเป็นลำดับได้ดังนี้
$$105,112,119,...,994$$
$$7(15),7(16),7(17),...,7(142)$$
เราจะนับจำนวนของตัวเลขทั้งหมด โดยการสังเกตตัวเลขในวงเล็บ ได้ว่า
จาก $1$ ถึง $14$ มี $14$ จำนวน
และ จาก $1$ ถึง $142$ มี $142$ จำนวน
นั่นคือ จาก $15$ ถึง $142$ จะมีทั้งหมด $142-14=128$ จำนวน