พีชคณิตครับ ขอคำชี้แนะด้วยครับ

[polsk133]

จากความจริงที่ว่า
-xyz=(1-x)(1-y)(1-z) ลองแทนกลับแล้วกระจายดูครับถ้างง
-xyz=1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz
xy+yz+zx=x+y+z-1
ซึ่งของลุง banker ติดพจน์ xy+yz+zx อยู่ก็เอาไปแทนครับ

[time.math]

ขอขอบพระคุณคุณลุงBANKER คุณPOLSK113 คุณARTTY60 ที่ให้ความกระจ่างครับ
ขอถามต่อนิดหนึ่ง ข้อ1 x = a+b+c
y = ab+bc+ca
z = abc
ข้อ3 อยากให้ยกตัวอย่างอีกสักหนึ่งตัวอย่างครับ ไม่ต้องน้อยที่สุดก็ได้ครับ
ส่วนข้ออื่นเข้าใจหมดแล้วครับ

ขอบพระคุณทุกท่านครับที่ให้ความช่วยเหลือครับ

[กิตติ]

ข้อ 2 ผมแปลงจากตรงนี้
$(\frac{a}{a-b})+ (\frac{b}{b-c}) +(\frac{c}{c-a})=28$
$(\frac{1}{1-\frac{b}{a}})+ (\frac{1}{1-\frac{c}{b}}) +(\frac{1}{1-\frac{a}{c} })=28$
$M=1-\frac{b}{a}\rightarrow \frac{b}{a}=1-M$
$N=1-\frac{c}{b}\rightarrow \frac{c}{b}=1-N $
$P=1-\frac{a}{c}\rightarrow \frac{a}{c}=1-P$
$(1-M)(1-N)(1-P)=1$
$(1+MN-M-N)(1-P)=1$
$1+NP-M+MP-P-N+MN-MNP=1$
$NP+MP+MN=MNP+M+N+P$
$(\frac{1}{M})+ (\frac{1}{N}) +(\frac{1}{P})=28$
$MN+MP+NP=28MNP$
$\frac{M+N+P}{MNP}=28 $
$\left\{\,(\frac{1}{M})+ (\frac{1}{N}) +(\frac{1}{P})\right\}^2=28^2 $
$(\frac{1}{M^2})+ (\frac{1}{N^2}) +(\frac{1}{P^2})+2\left(\,\frac{1}{MN}+\frac{1}{NP}+\frac{1}{MP}\right)=28^2 $

$(\frac{1}{M^2})+ (\frac{1}{N^2}) +(\frac{1}{P^2})=28^2-2\left(\,\frac{M+N+P}{MNP} \right)=28^2-2\times 27 $

$(\frac{2a-b}{a-b})^2+ (\frac{2b-c}{b-c})^2 +(\frac{2c-a}{c-a})^2 $
$=3+2\times 28+28^2-2\times 27$
$=784+5=789$

[time.math]

ขอขอบพระคุณกิตติ สำหรับความเห็นที่20ครับ เข้าใจแล้วครับ

[gnap]

อยากได้วิธีทำข้อ1ที่ไม่ต้องแทนค่าครับ

[artty60]

ทำให้เห็นง่าย

$x+ay+a^2z=a^3.......(1)$

$x+by+b^2z=b^3.......(2)$

$x+cy+c^2z=c^3.......(3)$

$[(2)\times a]-[(1)\times b]\Rightarrow x=ab(z-a-b).......(4)$

$[(1)-(2)]-[(2)-(3)]\Rightarrow z=a+b+c.......(*)$

แทนค่า $z$ ใน $(4)\Rightarrow x=abc......(**)$

$\therefore x+z=a+b+c+abc$

ตอบข้อ1.ถูกแล้วครับ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ทำให้เห็นง่าย

$x+ay+a^2z=a^3.......(1)$

$x+by+b^2z=b^3.......(2)$

$x+cy+c^2z=c^3.......(3)$

$[(2)\times a]-[(1)\times b]\Rightarrow x=ab(z-a-b).......(4)$

$[(1)-(2)]-[(2)-(3)]\Rightarrow z=a+b+c.......(*)$

แทนค่า $z$ ใน $(4)\Rightarrow x=abc......(**)$

$\therefore x+z=a+b+c+abc$

ตอบข้อ1.ถูกแล้วครับ

วิธีเจ๋งดีครับ

[Euler-Fermat]

