หาเศษแบบนี้คิดยังไง

[mini-j]

7กำลัง4000หาร10000เศษเท่าไหร่ อยากได้วิธีคิดจังเลย

[banker]

7กำลัง4000หาร10000 ผลลัพธ์ได้ 0 กับเศษ 10000

[Thgx0312555]

"หารด้วย" ...
$7^{4000} \div 10000$ เหลือเศษเท่าไร

hint

$(a+b)^n = \binom{n}{0}a^0b^n+\binom{n}{1}a^1b^{n-1}+...+\binom{n}{n}a^nb^0 $

answer

$1$

[Amankris]

ตาม #2 ครับ

[วะฮ่ะฮ่า03]

ใช้ทฤษฎีจำนวนเข้าช่วยครับ
จาก Euler's Theorem ($a^{\phi (n)}\equiv 1 $(mod n))
จะได้ $7^{\phi (10,000)}\equiv 1 $(mod 10,000)
แต่จาก $\phi (10,000)=\phi (5^4\cdot 2^4)$
$\phi (5^4)=5^4-5^3=500$
$\phi (2^4)=2^4-2^3=8$
; $\phi (10,000)=4000$
$7^{\phi (10,000)}\equiv 7^{4000}\equiv 1 $(mod 10,000)
$(7^{4000})^{10}\equiv 7^{40,000}\equiv 1 $(mod 10,000)

[Ulqiorra Sillfer]

ผมใช้ทวินามกระจายล้วนๆ วิธียาวเหมือนกันครับ ตอนแรก พิจารณาว่า 7=10-3 จากนั้นเราจะสามารถสรุปได้ว่า จะเหลือเศษเท่ากับเมื่อนำไปหาร $3^{4000}$
จากนั้นจะได้
$3^2=10-1$
$3^{4000}=(10-1)^{2000}$
เมื่อกระจายทวินามออกมาพิจาณาจะพบว่ามีเศษเป็น 1

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ulqiorra Sillfer

ผมใช้ทวินามกระจายล้วนๆ วิธียาวเหมือนกันครับ ตอนแรก พิจารณาว่า 7=10-3 จากนั้นเราจะสามารถสรุปได้ว่า จะเหลือเศษเท่ากับเมื่อนำไปหาร $3^{4000}$
จากนั้นจะได้
$3^2=10-1$
$3^{4000}=(10-1)^{2000}$
เมื่อกระจายทวินามออกมาพิจาณาจะพบว่ามีเศษเป็น 1

$"7^4=2401"$

พิจารณาแค่พจน์สุดท้าย