โจทย์เรขาคณิต 8 ข้อ

[sahaete]

ข้อ 1


ข้อ 2


ข้อ 3


ข้อ 4


ข้อ 5


ข้อ 6


ข้อ 7


ข้อ 8

[Suwiwat B]

คิดวิธีง่ายๆไม่ออกครับ ผมเห็นอะไรเเบบนี้มา ผมวิ่งเข้า sine law อย่างเดียวเเล้ววิ่งเข้าตรีโกณมิติหมดเลย
ตอนนี้ได้ข้่อ 4 เเล้วครับ x=15 องศา
ใส่มุมให้ครบในรูปของ x ไปก่อน
ในสามเหลี่ยม ABC ; $\frac{AB}{sin3x} = \frac{AC}{sin2x} จะได้ \frac{AC}{AB}=\frac{sin2x}{sin3x}$
ในสามเหลี่ยม ACD ; $\frac{AC}{sin3x} = \frac{CD}{sin6x} จะได้ \frac{AC}{CD}=\frac{sin3x}{sin6x}$
จากทั้งสองความสัมพันธ์ จะได้ว่า $\frac{sin2x}{sin3x}=\frac{sin3x}{sin6x}$
$2sin2xsin6x=2sin3xsin3x$
$cos4x-cos8x=1-cos6x$
$cos4x-cos8x+cos6x=1$
$(2cos^2x -1) - (2cos^4x -1)+cos(4x+2x)=1$
เเปลงทุกอย่างในรูป $A = cos2x $ให้หมดจะได้ (ขี้เกียจพิมพ์นะครับ )
$8A^4 - 4A^3 - 10A^2 + 3A + 3 = 0$
$(4A^2 - 3)(2A^2 - A - 1)=0$
$A = cos2x = \frac{ \sqrt(3)}{2},-\frac{ \sqrt(3)}{2} , - \frac{1}{2} , 1$
จะได้ว่า $x$ ที่เป็นไปได้ (ตามรูปเเละตามที่เป็นไปได้ (ขี้เกียจเขียนอีกเเล้ว ลองทำดูนะครับ ))
$x = 15$ องศา

[Suwiwat B]

ข้อ 5 ก็คิดคล้ายๆกันอะครับ
เริ่มจากใส่มุมให้ครบในรูปของ x
สามเหลี่ยม ACD ; $\frac{DC}{sin2x} = \frac{AC}{sinx}$ จะได้ $\frac{DC}{AC}=\frac{sin2x}{sinx}$
สามเหลี่ยม ABC ; $\frac{BC}{sin5x} = \frac{AC}{sin2x}$ จะได้ $\frac{BC}{AC} = \frac{sin5x}{sin2x}$
ดังนั้น $\frac{sin2x}{sinx}=\frac{sin5x}{sin2x}$
$2sin2xsin2x=2sin5xsinx$
$2(1-cos^2 x)=cos4x - cos(4x+2x)$
ทำเหมือนเดิม ทำให้ทุกอย่างอยู่ในรูป $A=cos2x$ จะได้
$4A^3 - 4A^2 - 3A + 3 = 0$
$(4A^2 - 3)(A-1)=0$
$A=cos2x=1 , \frac{\sqrt{3}}{2} , -\frac{\sqrt{3}}{2}$
เหมือนเดิม หาค่า x เเล้วตรวจจากรูป จะได้ $x=15$ องศา

[Suwiwat B]

ข้อ 6 นะครับ
ใส่มุมในรูปของ x ให้ครบก่อน จะได้ (ขออนุญาตไม่ใส่องศานะครับ)
สามเหลี่ยม ABD ; $\frac{AD}{sin80} = \frac{AB}{sin(x+20)}$ จะได้ $\frac{AD}{AB}=\frac{sin80}{sin(x+20)}$
สามเหลี่ยม ADC ; $\frac{AD}{sin20} = \frac{CD}{sinx}$ จะได้ $\frac{AD}{CD} = \frac{sin20}{sinx}$
จะได้ $\frac{sin80}{sin(x+20)}=\frac{sin20}{sinx}$
$\frac{cos10}{sin(x+20)}=\frac{2sin10cos10}{sinx}$
$sinx = 2sin10sin(x+20)$
$sinx = 2sin10(sinxcos20+sin20cosx) $หารด้วย $cosx$ ตลอดจะได้
$tanx = 2sin10cos20tanx+2sin10sin20$
$tanx(1-2sin10cos20)=2sin10sin20$
$tanx(\frac{1}{2}+sin10)=2sin10sin20$
$tanx(sin30+sin10)=2sin10sin20$
$tanx(2sin20cos10)=2sin10sin20$
$tanx = tan10$
$x = 10 , 190 , ...$ องศา
เเต่ x อยู่ในสามเหลี่ยม จะได้ $x=10$ องศาเท่านั้น