ข้อ 1 ขอเสนออีกวิธี ครับ

$ax + (a^2)y + (a^3)z = a^4$

$bx + (b^2)y + (b^3)z = b^4$

$cx + (c^2)y + (c^3)z = c^4$

จะเห็นได้ว่า $a,b,c$ โดย $a,b,c\not= 0$ เป็นรากของสมการพหุนาม $ k^4-k^3z-k^2y-kx =0 $

$\therefore a,b,c$ เป็นราก ของ $ k^3-k^2z-ky-x $

ดังนั้น จาก $Vieta's Formula$

$a+b+c = z $

$ab+bc+ca = -y$

$abc = x $

$\therefore a+b+c+abc = x+z$

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat

ข้อ 1 ขอเสนออีกวิธี ครับ

$ax + (a^2)y + (a^3)z = a^4$

$bx + (b^2)y + (b^3)z = b^4$

$cx + (c^2)y + (c^3)z = c^4$

จะเห็นได้ว่า $a,b,c$ โดย $a,b,c\not= 0$ เป็นรากของสมการพหุนาม $ k^4-k^3z-k^2y-kx =0 $

$\therefore a,b,c$ เป็นราก ของ $ k^3-k^2z-ky-x $

ดังนั้น จาก $Vieta's Formula$

$a+b+c = z $

$ab+bc+ca = -y$

$abc = x $

$\therefore a+b+c+abc = x+z$

WOW

[time.math]

ขอบพระคุณทุกท่านที่ช่วยcommentครับ

[กิตติ]

ผมติดข้อ 3 ทำมาหลายวันแล้วไม่ออก ขอคำแนะนำด้วยครับ

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ผมติดข้อ 3 ทำมาหลายวันแล้วไม่ออก ขอคำแนะนำด้วยครับ

ผมคิดว่า เขาคงตั้งใจให้สุ่มเลขอ่ะครับ

[กิตติ]

ถ้าไม่สุ่มคิดว่า จะพอมีวิธีทำออกมาได้ไหมครับ
ผมลองให้ $x>y>z$
$x=z+a,y=z+b$ โดยที่ $x,y,z,a,b \varepsilon I^+$ และ $a>b>0$
$(z)^2+(z+a)^2+(z+b)^2=z(z+a)(z+b)$
$3z^2+(a+b)z+a^2+b^2=z(z^2+(a+b)z+ab)$
$3z^2+(a+b)z+a^2+b^2=z^3+(a+b)z^2+abz$
$z^3+(a+b-3)z^2+(ab-a-b)z-(a^2+b^2)=0$
ตันอยู่แค่นี้

[Amankris]

#28
ลองเช็ค Mod 3 ดูครับ

[กิตติ]

ขอบคุณคุณAmankris....ถ้าอย่างนั้นสิ่งที่จะเกิดขึ้นคือ $3\mid x ,3\mid y,3\mid z$ จึงจะทำให้ $x^2+y^2+z^2=xyz$
ดังนั้นถ้าให้ $x=3a,y=3b,z=3c$ แทนลงไปแล้วจะได้ว่า $a^2+b^2+c^2=3abc$ ซึ่งหมายความว่า
$3\mid a^2+b^2+c^2$
โจทย์กำหนด $x\not= y\not= z$ จะได้ว่า $a\not= b\not= c$
โจทย์ถามถึง $x+y+z$ ที่น้อยที่สุดเมื่อ $a+b+c$ มีค่าน้อยที่สุด ดังนั้นกำหนดให้ $a=1,b=2$
$c^2+5=6c \rightarrow c^2-6c+5=0 \rightarrow c=5,1$
จะได้ว่าค่า $c$ ที่น้อยที่สุด ที่สอดคล้องกับ $3\mid a^2+b^2+c^2$ คือ $c=5$
ดังนั้น $x=3,y=6,z=15$ ค่าน้อยที่สุดของ $x+y+z$ คือ $24$

ผมยังงงๆที่ว่า มองยังไงให้ออกแต่แรกเลยว่า ต้องใช้ mod 3 ..ความรู้ผมไม่ถึงขั้น มองไม่ออกจริงๆ