FFTMO9

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

ข้อ Q5 n อยู่ในรูปนี้ได้หรือเปล่าครับ $\displaystyle n= \prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i}$

มันจะมี $p_{n+1}$ เป็นตัวประกอบหรือเปล่า (คาดหวังให้ไม่มีมากๆครับ)

ถ้าทำมาถูกทาง ข้อนี้มี 8 คำตอบ และทุกค่ามีแต่ 2,3 เป็น prime divisor (ยกเว้น 1)

[Pain 7th]

ตอนผมจะทำเพื่อหา ตัวประกอบเฉพาะ n ผมได้ว่า ว่า n มีตัวประกอบเฉพาะ 3 ตัวอ่ะครับ

แล้วผมก็ลองว่าถ้ามันมากกว่า 7 ทุกตัว มันจะขัดแย้ง

แต่พอมี 2 ตัวเป็น 2 หรือ 3 แล้วตัวอื่นมันก็จริงหมดเลยอ่ะครับ

จาก $n \leq \sum_{i=1}^n p_i^2$ ผมสมามารถตัดได้ว่า

$p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}p_3^{\alpha_3} \leq p_1^2+p_2^2+p_3^2$ โดยที่ $\alpha_i \in{ {1,2,3}}$ (กำลังตัวใดตัวนึงเป็น 0 ค่อยคิดทีหลัง)

ตามที่บอกว่ามากกว่า 7 ทุกตัวมันก็ขัดแย้ง แต่พอลองแทน 2,3,31 หรือ 2,3,71 มันก็จริงผมเลยไม่รู้ว่าจะไปไงต่ออ่ะครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

$p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}p_3^{\alpha_3} \leq p_1^2+p_2^2+p_3^2$ โดยที่ $\alpha_i \in{ {1,2,3}}$ (กำลังตัวใดตัวนึงเป็น 0 ค่อยคิดทีหลัง)

ตามที่บอกว่ามากกว่า 7 ทุกตัวมันก็ขัดแย้ง แต่พอลองแทน 2,3,31 หรือ 2,3,71 มันก็จริงผมเลยไม่รู้ว่าจะไปไงต่ออ่ะครับ

โจทย์บอกว่า จำนวนเฉพาะที่ > 3 นะครับ ทำไมถึงแทน 2,3 ล่ะครับ

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

โจทย์บอกว่า จำนวนเฉพาะที่ > 3 นะครับ ทำไมถึงแทน 2,3 ล่ะครับ

ขอบคุณมากๆครับ เดี๋ยวขอลองเรียบเรียงใหม่ก่อนทดมั่วเลย

งั้นแสดงว่าผมน่าจะเริ่มผิดตั้งแต่แรกเลยอ่ะครับที่บอกว่า $n= \prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i}$

[~ArT_Ty~]

มีใครทำข้อของผมแล้วบ้าง อยากเห็น Solution จัง *O*

แนะนำครับ มีข้อสอบ TST ของฮ่องกงครับ

http://db.math.ust.hk/resource_shari...esource_03.htm

[จูกัดเหลียง]

#350 Hint ต่อจาก Andormedra ทีคับ ไม่ทันจริงๆ

[~ArT_Ty~]

อสมการที่เกี่ยวกะสี่เหลี่ยมไงครับ อะไรเอ่ย...

Ptolemy's Inequality นั่นเอง

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

Q3: สามเหลี่ยมมุมแหลม ABC มี P เป็นจุดภายใน และ $ d_a,d_b,d_c$ เป็นระยะจาก P ไปยังด้าน BC,CA,AB ตามลำดับ พิสูจน์ $$ \sum d^2_a \geq \sum (PA \sin (\frac{A}{2}))^2 \geq \frac{1}{3} (\sum d_a)^2 $$

ขอ hint ข้อนี้หน่อยครับ GI นี่ไปไม่ถูกเลย

[passer-by]

HINT(GI)