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

คิดวิธีง่ายๆไม่ออกครับ ผมเห็นอะไรเเบบนี้มา ผมวิ่งเข้า sine law อย่างเดียวเเล้ววิ่งเข้าตรีโกณมิติหมดเลย
ตอนนี้ได้ข้่อ 4 เเล้วครับ x=15 องศา
ใส่มุมให้ครบในรูปของ x ไปก่อน
ในสามเหลี่ยม ABC ; $\frac{AB}{sin3x} = \frac{AC}{sin2x} จะได้ \frac{AC}{AB}=\frac{sin2x}{sin3x}$
ในสามเหลี่ยม ACD ; $\frac{AC}{sin3x} = \frac{CD}{sin6x} จะได้ \frac{AC}{CD}=\frac{sin3x}{sin6x}$
จากทั้งสองความสัมพันธ์ จะได้ว่า $\frac{sin2x}{sin3x}=\frac{sin3x}{sin6x}$
$2sin2xsin6x=2sin3xsin3x$
$cos4x-cos8x=1-cos6x$
$cos4x-cos8x+cos6x=1$
$(2cos^2x -1) - (2cos^4x -1)+cos(4x+2x)=1$
เเปลงทุกอย่างในรูป $A = cos2x $ให้หมดจะได้ (ขี้เกียจพิมพ์นะครับ )
$8A^4 - 4A^3 - 10A^2 + 3A + 3 = 0$
$(4A^2 - 3)(2A^2 - A - 1)=0$
$A = cos2x = \frac{ \sqrt(3)}{2},-\frac{ \sqrt(3)}{2} , - \frac{1}{2} , 1$
จะได้ว่า $x$ ที่เป็นไปได้ (ตามรูปเเละตามที่เป็นไปได้ (ขี้เกียจเขียนอีกเเล้ว ลองทำดูนะครับ ))
$x = 15$ องศา

วิธีต่อรูปสำหรับข้อนี้นะครับ
กำหนด M เป็นจุดภายในสามเหลี่ยมซึ่ง MD=MA และมุม MCD กาง x องศา
จะได้สามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการ
ทีนี้ไล่ด้านไปเรื่อยๆ
พิจารณาสี่เหลี่ยม ABCM มีวงกลมแนบใน แล้วใช้สมบัติของมุมต่อ
ก็จบละครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

ข้อ 6 นะครับ
ใส่มุมในรูปของ x ให้ครบก่อน จะได้ (ขออนุญาตไม่ใส่องศานะครับ)
สามเหลี่ยม ABD ; $\frac{AD}{sin80} = \frac{AB}{sin(x+20)}$ จะได้ $\frac{AD}{AB}=\frac{sin80}{sin(x+20)}$
สามเหลี่ยม ADC ; $\frac{AD}{sin20} = \frac{CD}{sinx}$ จะได้ $\frac{AD}{CD} = \frac{sin20}{sinx}$
จะได้ $\frac{sin80}{sin(x+20)}=\frac{sin20}{sinx}$
$\frac{cos10}{sin(x+20)}=\frac{2sin10cos10}{sinx}$
$sinx = 2sin10sin(x+20)$
$sinx = 2sin10(sinxcos20+sin20cosx) $หารด้วย $cosx$ ตลอดจะได้
$tanx = 2sin10cos20tanx+2sin10sin20$
$tanx(1-2sin10cos20)=2sin10sin20$
$tanx(\frac{1}{2}+sin10)=2sin10sin20$
$tanx(sin30+sin10)=2sin10sin20$
$tanx(2sin20cos10)=2sin10sin20$
$tanx = tan10$
$x = 10 , 190 , ...$ องศา
เเต่ x อยู่ในสามเหลี่ยม จะได้ $x=10$ องศาเท่านั้น

