ช่วยแนะนำ ทำอย่างไรกับโจทย์ตรีโกณฯกับอนุกรม (มี 2 ข้อค่ะ)

[คิม แต ฮี]

ข้อที่ 1. $\sum_{i = 1}^{100}$ arctan ($\frac{2i}{i^4+i^2+2}$) = arctanx - $\frac{\pi}{4}$

ข้อที่ 2. $\frac{-1+\frac{1}{2^5}-\frac{1}{3^5}+\frac{1}{4^5}-\frac{1}{5^5}+...}{1+\frac{1}{3^5}+\frac{1}{5^5}+\frac{1}{7^5}+...}$

[PP_nine]

ข้อสองเป็นโจทย์คล้ายๆกับรอบแรกของ IJSO ครับ มีช่วงนึงชอบออกบ่อย

ให้ $A=1+\dfrac{1}{3^5}+\dfrac{1}{5^5}+\dfrac{1}{7^5}+\cdots$

และ $B=\dfrac{1}{2^5}+\dfrac{1}{4^5}+\dfrac{1}{6^5}+\dfrac{1}{8^5}+\cdots$

จะได้ว่า $2^5 \cdot B = 1+\dfrac{1}{2^5}+\dfrac{1}{3^5}+\dfrac{1}{4^5}+\cdots$

$32B=A+B$

$A=31B$

ที่โจทย์ถามคือ $\dfrac{-A+B}{A}=-1+\dfrac{B}{A}=-1+\dfrac{1}{31}=-\dfrac{30}{31}$ #

(โดยส่วนตัว) ทำไมช่วงนี้มีคนถามโจทย์ประเภทนี้เยอะจัง

[คิม แต ฮี]

ขอบคุณมากเลยคะคุณ PP_nine ทำไมมันยากจัง คิดเองไม่ออกเลย

[PP_nine]

ส่วนข้อแรกเรียกว่าเป็นเทคนิค catalyst (ตัวเร่ง) ก็คือ ทำอะไรบางอย่างเพื่อให้ส่งผลเป็นทอดๆอย่างต่อเนื่อง

ข้อนี้โจทย์เค้าใบ้มาแล้วตรงที่ $\dfrac{\pi}{4}$ ย้ายไปเป็น $$\arctan x = \frac{\pi}{4}+\sum_{k=1}^{100} \arctan \Big( \frac{2k}{k^4+k^2+2} \Big)$$
เปลี่ยน $\dfrac{\pi}{4}$ ให้เป็น $\arctan 1$ แล้วใช้เอกลักษณ์ $\arctan a + \arctan b = \arctan \Big( \dfrac{a+b}{1-ab} \Big)$ (เมื่อ $a,b$ เป็นจำนวนจริงบวก)

ถ้าทำในห้องสอบอาจจะทดแล้วดูความสัมพันธ์ต่อๆไปเลยก็ได้ ไม่จำเป็นต้องมานั่งพิสูจน์ (ขอละการพิสูจน์ไว้ เพราะกระจายพจน์เยอะมาก )

สังเกตว่า $\arctan 1 + \arctan \Big( \dfrac{2(1)}{1^4+1^2+2} \Big) = \arctan 1 +\arctan \dfrac{1}{2} = \arctan 3$

$\arctan 3 + \arctan \Big( \dfrac{2(2)}{2^4+2^2+2} \Big) = \arctan 3 +\arctan \dfrac{2}{11} = \arctan 7$

$\arctan 7 + \arctan \Big( \dfrac{2(3)}{3^4+3^2+2} \Big) = \arctan 7 +\arctan \dfrac{3}{46} = \arctan 13$

$\arctan 13 + \arctan \Big( \dfrac{2(4)}{4^4+4^2+2} \Big) = \arctan 13 +\arctan \dfrac{4}{137} = \arctan 21$

พิจารณาลำดับ 3,7,13,21,... มีผลต่างลำดับขั้นที่สองเท่ากัน จึงเป็นลำดับของพหุนามกำลังสอง

แก้ออกมาได้พจน์ทั่วไปคือ $a_n=n^2+n+1$

ดังนั้น เมื่อบวกไปจนถึง $\arctan \Big( \dfrac{2(100)}{100^4+100^2+2} \Big)$ ก็จะได้ $\arctan (100^2+100+1)$

ดังนั้น $x=100^2+100+1=10101$ #

[คิม แต ฮี]

แหะๆ ทำไมมัน ยากขนาดนี้ ขอบคุณมากเลยคะ เดี่ยวขอไปนั่งทำความเข้าใจข้อ 1 อีกที

[LightLucifer]

