โจทย์สมการเชิงฟังก์ชัน ช่วยทำให้หน่อยครับ

[qazswxddaasdfec]

จงหา $f : R \rightarrow R $ ซึ่ง

$f(x^2-y^2)=(x-y){f(x)+f(y)}$



ถ้าผิดหัวข้อก็ขอโทษด้วยนะครับ ผมเป็นสมาชิกใหม่ ไม่รู้ว่าควรตั้งไว้ตรงไหน

[NoN2538]

1.แทน x,y=0
2.แทน x=0
3.แทน y=0
จากนั้นจะได้ว่า f(x)=0 ทุกๆx ครับ (:

[qazswxddaasdfec]

ยังไงหรอครับ งง
ถ้าแทนx=y=0จะได้f(0)=0
ถ้าแทนy=0จะได้f(x^2)=xf(x)
ถ้าแทนx=0จะได้f(-x^2)=-xf(x)

ถ้าแทนx=-yจะได้f(-x)=-f(x)

(x^2คือxยกกำลัง2นะครับ)(xยกกำลัง2ทำยังไงหรอครับ)

[จูกัดเหลียง]

ก็ $f(x^2)=xf(x),-xf(x)$ ถ้าเรานำสมการบวกกันกได้ว่า $f(x^2)=0\rightarrow f(x)=0 ,x\ge 0$ ซึ่งมันยังไม่เป็นทุกจำนวนจริง $x$ เท่านั้นเองครับ

[coke]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ qazswxddaasdfec

ยังไงหรอครับ งง
ถ้าแทนx=y=0จะได้f(0)=0
ถ้าแทนy=0จะได้f(x^2)=xf(x)
ถ้าแทนx=0จะได้f(-x^2)=-xf(x)

ถ้าแทนx=-yจะได้f(-x)=-f(x)

(x^2คือxยกกำลัง2นะครับ)(xยกกำลัง2ทำยังไงหรอครับ)

คือแทน y=t กับ x=0 และแทน x=t y=0.
ได้ -t(f(t))=t(f(t))
f(t)=0 ทุก t

[qazswxddaasdfec]

ก็ f(x2)=xf(x),−xf(x) ถ้าเรานำสมการบวกกันกได้ว่า f(x2)=0f(x)=0,x≥0 ซึ่งมันยังไม่เป็นทุกจำนวนจริง x เท่านั้นเองครับ
__________________

สงสัยว่าf(x^2)=-xf(x)มายังไงหรอครับ

และจะเห็นได้ชัดว่าf(x)=cxเป็นคำตอบด้วยและไม่รู้จะพิสูจน์ย่างไรนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ qazswxddaasdfec

จงหา $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ซึ่งสอดคล้องสมการเชิงฟังก์ชัน

$f(x^2-y^2)=(x-y)(f(x)+f(y))$

Hint:

1. หา $f(0)$

2. พิสูจน์ว่า $f(-x)=-f(x)$

3. แทน $y$ ด้วย $-y$ ในสมการเดิมแล้วแก้สมการ

$(x-y)(f(x)+f(y))=(x+y)(f(x)-f(y))$

ขั้นที่ $3$ น่าจะโหดสุดครับ

[qazswxddaasdfec]

ขอบคุณครับ

[qazswxddaasdfec]

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii
Hint:

1. หา f(0)

2. พิสูจน์ว่า f(−x)=−f(x)

3. แทน y ด้วย −y ในสมการเดิมแล้วแก้สมการ

(x−y)(f(x)+f(y))=(x+y)(f(x)−f(y))

ขั้นที่ 2 น่าจะโหดสุดครับ

แทนx=yจะได้f(0)=0
แทนy=-xจะได้f(0)=2x{f(x)+f(-x)}
ได้f(x)=-f(-x)

แทนy=-yจะได้
f(x2−y2)=(x+y)(f(x)-f(y))
จากf(x2−y2)=(x−y)(f(x)+f(y))\therefore xf(y)=yf(x)
เมื่อy=1ได้f(x)=xf(1)

ทำแบบนี้ได้หรือเปล่าครับ

[~ArT_Ty~]

ถ้าผมแทนว่า $y=x$ ก็จะได้ว่า $f(x)=c$ แทนค่าก็จะได้ว่า $c=0$

$\therefore f(x)=0$ หรือผมผิดตรงไหนหรือเปล่าครับ

[nooonuii]

#9 ถูกแล้ว

#10 แทนยังไงครับ

[kongp]

ทุกวิธีเป็นไปได้ และจะดีถ้าให้เหตุผลครบถ้วนด้วย ไม่ควรอาย เช่น เนื้อหาน้อย หรือ ไม่น่าสนใจ เพราะชีวิตคนเราย่อมเจอสิ่งต่างๆ มากมาย

[Real Matrik]

โจทย์เป็นแบบนี้ใช่มั้ยครับ
จงหา $f : R \rightarrow R $ ซึ่ง
$$f(x^2-y^2)=(x-y)[f(x)+f(y)]$$

My solution

จำได้ว่าเคยเขียนเอาไว้ในสมุด ขออณุญาตไม่พิมพ์นะครับ


ปล. เรารวบกรณีให้เหลือกรณีเดียวแค่ $f(x)=cx$ สำหรับทุกๆ $x\in R$ ได้หรือไม่ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Real Matrik

ปล. เรารวบกรณีให้เหลือกรณีเดียวแค่ $f(x)=cx$ สำหรับทุกๆ $x\in R$ ได้หรือไม่ครับ
[/hidden]

ได้สิครับ เพราะ $f(0)=0=c(0)$

[Real Matrik]

ขอบคุณครับ