จำนวนกำลังสองสมบูรณ์

[Canegie]

จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมด ที่ทำให้ $3n^2+5n+8$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

[Anarist]

ไม่ง่ายเลยข้อนี้
เขียนเป็นสมการก่อน เราต้องการหาจำนวนเต็มบวก n,m ที่ทำให้
$3n^2 + 5n + 8 = m^2 $
สังเกตุว่า $(n,m) = (1,4)$ เป็นคำตอบหนึ่ง

จัดรูปสมการแรกโดยคูณ 12 เพื่อให้ $3n^2 + 5n$ กลายเป็นกำลังสองสมบูรณ์
$ 36n^2 + 60n + 96 = 12 m^2$
$ (6n+5)^2 - 3 (2m)^2 = -71 $
สมการหลังสุดกลายเป็น Pell's equation

แยกตัวประกอบ $ (6n+5)^2 - 3 (2m)^2 = ( 6n + 5 + 2m \sqrt{3})( 6n + 5 - 2m \sqrt{3})$
$(n,m) = (1,4) $ เลยสอดคล้องกับ $11 + 8 \sqrt{3} $

เคลมว่าคำตอบทั่วไปอยู่ในรูป $a_k + b_k \sqrt{3} = (11 + 8 \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})^{k}$ สำหรับ $k$ จำนวนคู่ไม่ลบ

ซึ่ง $2 + \sqrt{3}$ มาจากตัวง่ายที่สุดที่แก้ $x^2 - 3y^2 =1 = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$
ที่ใช้แค่จำนวนคู่ไม่ลบเพราะว่า เราต้องการ $a_k = 6n+5 , b_k = 2m $ ไม่งั้นก็ใช้จำนวนเต็ม $k$ ไหนก็ได้
เช่นคำตอบต่อไป $k=2$ ได้ $a_2 + b_2 \sqrt{3} = 173 + 100 \sqrt{3}$ แก้ได้ $(n,m) = (28,50)$

ส่วนที่ว่านี่เป็นคำตอบทั้งหมด ผมไม่แน่ใจว่ามีวิธีพิสูจน์ง่ายๆรึเปล่า
ที่ผมใช้คือดูการแยกตัวประกอบ $-71 = (a + b\sqrt{3})(a - b\sqrt{3})$ ใน number field $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$
โชคดีที่ integer ของอันนี้เป็น UFD การแยกตัวประกอบเลย unique ทำให้ที่เคลมควรจะเป็นคำตอบทั้งหมด