PP มีโจทย์ แนวข้อ 1 อีกป่าว

ปล. PP ตอนนี้ไร้เทียมทานมาก Pat1 คงฟาดได้หมด

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

PP มีโจทย์ แนวข้อ 1 อีกป่าว

ปล. PP ตอนนี้ไร้เทียมทานมาก Pat1 คงฟาดได้หมด

ไม่ถึงกับไร้เทียมทานหรอก แค่กะเต็มที่กะ PAT1 55

(คะแนนแกทแพทไม่ได้ใช้ เลยฟิดเลขอย่างเดียวเลยคราวนี้)

ตัวอย่างโจทย์คล้ายๆข้อแรกก็เช่น จงหาค่าของ
$$\frac{1}{e+\dfrac{1}{e}}+\frac{1}{\Big(e+\dfrac{1}{e}\Big)\Big(e^2+\dfrac{1}{e^2}\Big)}+\frac{1}{\Big(e+\dfrac{1}{e}\Big)\Big( e^2+\dfrac{1}{e^2}\Big)\Big(e^4+\dfrac{1}{e^4}\Big)}+\cdots$$
เลขยกกำลังค่อยๆเพิ่มแบบ expo : $1,2,4,8,16,...$

โจทย์จากข้อสอบแข่งขันจุฬาวิชาการ 54

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

ส่วนข้อแรกเรียกว่าเป็นเทคนิค catalyst (ตัวเร่ง) ก็คือ ทำอะไรบางอย่างเพื่อให้ส่งผลเป็นทอดๆอย่างต่อเนื่อง

ข้อนี้โจทย์เค้าใบ้มาแล้วตรงที่ $\dfrac{\pi}{4}$ ย้ายไปเป็น $$\arctan x = \frac{\pi}{4}+\sum_{k=1}^{100} \arctan \Big( \frac{2k}{k^4+k^2+2} \Big)$$
เปลี่ยน $\dfrac{\pi}{4}$ ให้เป็น $\arctan 1$ แล้วใช้เอกลักษณ์ $\arctan a + \arctan b = \arctan \Big( \dfrac{a+b}{1-ab} \Big)$ (เมื่อ $a,b$ เป็นจำนวนจริงบวก)

ถ้าทำในห้องสอบอาจจะทดแล้วดูความสัมพันธ์ต่อๆไปเลยก็ได้ ไม่จำเป็นต้องมานั่งพิสูจน์ (ขอละการพิสูจน์ไว้ เพราะกระจายพจน์เยอะมาก )

สังเกตว่า $\arctan 1 + \arctan \Big( \dfrac{2(1)}{1^4+1^2+2} \Big) = \arctan 1 +\arctan \dfrac{1}{2} = \arctan 3$

$\arctan 3 + \arctan \Big( \dfrac{2(2)}{2^4+2^2+2} \Big) = \arctan 3 +\arctan \dfrac{2}{11} = \arctan 7$

$\arctan 7 + \arctan \Big( \dfrac{2(3)}{3^4+3^2+2} \Big) = \arctan 7 +\arctan \dfrac{3}{46} = \arctan 13$

$\arctan 13 + \arctan \Big( \dfrac{2(4)}{4^4+4^2+2} \Big) = \arctan 13 +\arctan \dfrac{4}{137} = \arctan 21$

พิจารณาลำดับ 3,7,13,21,... มีผลต่างลำดับขั้นที่สองเท่ากัน จึงเป็นลำดับของพหุนามกำลังสอง

แก้ออกมาได้พจน์ทั่วไปคือ $a_n=n^2+n+1$

ดังนั้น เมื่อบวกไปจนถึง $\arctan \Big( \dfrac{2(100)}{100^4+100^2+2} \Big)$ ก็จะได้ $\arctan (100^2+100+1)$

ดังนั้น $x=100^2+100+1=10101$ #

แนะอีกวิธี ลองจัดรูปของตัวนี้ดู $\arctan(k^2+k+1) - \arctan(k^2-k+1)$

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

ไม่ถึงกับไร้เทียมทานหรอก แค่กะเต็มที่กะ PAT1 55

(คะแนนแกทแพทไม่ได้ใช้ เลยฟิดเลขอย่างเดียวเลยคราวนี้)

ตัวอย่างโจทย์คล้ายๆข้อแรกก็เช่น จงหาค่าของ
$$\frac{1}{e+\dfrac{1}{e}}+\frac{1}{\Big(e+\dfrac{1}{e}\Big)\Big(e^2+\dfrac{1}{e^2}\Big)}+\frac{1}{\Big(e+\dfrac{1}{e}\Big)\Big( e^2+\dfrac{1}{e^2}\Big)\Big(e^4+\dfrac{1}{e^4}\Big)}+\cdots$$
เลขยกกำลังค่อยๆเพิ่มแบบ expo : $1,2,4,8,16,...$

