หลักการแก้อสมการ

[T.T N]

อยากทราบหลักการเกี่ยวกับการอสมการคับ
อยากทราบว่า หนังสือบางเล่มให้เขียนค่าวิกฤต2จุดสำหรับวงเล็บที่ยกกำลังเลขคู่ และถ้ามีค่าสัมบรูณ์ด้วยย

อยากทราบหลักการ เชน
(x-5)^5>=0
(x-5)^4.(x-5)>=0
แล้วนำ (x-5)^4. หารตลอดเพราะ. มากกว่่าเท่ากับ0
แล้วถ้ามันเท่ากับ0แล้วหารไม่ได้ไม่ใช่หรือคับบ

คือตอนทำโจทย์ผมจำหลักที่เคยท่องมาเลยทำได้
แต่ตอนนี้เริ่มสงสัยแล้วคับบ

[cardinopolynomial]

ลองวาดช่วงดูครับ น่าจะอธิบายได้

[gon]

อสมการ $(x-5)^5 \ge 0$ นั้น เราเห็นได้ชัดว่า $x=5$ จะเป็นคำตอบหนึ่งของอสมการ

ดังนั้นถ้าเราพิจารณาเมื่อ $x \ne 5$ ก็จะได้ว่า $(x-5)^4 > 0$ เสมอ

จึงนำมาคูณ หาร ทั้งสองข้างของอสมการได้ โดยไม่ทำให้เครื่องหมายเปลี่ยนแปลงได้

สรุปก็คือ ตอนที่เรานำมาคูณหรือหารนั้น เราตัดการเท่ากับออกไปชั่วขณะ ซึ่งเราต้องพิจารณาจากโจทย์ก่อนว่า $x = ?$ และ $x \ne ?$ แน่ ๆ ไม่ใช่จู่ ๆ ก็นำไปหารก่อน หรือถ้าทำไปแล้วก็ต้องอย่าลืมกลับมาคิด เพราะจะทำให้คิดผิดได้ เช่น $(x-1)^2(x-3) < 0$ ถ้าไม่ระวังว่า $x \ne 1$ ก็จะตอบผิด

[poper]

ผมจำง่ายๆโดยแยกเป็น 2 กรณีคือ

1. เครื่องหมายอสมการไม่มี เท่ากับ ในกรณีนี้ ให้นำวงเล็บที่ยกกำลังเลขคู่มาหารได้เลย เช่น
$(x-2)(x-3)^4>0$ จะสมมูลกับ$x-2 >0$ และ $\not=3$(นำ $(x-3)^4$ หารทั้งสองข้าง)
$(x-2)^3(x-3)^5<0$ จะสมมูลกับ $(x-2)(x-3)<0$ (นำ $(x-2)^2(x-3)^4$ หารทั้งสองข้าง) เป็นต้น


2. เครื่องหมายอสมการมี เท่ากับด้วย จะทำเหมือนกรณีแรกแต่ต้องรวมค่าที่ทำให้ได้ สมการเข้าไปด้วย เช่น
$(x-2)(x-3)^4\geqslant 0$ จะสมมูลกับ $x-2 \geqslant 0$ หรือ $x=3$
$(x-2)^3(x-3)^5\leqslant 0$ จะสมมูลกับ $(x-2)(x-3)\leqslant 0$

แก้ไขแล้วครับ

[T.T N]

อยากทราบหลักในการแก้อสมการ root(x-4)>x-2
ว่าต้องพิจารณากี่กรณี อะไรบ้างคับ

[กิตติ]

$\sqrt{x-4} >x-2$
$x-4>x^2-4x+4$ เมื่อ $x\geqslant 4$
$x^2-5x+8<0$
$(x-\frac{5}{2})^2+\frac{7}{4}<0 $
$(x-\frac{5}{2})^2 \geqslant 0$
$(x-\frac{5}{2})^2+\frac{7}{4}>0$
ดังนั้นไม่มีค่า $x$ ในระบบจำนวนจริงที่ทำให้ $\sqrt{x-4} >x-2$

[กิมจิ]

ตอบ #5
แบ่ง 2 กรณี

กรณี x-2 >= 0 กับ x-2<0

แล้วนำคำตอบที่ได้มา ตรวจคำตอบ ภายใน root ต้อง >= 0 นั้นคือ x-4 >= 0

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ผมจำง่ายๆโดยแยกเป็น 2 กรณีคือ

1. เครื่องหมายอสมการไม่มี เท่ากับ ในกรณีนี้ ให้นำวงเล็บที่ยกกำลังเลขคู่มาหารได้เลย เช่น
$(x-2)(x-3)^4>0$ จะสมมูลกับ$x-2 >0$ (นำ $(x-3)^4$ หารทั้งสองข้าง)
$(x-2)^3(x-3)^5<0$ จะสมมูลกับ $(x-2)(x-3)<0$ (นำ $(x-2)^2(x-3)^4$ หารทั้งสองข้าง) เป็นต้น

$(x-2)(x-3)^4>0$ จะสมมูลกับ$x-2 >0$ จริงหรือครับท่านณัฐพงษ์

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

$\sqrt{x-4} >x-2$
$x-4>x^2-4x+4$ เมื่อ $x\geqslant 4$
$x^2-5x+8<0$
$(x-\frac{5}{2})^2+\frac{7}{4}<0 $
$(x-\frac{5}{2})^2 \geqslant 0$
$(x-\frac{5}{2})^2+\frac{7}{4}>0$
ดังนั้นไม่มีค่า $x$ ในระบบจำนวนจริงที่ทำให้ $\sqrt{x-4} >x-2$

