พิสูจน์เรื่อง การหารลงตัว

[Mol3ius]

ให้ a เป็นจำนวนเต็มใดๆ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก

จงแสดงว่า n! | (a+1)(a+2).....(a+n)

ช่วยหน่อยครับ ขอวิธีการแบบ NT อ่าครับ

[Euler-Fermat]

พิจารณา จาก เล็กๆดูก่อนก็ได้ ครับ
พิจารณา จาก $2$ พจน์ก่อนได้ครับ
$2! \mid (a+1)(a+2)$ เห็นได้โดยง่ายเพราะเป็น $2$ จำนวนที่เรียงติดกัน
พอเป็น $3$ พจน์ : $3! \mid (a+1)(a+2)(a+3)$ก้พิสูจน์เพียง $3 \mid (a+1)(a+2)(a+3)$
ในทำนองเดียวกัน $n$ พจน์ : $n! \mid (a+1)(a+2)...(a+n$) ก้พิสูจน์เพียง $n \mid (a+1)(a+2)...(a+n)$

[Keehlzver]

สมมติไม่เสียนัยให้ $a>0$
เพราะว่า $\binom{a+n}{a}$ เป็นจำนวนเต็มบวกเสมอ
จะได้ว่า $\frac{(a+n)!}{a!n!}$ เป็นจำนวนเต็มบวกด้วย
แต่ว่า $(a+n)(a+n-1)...(a+1)=\frac{(a+n)!}{a!}$
เพราะฉะนั้น $\frac{(a+n)...(a+1)}{n!}$ เป็นจำนวนเต็มบวกด้วย
ก็สรุปได้ว่า $n!\mid (a+n)(a+n-1)...(a+1)$

กรณี $a<0$ ใช้นิยามการหารว่า a หาร b ลงก็ต่อเมื่อมี k ...

[Mol3ius]

ขอบคุณครับ