ว่างๆมาช่วยเสนอวิธีต่อรูปให้
สร้างสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุม 20-80-80 องศา
บนด้าน CD โดยให้ CD เป็นฐาน จากนั้นถ้าพิจารณาดีๆเราจะมีสามเหลี่ยมด้านเท่า
นอกนั้นไล่มุมอย่างเดียวก็จบแระ

[Suwiwat B]

เเหะๆ ... ขอโทษด้วยครับ ผมคิดเเบบสร้างเส้นเพิ่มหรืออะไรเเบบนี้ไม่เป็นเลยจริงๆ ... ผมถนัดยัดตรีโกณมิติอย่างเดียว
ถ้าว่างๆคุณ Scaylla_Shadow รบกวนช่วยลงรูปให้ดูด้วยนะครับ จะเป็นประโยชน์กับผม(เเละผูอื่น)มากๆๆๆๆๆๆๆๆๆ จะได้มีความคิดดีๆเเบบคนอื่นบ้าง

ข้อสุดท้ายไม่เเน่ใจว่าได้ 30 องศาหรือเปล่า ใช้วงกลมล้อมสี่เหลี่ยม DEC เเละได้ว่า B เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้องรอบ (หรือเปล่าไม่รู้ช่วยตรวจสอบด้วยครับ)

[Suwiwat B]

ขอข้อ 2 เเบบตรีโกณอีก ... (ยังไม่พอใจ)
พิจารณาในสามเหลี่ยม ABC จะได้$ AB = ACsin2\theta$
จากสามเหลี่ยม ADC เมื่อคิดพื้นที่จะได้ว่า$ (AC)(DE) = (AD)(DC)$
$DE = \frac{(AD)(DC)}{AC}=\frac{(ACsin\theta )(ACcos\theta )}{AC}$
ดังนั้น $\frac{DE}{AC} = \frac{(AC^2)sin\theta cos\theta}{(AC)(AC2sin\theta cos\theta)}
= \frac{1}{2} $

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

เเหะๆ ... ขอโทษด้วยครับ ผมคิดเเบบสร้างเส้นเพิ่มหรืออะไรเเบบนี้ไม่เป็นเลยจริงๆ ... ผมถนัดยัดตรีโกณมิติอย่างเดียว
ถ้าว่างๆคุณ Scaylla_Shadow รบกวนช่วยลงรูปให้ดูด้วยนะครับ จะเป็นประโยชน์กับผม(เเละผูอื่น)มากๆๆๆๆๆๆๆๆๆ จะได้มีความคิดดีๆเเบบคนอื่นบ้าง

ข้อสุดท้ายไม่เเน่ใจว่าได้ 30 องศาหรือเปล่า ใช้วงกลมล้อมสี่เหลี่ยม DEC เเละได้ว่า B เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้องรอบ (หรือเปล่าไม่รู้ช่วยตรวจสอบด้วยครับ)

รู้สึกว่าได้ 20 ครับ ข้อนี้ต่อรูปยากมาก ไว้ว่าวๆจะลงให้

ข้อ 1 มุมมันไม่เสถียร ตอบ 120-2a
hint สร้างวงกลม2 วง รัศมี AB มีจุดศูนย์กลางที่ B,A จากนั้นลากเส้นเชื่อม + ไล่มุมอย่างเดียว

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

ข้อ 5 ก็คิดคล้ายๆกันอะครับ
เริ่มจากใส่มุมให้ครบในรูปของ x
สามเหลี่ยม ACD ; $\frac{DC}{sin2x} = \frac{AC}{sinx}$ จะได้ $\frac{DC}{AC}=\frac{sin2x}{sinx}$
สามเหลี่ยม ABC ; $\frac{BC}{sin5x} = \frac{AC}{sin2x}$ จะได้ $\frac{BC}{AC} = \frac{sin5x}{sin2x}$
ดังนั้น $\frac{sin2x}{sinx}=\frac{sin5x}{sin2x}$
$2sin2xsin2x=2sin5xsinx$
$2(1-cos^2 x)=cos4x - cos(4x+2x)$
ทำเหมือนเดิม ทำให้ทุกอย่างอยู่ในรูป $A=cos2x$ จะได้
$4A^3 - 4A^2 - 3A + 3 = 0$
$(4A^2 - 3)(A-1)=0$
$A=cos2x=1 , \frac{\sqrt{3}}{2} , -\frac{\sqrt{3}}{2}$
เหมือนเดิม หาค่า x เเล้วตรวจจากรูป จะได้ $x=15$ องศา