ต้อง prove $PA^2 \sin^2(A) = d_b^2+d_c^2 + 2d_bd_c \cos A$ ให้ได้ก่อนครับ

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

Q3: สามเหลี่ยมมุมแหลม ABC มี P เป็นจุดภายใน และ $ d_a,d_b,d_c$ เป็นระยะจาก P ไปยังด้าน BC,CA,AB ตามลำดับ พิสูจน์ $$ \sum d^2_a \geq \sum (PA \sin (\frac{A}{2}))^2 \geq \frac{1}{3} (\sum d_a)^2 $$

Solution

note:เนื่องจาก$ABC$เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลมจะได้ว่า$1>cosA,cosB,cosC>0$
ให้ $X,Y,Z$ อยู่บน $BC,AC,AB$ และ $PX\bot BC,PY\bot AC,PZ\bot AB $ จะได้ $PX=d_a,PY=d_b,PZ=d_c$
เนื่องจาก $A,Y,P,Z Concyclic \Rightarrow \angle PAY=\angle PZY$ โดยกฎของไซน์ใน $\triangle PZY $จะได้$ \frac{YZ}{sin(180^\circ -A)} =\frac{PY}{sin(\angle PZY)}=\frac{PY}{sin(\angle PAY)}=\frac{PY\bullet PA}{PY}=PA \Rightarrow YZ=PAsinA $
โดยกฎของโคไซน์ใน $\triangle PZY $ จะได้ $YZ^2=d_b^2+d_c^2-2d_bd_ccos(180^\circ -A)\Rightarrow (PAsinA)^2=d_b^2+d_c^2+2d_bd_ccosA$
ในทำนองเดียวกันก็จะได้ว่า $(PBsinB)^2=d_c^2+d_a^2+2d_cd_acosB$ และ $(PCsinC)^2=d_a^2+d_b^2+2d_ad_bcosC$
จะได้ $$\sum_{cyc} (PA \sin (\frac{A}{2}))^2=\sum_{cyc} (\frac{PAsinA}{2cos(\frac{A}{2} )} )^2=\sum_{cyc} (\frac{(PAsinA)^2}{4cos^2(\frac{A}{2} ) })=\sum_{cyc} (\frac{d_b^2+d_c^2+2d_bd_ccosA}{2cosA+2})= \sum_{cyc}(\frac{(d_b-d_c)^2}{2cosA+2}+d_bd_c)$$
จึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$$d_a^2+d_b^2+d_c^2\geqslant \sum_{cyc}(\frac{(d_a-d_b)^2}{2cosC+2})+d_ad_b+d_bd_c+d_ad_c\geqslant \frac{(d_a+d_b+d_c)^2}{3} $$
พิจารณาข้างซ้าย จะได้อสมการสมมูลกับ $$\sum_{cyc} (d_a-d_b)^2\geqslant \sum_{cyc}(\frac{(d_a-d_b)^2}{cosC+1})\Leftrightarrow \sum_{cyc}(d_a-d_b)^2(\frac{cosC}{cosC+1} )\geqslant 0$$
ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นจริง (SOS Theorem) และพิจารณาข้างซ้าย จะได้อสมการสมมูลกับ
$$\sum_{cyc}(\frac{3(d_a-d_b)^2}{2cosC+2})+d_ad_b+d_bd_c+d_ad_c\geqslant d_a^2+d_b^2+d_c^2\Leftrightarrow \sum_{cyc}(\frac{3(d_a-d_b)^2}{cosC+1})\geqslant \sum_{cyc} (d_a-d_b)^2 \Leftrightarrow \sum_{cyc}(d_a-d_b)^2(\frac{2-cosC}{cosC+1} )\geqslant 0$$
ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นจริง (SOS Theorem)
และอสมการจะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $d_a=d_b=d_c$ หรือ $P$ เป็นจุด Incenter ของ $\triangle ABC \square$

รบกวนตรวจวิธีทำทีครับ
แล้วสร้างรูปเรขาคณิตนี่ใช้โปรแกรมอะไรกันหรอครับ

[~ArT_Ty~]

สุดยอดมากครับ

การสร้างรูป ใช้ GSP หรือ Geogebra ก็ได้ครับ

[Beatmania]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

Q2 : กำหนดจำนวนเต็มบวก m ,n พิสูจน์ว่ามีจำนวนนับ a เป็นอนันต์ที่ $ m | \phi(a+i)\,\, ,\forall i = 0,1,..,n$