โจทย์จากข้อสอบแข่งขันจุฬาวิชาการ 54

Hint หน่อยครับ

[PP_nine]

คูณ $\dfrac{1}{e-\dfrac{1}{e}}$ ไปก่อนครับ

[PP_nine]

ไหนๆพรุ่งนี้ก็จะสอบ PAT1 กันแล้วสำหรับ ม.6 เฉลยให้เลยละกัน เผื่อข้อสอบออกแนวนี้

จงหาค่าของ
$$\frac{1}{e+\dfrac{1}{e}}+\frac{1}{ \Big( e+\dfrac{1}{e} \Big) \Big( e^2+\dfrac{1}{e^2} \Big) }+\frac{1}{ \Big( e+\dfrac{1}{e} \Big) \Big( e^2+\dfrac{1}{e^2} \Big) \Big( e^4+\dfrac{1}{e^4} \Big) }+\cdots$$

Solution

ให้
$$S=\frac{1}{e+\dfrac{1}{e}}+\frac{1}{ \Big( e+\dfrac{1}{e} \Big) \Big( e^2+\dfrac{1}{e^2} \Big) }+\frac{1}{ \Big( e+\dfrac{1}{e} \Big) \Big( e^2+\dfrac{1}{e^2} \Big) \Big( e^4+\dfrac{1}{e^4} \Big) }+\cdots$$

$$\therefore \frac{S}{e-\dfrac{1}{e}}=\frac{1}{\Big(e-\dfrac{1}{e}\Big)\Big(e+\dfrac{1}{e}\Big)}+\frac{1}{\Big(e-\dfrac{1}{e}\Big)\Big(e+\dfrac{1}{e}\Big)\Big(e^2+\dfrac{1}{e^2}\Big)}+\frac{1}{\Big(e-\dfrac{1}{e}\Big)\Big(e+\dfrac{1}{e}\Big)\Big(e^2+\dfrac{1}{e^2}\Big)\Big(e^4+\dfrac{1}{e^4}\Big)}+\cdots$$

สังเกตว่าแต่ละพจน์ ตัว $e-\dfrac{1}{e}$ จะเข้าไปคูณแล้วผลลัพธ์ก็จะคูณตัวต่อไปเรื่อยๆจนถึงตัวสุดท้าย (นี่แหละ catalyst) ยุบได้เป็น

$$\frac{S}{e-\dfrac{1}{e}}=\frac{1}{e^2-\dfrac{1}{e^2}}+\frac{1}{e^4-\dfrac{1}{e^4}}+\frac{1}{e^8-\dfrac{1}{e^8}}+\cdots$$

$$\frac{S}{e-\dfrac{1}{e}}=\frac{e^2}{e^4-1}+\frac{e^4}{e^8-1}+\frac{e^8}{e^{16}-1}+\cdots$$

$$\frac{S}{e-\dfrac{1}{e}}=\frac{e^2+1-1}{e^4-1}+\frac{e^4+1-1}{e^8-1}+\frac{e^8+1-1}{e^{16}-1}+\cdots$$

$$\frac{S}{e-\dfrac{1}{e}}=\Big(\frac{1}{e^2-1}-\frac{1}{e^4-1}\Big)+\Big(\frac{1}{e^4-1}-\frac{1}{e^8-1}\Big)+\Big(\frac{1}{e^8-1}-\frac{1}{e^{16}-1}\Big)+\cdots$$

$$\frac{S}{e-\dfrac{1}{e}}=\frac{1}{e^2-1}$$

$$S=\frac{1}{e}$$

ปล. Light เองก็ติดศิริราชแล้วนี่ พรุ่งนี้ชิวๆสินะ

[TimeTimeFruit]

เข้ามาอวยพีพีด้วยคน เมพมากๆ ชาบูๆ อูราๆ ~

[LightLucifer]

#11 อย่าเรียก ชิวเลยครับ เรียกสบายใจมากกว่า 55+
แต่ PP มีรางสังหรณฺ์แม่นนะ ตั้งแต่ lagrange interpolating formula ละ 55+

[PP_nine]

#12 มาจากไหนเนี่ย นึกว่าเลิกเล่นไปแล้ว 55
#13 เสียดาย PAT1 ครั้งนี้ไม่ออก แต่ออกตัวนึงรูปร่างคล้ายๆกัน (แต่วิธีไม่เหมือนกัน)
(ส่วนหนึ่งของโจทย์) หาค่า $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^4+k^2+1}$$

[LightLucifer]

เอ่อะ แต่ง่ายกว่าข้อสอบ PP เยอะนะ 55+