โปรดชั้แนะเรื่องการหารลงตัวด้วยครับ

[Mojo-Mojo]

จงพิสูจน์ว่า สำหรับจำนวนเต็มบวก n และ k โดยที่ k เป็นจำนวนคี่

n(n+1) $\mid $ 2($1^k+2^k+...+n^k$)
โปรดชี้แนะด้วยครับ

[Thgx0312555]

แบ่งเป็น

$n|2(1^k+2^k+\cdots+n^k)$

$(n+1)|2(1^k+2^k+\cdots+n^k)$

และจาก $(n,n+1)=1$

จะได้ว่า $n(n+1)|2(1^k+2^k+\cdots+n^k)$

ส่วนวิธีทำแต่ละขั้นตอน แนะ :
$2(1^k+2^k+\cdots+(n-1)^k) = (1^k+2^k+\cdots+(n-1)^k)+((n-1)^k+(n-2)^k+\cdots+1^k)$

จับคู่ น่าจะออกครับ

[Mojo-Mojo]

ขอบคุณมากครับแต่ยังติดตรง $n+1$ $\mid$ 2($1^k+2^k+...+n^k$) ยังคิดไม่ออกซักที

[PP_nine]

จะใช้ induction ก็ได้ครับ แต่น่าจะยากไปถ้าเทียบกับแบบ #2

ถ้าทำแบบนั้นจะต่อก็ไม่ยากแล้วครับ

เพราะ
$$2(1^k+2^k+\cdots+n^k)=(1^k+(n-1)^k)+(2^k+(n-2)^k)+\cdots+2n^k=nA$$
$$2(1^k+2^k+\cdots+n^k)=(1^k+n^k)+(2^k+(n-1)^k)+\cdots=(n+1)B$$
สำหรับบาง $A,B \in \mathbb{N}$

[Mojo-Mojo]

ออกแล้วครับ ขอบคุณมากครับ

[Mojo-Mojo]

สมมติ ถ้าเราจะพิสูจน์ว่า $8\mid a^2-1$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนคี่ เราจะแยก $8$ เป็น $2x2x2$ ได้มั้ยครับ

และอีกอย่าง induction คืออะไรเหรอครับ รบกวนช่วยอธิบายหน่อยนะครับ

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mojo-Mojo

สมมติ ถ้าเราจะพิสูจน์ว่า $8\mid a^2-1$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนคี่ เราจะแยก $8$ เป็น $2x2x2$ ได้มั้ยครับ

และอีกอย่าง induction คืออะไรเหรอครับ รบกวนช่วยอธิบายหน่อยนะครับ

สำหรับคำถามแรก ตอบว่า ไม่ได้ครับ เพราะ $(2,2)=2>1$

ถ้าจะพิสูจน์ข้อความนี้ก็ต้องแบ่งเป็นกรณีครับ คือ

จำนวนเต็มคี่ใดๆสามารถเขียนได้ในรูปของ $a=4n+1,4n+3$ เท่านั้น

ซึ่งไม่ว่าจะเป็นกรณีใด ก็จะทำให้ $a^2-1=8k$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $k$ เสมอ


ส่วนคำถามที่สอง คือการพิสูจน์อย่างมีระบบครับ

เช่น ในที่นี้เราต้องการพิสูจน์ว่า $n(n+1)|2(1^k+2^k+\cdots+n^k)$ ทุกจำนวนคี่บวก $k$

เราก็ให้ $P(k)$ แทนข้อความดังกล่าว

ชัดเจนอยู่แล้วว่า $P(1),P(3)$ เป็นจริง (หรือก็คือ ในกรณีที่ $k=1,3$ ข้อความดังกล่าวเป็นจริง)

ต่อไปเราก็สมมติให้ $P(k)$ เป็นจริง เราต้องแสดงให้ได้ว่า $P(k+2)$ ก็เป็นจริง

(เพราะถ้าเป็นเช่นนั้นแล้ว $P(k+4),P(k+6),P(k+8),...$ ก็จะเป็นจริงไปด้วยเช่นกัน)


แต่จริงๆแล้วข้อนี้ใช้ strong induction ครับ

คือแทนที่จะสมมติ $P(k)$ เป็นจริง แล้วพิสูจน์ $P(k+2)$

เราก็สมมติ $P(1),P(3),...,P(k)$ เป็นจริง แล้วพิสูจน์ $P(k+2)$ ครับ