ข้อนี้สารภาพว่า ต่อรูปเอาแค่สามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการ ผมทำไม่ได้
เลยใช้สามเหลี่ยมคล้ายแทน
สังเกตว่า เรามีสามเหลี่ยมคล้ายคือ สามเหลี่ยม ACD คล้ายกับสามเหลี่ยม BAD
เราสามารถหาอัตราส่วน AC/AB ได้ (=$\sqrt{1/2}$)
ทีนี้ ต่อ DA ไปทาง A ถึง M ซึ่ง MC=BC=CD
ทีนี้เราจะได้ BMD เป็นมุมฉาก
แล้วเราไล่ด้านต่ออีกหน่อย
จะเห็นว่าเป็นด้านของสามเหลี่ยมที่เราคุ้นเคยคือ 45-45-90 องศา

ปล. ขี้เกียจแนบรูป + อันนี้ต่อรูปไม่ยุ่งยากเท่าไรนัก

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

ขอข้อ 2 เเบบตรีโกณอีก ... (ยังไม่พอใจ)
พิจารณาในสามเหลี่ยม ABC จะได้$ AB = ACsin2\theta$
จากสามเหลี่ยม ADC เมื่อคิดพื้นที่จะได้ว่า$ (AC)(DE) = (AD)(DC)$
$DE = \frac{(AD)(DC)}{AC}=\frac{(ACsin\theta )(ACcos\theta )}{AC}$
ดังนั้น $\frac{DE}{AC} = \frac{(AC^2)sin\theta cos\theta}{(AC)(AC2sin\theta cos\theta)}
= \frac{1}{2} $

ว่างเหมือนกัน เสนอวิธีต่อรูปกับสามเหลี่ยมคล้ายให้
ไม่มีคำบรรยาย

[Suwiwat B]

กลับมาอีกครั้งกับข้อ 3 เเบบตรีโกณ
ใส่มุมไปให้หมดจะได้ว่ามุม $ACB = \theta +2\alpha$ เเละมุม $BDC = 180^\circ - (\theta +2\alpha)$
สามเหลี่ยม ACB ; $sin\alpha = \frac{AC}{AB}$ จะได้ $AC = BCsin\alpha$
สามเหลี่ยม BCD ; $\frac{CD}{sin2\alpha} = \frac{BC}{sin(\theta + 2\alpha)}$ จะได้ $BC = \frac{DCsin(\theta+2\alpha)}{sin2\alpha}$
ดังนั้น $AC = \frac{DCsin(\theta + 2\alpha)sin\alpha}{2sin\alpha cos\alpha}$
$= \frac{DC\times \frac{AB}{BC}}{2\times \frac{AB}{BC}}$
$= \frac{DC}{2}$
$\therefore \frac{AC}{DC} = \frac{1}{2}$

[banker]

ไม่แน่ใจว่ามั่วตรงไหนหรือเปล่า มันตะหงิดๆอยู่
AEB เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (มุมที่ฐาน 20 องศา)
ลาก ED' ตั้งฉาก AB ที่ D'
จะได้ ED'C = 60 องศา ---> สามเหลี่ยม AD'C มีมุม D'CA = 180 -20 -90-60 = 10 องศา
แสดงว่า จุด Dในโจทย์ และ D' ที่สร้างเป็นจุดเดียวกัน

มุม EDC = 60 องศา

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ลาก ED' ตั้งฉาก AB ที่ D'
จะได้ ED'C = 60 องศา

จริงแน่หรือเปล่าครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

จริงแน่หรือเปล่าครับ

55555

วาดรูปใหม่

ใช้ GSP แล้วได้ มุมEDC 20 องศา

เดี๋ยวค่อยหาทางพิสูจน์ใหม่