โจทย์ทฤษฎีจำนวน

[Metamorphosis]

1. จงหา $(x,y)$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่ $2^x - 5 = 11^y$
2.. ให้ $a,b,c,d > 0$ โดยที่ $ac+bd = (b+d+a-c)(b+d-a+c)$ จงพิสูจน์ว่า $ab+cd$ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

[น้องมี่แก๊ก]

คริคริ

[Metamorphosis]

any hints ?

[nottynotty]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

2.. ให้ $a,b,c,d > 0$ โดยที่ $ac+bd = (b+d+a-c)(b+d-a+c)$ จงพิสูจน์ว่า $ab+cd$ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

ไม่จริงครับ เช่น a=1, b=1, c=3, d=2

โจทย์จริงจาก imo 2001 ต้องมี a>b>c>d เพิ่มด้วย

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

1. จงหา $(x,y)$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่ $2^x - 5 = 11^y$
2.. ให้ $a>b>c>d$เป็นจำนวนเต็มวก โดยที่ $ac+bd = (b+d+a-c)(b+d-a+c)$ จงพิสูจน์ว่า $ab+cd$ ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

1.พิจารณา mod 5 ได้ $2^x\equiv 1 (mod5) \Rightarrow 4|x$
เพราะว่า $x\geqslant 4$ พิจารณา mod 16 ได้ $11^y\equiv 5 (mod 16) \Rightarrow y\equiv 1(mod 4) $
ถ้า $y\geqslant 2$ ได้ว่า $x\geqslant 6$ ด้วย พิจารณา mod 64 ได้ว่า $2^x=11^y+5=(8+3)^y+5=8^y+\binom{y}{1}8^{y-1}\bullet 3+...+\binom{y}{y-1}8\bullet 3^{y-1}+3^y+5 \equiv 8y\bullet 3^{y-1}+3^y+5\equiv 0 (mod 64)$
จากสมภาคสุดท้ายถ้า $y\equiv 1 (mod 8)\Rightarrow y=8k+1,\exists k\in \mathbb{N}$
ได้ว่า$8y\bullet 3^{y-1}+3^y+5\equiv 3^{y+1}+5\equiv 0 (mod 64) \Rightarrow (3^{4k+1})^2\equiv -5 (mod 64)$ ขัดแย้งโดย quadratic residues ดังนั้น $y\equiv 5 (mod 8)..............(1)$
จาก $x|4\Rightarrow x=4k,\exists k\in\mathbb{N} $ แทนในสมการเริ่มได้ว่า
$16^k-5=11^y\Rightarrow 16(16^{k-1}-1)=11(11^{y-1}-1)\Rightarrow 16^{k-1}-1|11\Rightarrow k-1|5 $
$\Rightarrow 16^{k-1}-1|16^5-1|41\Rightarrow 11^{y-1}-1|41\Rightarrow y-1|40............(2)$
จาก (1),(2) เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น $y<2\Rightarrow y=1$ แทนในสมการเริ่มต้นได้ว่า $x=4$
ดังนั้น $(x,y)=(4,1)$ เท่านั้น
หมายเหตุ $x^2\equiv 0,1,4,9,16,17,25,33,36,41,49,57 (mod 64)$

2.>>>http://www.artofproblemsolving.com/F...ee11d5#p119217<<<