ถ้าผมเปลี่ยนโจทย์เป็นแบบนี้ทำยังไงครับคุณหมอ

$\sqrt{x-4} >x-6$

[กิตติ]

$\sqrt{x-4} >x-6$
$x-6-\sqrt{x-4}<0$...$x\geqslant 4$
$x-4-\sqrt{x-4}-2<0$
$(\sqrt{x-4}-2)(\sqrt{x-4}+1)<0$
$-1<\sqrt{x-4}<2$
$\sqrt{x-4}<2$
$x-4<4$
$x<8$
คำตอบคือ $4\leqslant x<8$

วิธีเดิม...เป็นวิธีการที่ไม่ถูกต้อง
$x-4>x^2-12x+36$....$x\geqslant 4$
$x^2-13x+40<0$
$(x-8)(x-5)<0$
$5<x<8$
วิธีการยกกำลังสองทำให้คำตอบหายไปช่วงหนึ่งคือ $4\leqslant x<5$

ถ้าลองใช้วิธีของพี่เล็ก ก็ต้องปรับสมการ...$\sqrt{x-4} >x-6$...$x\geqslant 4$
$\sqrt{x-4}+2 >x-4\geqslant 0$
$x+4\sqrt{x-4} >x^2-8x+16$
$4\sqrt{x-4} >x^2-9x+16$
ผมว่ายุ่งยากกว่า....เว้นไว้เท่านี้แล้วกัน

$\sqrt{x-4} >x-2$
$x-2-\sqrt{x-4}<0$ และ $x\geqslant 4$
$x-4-\sqrt{x-4}+2<0$
$x-4-\sqrt{x-4}+\frac{1}{4} +\frac{7}{4}<0 $
$(\sqrt{x-4}-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}<0$
ทุกค่าของ $x\geqslant 4$ ไม่มีค่าใดที่ทำให้ $(\sqrt{x-4}-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}<0$
ข้อนี้เผอิญไม่มีคำตอบ เลยฟลุ๊คได้เท่ากันสำหรับวิธีการยกกำลังสอง กับ การแยกตัวประกอบ
แบบนี้ใช่ไหมครับพี่เล็ก

[lek2554]

กลัวน้อง ๆ มาอ่านแล้วจะเข้าใจผิด แล้วจำไปใช้ครับ

$a>b\rightarrow a^n>b^n$ ข้อความนี้ไม่จริงครับ

ที่ถูกต้องเป็น $a>b>0\rightarrow a^n>b^n$ เมื่อ $n\in R^+$$\rightarrow $ แก้ให้ถูกต้องตามที่ท่านซือแป๋ทักท้วงมา

เวลาจะยกกำลังทั้ง 2 ข้างของอสมการ ต้องแน่ใจว่าทั้ง 2 ข้างเป็นบวกครับ

ปล. คุณหมอกลับไปแก้ไขวิธียกกำลังสองทั้ง 2 ข้าง เน้นตัวแดง ว่าเป็นวิธีการที่ไม่ถูกต้อง ก็ดีครับ

หรือจะอ้างว่า
$\because x-4\geqslant 0$

$\therefore x-2\geqslant 2>0$

จึงยกกำลังสอง ทั้ง 2 ข้างได้

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

กลัวน้อง ๆ มาอ่านแล้วจะเข้าใจผิด แล้วจำไปใช้ครับ

$a>b\rightarrow a^n>b^n$ ข้อความนี้ไม่จริงครับ

ที่ถูกต้องเป็น $a>b>0\rightarrow a^n>b^n$

$a>b>0\rightarrow a^n>b^n$ ข้อความนี้ก็ไม่จริงครับท่านเล็ก

[lek2554]

ตอบคุณหมอเร็วไปหน่อย ลืมพิมพ์ให้ครบครับ

ขอบคุณ ท่านซือแป๋ครับ เดี๋ยวไปแก้

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ T.T N

อยากทราบหลักในการแก้อสมการ $\sqrt{x-4}>x-2$
ว่าต้องพิจารณากี่กรณี อะไรบ้างคับ

เรื่องการแก้อสมการติดกรณฑ์ที่สอง ผมเคยเขียนไว้เป็นบทความแล้วครับ ลองศึกษาดูได้

http://www.mathcenter.net/sermpra/se...pra10p02.shtml

หมายเหตุ สำหรับคำว่าจำนวนจริงบวก ในบทความนั้น ผมหมายถึง จำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ ซึ่งก็คือจำนวนจริงบวกรวมศูนย์ด้วย

แต่เมื่อก่อน (14 ปีก่อน) ยังใช้ภาษาไม่ถูกต้อง 100%

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

$(x-2)(x-3)^4>0$ จะสมมูลกับ$x-2 >0$ จริงหรือครับท่านณัฐพงษ์

รบกวนท่านเล็กชี้แนะด้วยครับ

[wee]

พิจารณาข้อความของคุณPoper ที่กล่าวว่า $(x-2)(x-3)^4>0$ จะสมมูลกับ $x-2>0$

ถ้าสมมูลกับ $x-2>0$ แสดงว่าคำตอบของอสมการคือ $x>2$
ถ้าเป็นแบบนั้นลองสมมติให้ $x=3$
จะพบว่าอสมการ$(x-2)(x-3)^4>0$ เป็นเท็จ