ไม่แน่ใจวิธีคิดครับ =..="

จาก Dirichlet theorem จะได้ว่า

มีจำนวนเฉพาะในรูป mk+1 เป็นอนันต์ โดย m เป็นจำนวนเต็มค่าหนึ่ง

ให้ $p_1, p_2 ... $ แทนจำนวนเฉพาะในรูป mk+1 โดยเรียงลำดับจากมากไปน้อย

และจาก Chinese Remainder Theorem

จะได้ว่า สมการคอนกรูเอนซ์

$a \equiv 0 \pmod{p_1}

,a \equiv (p_2)-1 \pmod{p_2},

...

,a \equiv (p_{n+1})-n \pmod{p_{n+1}} $

มีคำตอบในมอดุโล $p_1p_2...p_n$

ซึ่งคำตอบดังกล่าวจะทำให้ $ m | \phi(a+i)\,\, ,\forall i = 0,1,..,n$ ครับผม

[win1234]

คราวนี้มาลองดูข้อง่ายๆกันครับ
Let $P$ be a point inside $\Delta ABC$, and $AP,BP,CP$ meet $BC,CA,AB$ at $L,M,N$ respectively.
Find the position of $P$ for which$(\frac{AP}{AL} )^2+(\frac{BP}{BM} )^2+(\frac{CP}{CN} )^2$ is minimum.

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ win1234

คราวนี้มาลองดูข้อง่ายๆกันครับ
Let $P$ be a point inside $\Delta ABC$, and $AP,BP,CP$ meet $BC,CA,AB$ at $L,M,N$ respectively.
Find the position of $P$ for which$(\frac{AP}{AL} )^2+(\frac{BP}{BM} )^2+(\frac{CP}{CN} )^2$ is minimum.

$P$ เป็นจุด centroid หรือเปล่าครับ ค่าน้อยสุดคือคือ $\frac{4}{3}$

[passer-by]

# 355 (Andromeda)

ก็ไม่น่ามีอะไรผิดนะครับ ตรง SOS ผมไม่ได้ check เพราะผมไม่ได้เป็นมือโปรด้านนี้

อีกวิธีที่ทำได้ คือ พอเราได้ $ PA \sin^2 A = d_b^2+d_c^2 +2d_bd_c \cos A $ แล้ว ขวามือใช้ AM -GM จะได้ $ \leq (d_b^2+d_c^2)(1 + \cos A) $ จากนั้น ทั้ง 2 ข้างของอสมการ ใช้สูตรตรีโกณเปลี่ยนให้ติด $\frac{A}{2}$ .....ท้ายที่สุดจะได้ $ (PA \sin \frac{A}{2} )^2 \leq \frac{d_b^2+d_c^2}{2}$

เท่ากับว่าจบไปครึ่งทาง

ส่วนอีกครึ่งทาง start จาก $ PA \sin^2 A = d_b^2+d_c^2 +2d_bd_c \cos A $ เหมือนเดิม และ จัดรูป ขวามือ เป็น $ (d_b+d_c)^2 -2d_bd_c(1-\cos A) \geq (d_b+d_c)^2 -2(\frac{d_b+d_c}{2})^2(1-\cos A) = (d_b+d_c)^2 (\frac{1}{2})(1+\cos A) $

Simplify เป็น half angle จะได้ $ (PA \sin \frac{A}{2} )^2 \geq (\frac{d_b+d_c}{2})^2 $

ที่เหลือ apply อสมการ $ x^2+y^2+z^2 \geq \frac{1}{3}(x+y+z)^2$

-------------------------------------------------------------------------

# 357 (Beatmania)

สิ่งที่คุณ Beatmania ทำไว้ มีแต่อ้าง Dirichlet theorem ว่ามี จำนวนเฉพาะ $ p_i \equiv 1 \pmod m $

กับใช้ C.R.T. เพื่อบอกว่า มี a เป็นอนันต์ที่ $ p_i | a+i $

แต่ไม่ได้เชื่อมโยงกับ $ \phi$ ให้ดูเลยครับ